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【摘要】 本文通过苏科版教材一道例题的拓展与解答，力求体现相关知识间的联系和数学的“转化“思想. 文章呈现给学生题目的设计过程，展示了知识间的联系并留给学生更加开放的思考空间，这样的拓展有利于学生提出问题和解决问题能力的培养. 最后指出：数学解题的教学不能够停留在题目的表面，教师要能够揭示知识间的联系、数学的本质，学生才能做到“举一反三”.
【关键词】 中位线；拓展；思考
苏科版教材九年级上册１．５节《三角形》的中位线有一道例题：如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＤＣ的中点. 求证：ＥＦ∥ＢＣ，EF = ■（BC + AD）.梯形中位线的性质与三角形中位线的性质有什么联系？它们的证明过程又有什么联系？
一、三角形的中位线可以看作是梯形中位线的特殊情况
将梯形ＡＢＣＤ的顶点Ｄ沿与ＢＣ平行的直线ｌ向左移动至Ａ点，即可得到三角形的中位线，如图１和图２.
图１：梯形的中位线ＥＦ∥ＢＣ，EF = ■（BC + AD）；
图２：三角形的中位线ＥＦ∥ＢＣ，EF = ■BC，可以看作梯形中位线ＡＤ ＝ ０时的特殊情况.
沿续上面的思路，让Ｄ点在与ＢＣ平行的直线ｌ上继续向左或向右运动，我们可以得到图３和图４．
图３：EF = ■|BC - AD|，特别地，当ＡＤ ＝ ＢＣ时，Ｅ，Ｆ重合，ＥＦ ＝ ０．
图４：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＥＦ∥ＢＣ，ＥＦ ＝ ＢＣ ＝ ＡＤ，也可以看作EF = ■（BC + AD）.
思维不能就此停滞不前！
如果把直线ｌ改为与ＢＣ不平行，结论又是什么呢？如图５，图６所示：
可以引导学生观察、猜测结论，然后证明.
可以证明图５，图６中结论：■|BC - AD| < EF < ■（BC + AD）.
二、梯形中位线性质的证明可以“转化”为三角形中位线解答
１． 梯形中位线性质的证明可以转为三角形的中位线，一般有如下几种转化方法，如图所示：
图７：连接ＡＦ并延长交ＢＣ的延长线于点Ｇ.
图８：过点Ｄ作ＢＣ的平行线分别交ＥＦ，ＢＣ于点Ｍ，Ｈ.
图９：连接ＡＣ交ＥＦ于点Ｎ.
图１０：将梯形ＡＢＣＤ绕点Ｆ旋转１８０°.
２． “Ｘ”图形转化为三角形中位线解答，如图所示：
图１１：连接ＡＣ交ＥＦ的延长线于点Ｋ；
图１２：连接ＡＦ并延长交ＢＣ于点Ｌ；
图１３：过点Ａ作ＡＮ∥ＢＣ，分别交ＥＦ，ＢＣ的延长线于Ｍ，Ｎ.
３． 当ＡＤ与ＢＣ不平行时，解答方法仍是转化为三角形中位线解答，如图１４、图１５所示.
过Ｆ作ＡＤ的平行线ＦＧ，交线段ＡＣ于点Ｇ，连接ＥＧ.
三、教学思考
１． 上述几道题目都可以转化为三角形中位线解答，体现了数学“转化”的思想.
２． 前面的题目虽然比较丰富，但是仅局限于四边形对边中点，如果把思维再放开些，我们可以得到什么结论呢？可以提出更加开放的问题留给学生思考，例如可以设置如下题组：
（１）“中点四边形”，四边形ＡＢＣＤ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是四边的中点，四边形ＥＦＧＨ称为四边形ＡＢＣＤ的中点四边形，试判断四边形ＥＦＧＨ的形状，并判断四边形ＥＦＧＨ于四边形ＡＢＣＤ的关系.
（２）如图１６，正方形ＡＢＣＤ，Ｅ，Ｆ分别是线段ＣＤ，ＡＤ上任意一点，Ｇ，Ｈ，Ｐ，Ｑ分别是线段ＡＢ，ＢＥ，ＥＦ，ＦＡ的中点，试判断四边形ＧＨＰＱ的形状.
３． 数学的解题教学应该抓住题目的本质、揭示知识间的联系，这样我们的解题教学才能够“举一反三”，而不是落入简单堆砌的“题海”中. 例如，几何中有一个结论“同角的余角相等，同角的补角相等”，在进行这个结论的教学时，我们若能解读其中的数学本质，将有利于学生建立数学知识间的联系.
