论文部分内容阅读
摘要：本文总结了力学等时圆结论的几种证明方法，探讨其结论成立的条件，并从等时圆结论的一种证明方法中发现轨道不光滑时存在“另一等时圆”.
关键词：等时圆；结论；条件
1力学等时圆
表述1：如图1所示，从竖直圆环的最高点A向圆环内作多条不同的光滑的弦轨道，一小物体从A点自静止开始分别沿这些轨道自由下滑到轨道另一端的圆环上所用时间相等.
表述2：如图2所示，B点为竖直平面内圆环的最低点，在圆环上向最低点B作多条不同的光滑弦轨道，一个小物体分别从这些轨道的上端点圆环上静止开始自由下滑到轨道的最低点B所用时间相等.
图1或图2中的圆叫等时圆，以上两点表述是关于等时圆的经典结论，这一结论可以迁移并应用到许多实际问题中，为问题的分析解决带来了便捷.
2几点思考
21结论的证明方法
211对表述1
證法1：如图3所示，设圆的半径为R，某一条弦轨道的水平倾角为α ，则该轨道的长度 s =2Rsinα，由牛顿运动定律知小物体在该弦轨道上无摩擦地下滑时加速度大小为a=gsinα ，下滑的时间为t ，由s=12at2，得t=2Rg（与α无关），即小物体从A点自静止开始分别沿这些轨道自由下滑到轨道另一端的圆环上所用时间相等.
证法2：建立如图3所示的坐标系，设对任一水平倾角为α的弦轨道，加速度a=gsinα ，运动t 时刻小物体位置坐标为
x=12at2cosα，
y=-12at2sinα，消去可得：
x2 （y gt24）2=（gt24）2，这是一个圆的方程.可见无论轨道的水平倾角α为何值，小物体从静止开始沿不同的光滑直轨道下滑，运动相同的时间t，小物体在同一圆周上.
证法3：建立如图4所示的极坐标系.设小物体从某点（r，α）沿倾角α的光滑直轨道下滑到O点的时间为t，则有
a=gsinα， r=12at2，
可得r=12gt2sinα=ksinα，这是一个圆的方程，其中k=12gt2，即小物体从静止开始沿光滑的直轨道下滑到O点的时间t相同时，所有直轨道的起始点在同一个圆周上.
证法1是求出物体沿任一弦轨道下滑的时间t，发现结果t与轨道的特性（水平倾角α）无关，由此推知物体沿上端在圆的最高点的所有弦轨道下滑时间相等，这是容易想到的最基本的证法；证法2选取直角坐标系，求出物体沿任一直轨道下滑时间t的位置坐标（x，y），通过解析几何知识发现小物体沿不同的光滑直轨道下滑，运动相同的时间t，小物体的位置分布在同一圆周上.这种证法巧妙地将物理问题转化为数学问题，给人一种清新的感觉，是一种最为实用的证法；证法3思路同证法2，但选取的是极坐标系，过程较证法2简洁，给人一种高屋建瓴之感，是一种最具内涵的证法.
212对表述2
证明：如图5所示，过圆的最高点A分别作弦轨道CB、DB的平行轨道AC′、A D′.由于AC′与CB平行且等长，小物体从A点沿AC′滑到C′点时间与从C点沿CB滑到B点时间相等.同理可知小物体从D沿DB滑到B点与从A点沿A D′滑到D′点等时，由表述1知：小物体分别从任意两轨道的最高点静止开始无摩擦地沿两轨道下滑到最低点B所用的时间相等.
22初速度不一定为零
如图6所示，同一竖直平面内两圆相切于B点（B点为下面圆的最高点），在两圆内过B点作许多条光滑的直轨道（每条轨道的两个端点都分别在这两个圆周上）.则一个小物体分别从每条轨道的上端静止开始下滑到轨道的下端所用时间相等.
证明：设上、下两圆的半径分别为 r 和R，过B点作任意一条轨道 1 ，设其两端点分别为M、N .以r R为半径作一圆与原来两圆分别切于最高点A和最低点C（如图6所示），过A点作原轨道1的平行线AD，连CD，据几何知识我们不难证明 CD与下面圆的交点即为N点，且AD与MN平行且相等.故物体从M 点沿轨道1静止开始下滑到N点所需时间等于从A点沿AD 静止开始下滑到D点所需时间，且等于从A点作自由落体运动到C点所需时间t=2R rg；这与轨道1的水平倾角无关，即命题成立.
由等时圆的结论，我们可以看出，小物体分别沿图6中最高点不在同一水平线上的轨道1和2的顶端静止开始滑到B点的时间是相等的，但物体滑到B点时速度的大小却不相同 ，而物体沿这两条轨道运动的总时间却是相等的，则物体分别沿这两条轨道滑到B点以后在下面圆内的另一段轨道上运动的时间应是相等的.由此可见，前面给出的关于等时圆的结论中，物体自轨道的最高点不一定要从静止开始下滑，结论才成立，可以有着不同的初速度下滑，结论也成立.
那么，下滑的初速度是否取任意值结论都成立呢？
如图6所示，设光滑直轨道1的水平倾角为α，物体沿此轨道下滑的加速度为a=gsinα，且MB=2rsinα，则物体从轨道1的最高点M 静止下滑到B点时速度大小为：v0=2a·MB=2sinαgr，又BN=2Rsinα ，设物体从B点滑到N点的时间为t′，则有：BN=v0t′ 12at′2
，可得：2R=2grt′ 12gt′2，可见t′与α角无关.
由以上分析可知，只要物体沿水平倾角为α的轨道下滑的初速度的大小满足v0 =ksinα （k≥0，是对所有轨道都相同的常数），则等时圆的结论就成立.
23轨道不光滑存在另一等时圆
建立如图7所示的极坐标系.设小物体与轨道的动摩擦因数为μ，小物体从某点B（r，α）沿倾角α（90°≥α>=arctanμ ）的直轨道下滑到O点的时间为t，则下滑的加速度大小为a=g（sinα – μcosα），由r=12at2得：t=12gt2（sinα-μcosα）=ksin（α-），这是一个圆的方程，这里k=121 μ2gt2，即小物体静止开始沿与动摩擦因数相同的直轨道下滑到O点时间t相同时，所有直轨道的起始点位于同一个圆周的某一部分上（如图8圆周的实线部分），该圆与倾角为φ 的斜面相切（物体在此斜面上恰好不能静止下滑），值得注意的是O不是此圆的最低点.
同理可得，如图9所示，直轨道不光滑时，从圆上非最高点A沿不同直轨道静止下滑到轨道另一端的圆上所用时间相同.
可见，直轨道不光滑也可构成另一种“等时圆”.
练习：如图10所示，有多条直轨道的下端交于O点，所有轨道的两端点均在同一圆周上，一个小物体分别沿第一条直轨道的上端下滑到O点的时间相同，则
①小物体的初速度不一定为零，但沿所有轨道下滑的初速度大小相等
②小物体的初速度可能不为零，但沿所有轨道下滑的初速度大小不相等
③所有直轨道必须光滑
④所有直轨道不一定光滑，小物体与每条轨道的动摩擦因数必须相同
⑤O点一定是圆的最低点
⑥O点不一定是圆的最低点
关于以上说法中正确的是（ ）
A.①③⑤ B.②④⑤
C.②④⑥ D.①④⑥
答案：C