这个结论的证明过程中用到了等式的性质，如果在教学中能够适当拓展，将达到“举一反三”的效果. 我们可以对这个等式性质的本质进行如下的挖掘：
∠Ａ＋∠Ｃ ＝ ９０°∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ ９０°ａ ＋ ｃ ＝ ９０°ｂ ＋ ｃ ＝ ９０° ａ ＋ ｃ ＝ ｎｂ ＋ ｃ ＝ ｎ.
以下面几道题目为例：
题１ 已知：等边△ＡＢＣ，Ｅ，Ｆ，Ｄ分别是三边上的点，且∠FED = 60°.求证：△AFE∽△BED.
在题目的证明中，说明一组对角相等就用到了上述等式的性质.
∠ＡFE ＋ ∠AEF ＝ 12０°∠DEＢ ＋ ∠AEF ＝ 120°∠AFE = ∠DEB.
题２ 已知：正方形ＡＢＣＤ， Ｅ，Ｆ，Ｇ分别是边上的点，且∠EFG = 90°. 求证：△BFE∽△CGF.
在题目的证明中，说明一组对角相等还是用到了上述等式的性质.
∠BFE ＋ ∠BEF ＝ 9０°∠BFE ＋ ∠GFC ＝ 90°∠BEF = ∠GFC.
上述例题可以推广到一般情况：正ｎ边形，留给同学去思考.
题３ （南京市２００７年中考试题，第２６题）梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = AD = 6，∠ABC = 60°，点Ｅ，Ｆ分别在线段上ＡＤ，ＤＣ上（点E与点A，D不重合），且∠BEF = 120°，设AE = x，DF= y．（１）求y与x的函数表达式；（２）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
题目在证明相似关系时就用到了∠AEB ＋ ∠ABE ＝ 6０°∠AEB ＋ ∠DEF ＝ 60° 这个等式，它的本质就是等式的性质.
做为一名数学教师，我们经常要求我们的学生“举一反三”，但如果我们在教学时自己都不能“去伪存真”，挖掘数学题目中隐含的数学本质、知识间的联系，我们怎么能够要求学生呢？对数学解题的教学我们的老师绝不能够停留在热闹的数学表面，一定要深入，相信长此以往，我们的学生定能够“举一反三”.
【关键词】 中位线；拓展；思考
苏科版教材九年级上册１．５节《三角形》的中位线有一道例题：如图，在梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，Ｅ，Ｆ分别是ＡＢ，ＤＣ的中点. 求证：ＥＦ∥ＢＣ，EF = ■（BC + AD）.梯形中位线的性质与三角形中位线的性质有什么联系？它们的证明过程又有什么联系？
一、三角形的中位线可以看作是梯形中位线的特殊情况
将梯形ＡＢＣＤ的顶点Ｄ沿与ＢＣ平行的直线ｌ向左移动至Ａ点，即可得到三角形的中位线，如图１和图２.
图１：梯形的中位线ＥＦ∥ＢＣ，EF = ■（BC + AD）；
图２：三角形的中位线ＥＦ∥ＢＣ，EF = ■BC，可以看作梯形中位线ＡＤ ＝ ０时的特殊情况.
沿续上面的思路，让Ｄ点在与ＢＣ平行的直线ｌ上继续向左或向右运动，我们可以得到图３和图４．
图３：EF = ■|BC - AD|，特别地，当ＡＤ ＝ ＢＣ时，Ｅ，Ｆ重合，ＥＦ ＝ ０．
图４：四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，ＥＦ∥ＢＣ，ＥＦ ＝ ＢＣ ＝ ＡＤ，也可以看作EF = ■（BC + AD）.
思维不能就此停滞不前！
如果把直线ｌ改为与ＢＣ不平行，结论又是什么呢？如图５，图６所示：
可以引导学生观察、猜测结论，然后证明.
可以证明图５，图６中结论：■|BC - AD| < EF < ■（BC + AD）.
二、梯形中位线性质的证明可以“转化”为三角形中位线解答
１． 梯形中位线性质的证明可以转为三角形的中位线，一般有如下几种转化方法，如图所示：
图７：连接ＡＦ并延长交ＢＣ的延长线于点Ｇ.
图８：过点Ｄ作ＢＣ的平行线分别交ＥＦ，ＢＣ于点Ｍ，Ｈ.
图９：连接ＡＣ交ＥＦ于点Ｎ.
图１０：将梯形ＡＢＣＤ绕点Ｆ旋转１８０°.
２． “Ｘ”图形转化为三角形中位线解答，如图所示：
图１１：连接ＡＣ交ＥＦ的延长线于点Ｋ；
图１２：连接ＡＦ并延长交ＢＣ于点Ｌ；
图１３：过点Ａ作ＡＮ∥ＢＣ，分别交ＥＦ，ＢＣ的延长线于Ｍ，Ｎ.
３． 当ＡＤ与ＢＣ不平行时，解答方法仍是转化为三角形中位线解答，如图１４、图１５所示.
过Ｆ作ＡＤ的平行线ＦＧ，交线段ＡＣ于点Ｇ，连接ＥＧ.
三、教学思考
１． 上述几道题目都可以转化为三角形中位线解答，体现了数学“转化”的思想.
２． 前面的题目虽然比较丰富，但是仅局限于四边形对边中点，如果把思维再放开些，我们可以得到什么结论呢？可以提出更加开放的问题留给学生思考，例如可以设置如下题组：
（１）“中点四边形”，四边形ＡＢＣＤ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是四边的中点，四边形ＥＦＧＨ称为四边形ＡＢＣＤ的中点四边形，试判断四边形ＥＦＧＨ的形状，并判断四边形ＥＦＧＨ于四边形ＡＢＣＤ的关系.
（２）如图１６，正方形ＡＢＣＤ，Ｅ，Ｆ分别是线段ＣＤ，ＡＤ上任意一点，Ｇ，Ｈ，Ｐ，Ｑ分别是线段ＡＢ，ＢＥ，ＥＦ，ＦＡ的中点，试判断四边形ＧＨＰＱ的形状.
３． 数学的解题教学应该抓住题目的本质、揭示知识间的联系，这样我们的解题教学才能够“举一反三”，而不是落入简单堆砌的“题海”中. 例如，几何中有一个结论“同角的余角相等，同角的补角相等”，在进行这个结论的教学时，我们若能解读其中的数学本质，将有利于学生建立数学知识间的联系.
这个结论的证明过程中用到了等式的性质，如果在教学中能够适当拓展，将达到“举一反三”的效果. 我们可以对这个等式性质的本质进行如下的挖掘：
∠Ａ＋∠Ｃ ＝ ９０°∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ ９０°ａ ＋ ｃ ＝ ９０°ｂ ＋ ｃ ＝ ９０° ａ ＋ ｃ ＝ ｎｂ ＋ ｃ ＝ ｎ.
以下面几道题目为例：
题１ 已知：等边△ＡＢＣ，Ｅ，Ｆ，Ｄ分别是三边上的点，且∠FED = 60°.求证：△AFE∽△BED.
在题目的证明中，说明一组对角相等就用到了上述等式的性质.
∠ＡFE ＋ ∠AEF ＝ 12０°∠DEＢ ＋ ∠AEF ＝ 120°∠AFE = ∠DEB.
题２ 已知：正方形ＡＢＣＤ， Ｅ，Ｆ，Ｇ分别是边上的点，且∠EFG = 90°. 求证：△BFE∽△CGF.
在题目的证明中，说明一组对角相等还是用到了上述等式的性质.
∠BFE ＋ ∠BEF ＝ 9０°∠BFE ＋ ∠GFC ＝ 90°∠BEF = ∠GFC.
上述例题可以推广到一般情况：正ｎ边形，留给同学去思考.
题３ （南京市２００７年中考试题，第２６题）梯形ABCD中，AD∥BC，AB = BC = AD = 6，∠ABC = 60°，点Ｅ，Ｆ分别在线段上ＡＤ，ＤＣ上（点E与点A，D不重合），且∠BEF = 120°，设AE = x，DF= y．（１）求y与x的函数表达式；（２）当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
题目在证明相似关系时就用到了∠AEB ＋ ∠ABE ＝ 6０°∠AEB ＋ ∠DEF ＝ 60° 这个等式，它的本质就是等式的性质.
做为一名数学教师，我们经常要求我们的学生“举一反三”，但如果我们在教学时自己都不能“去伪存真”，挖掘数学题目中隐含的数学本质、知识间的联系，我们怎么能够要求学生呢？对数学解题的教学我们的老师绝不能够停留在热闹的数学表面，一定要深入，相信长此以往，我们的学生定能够“举一反三”.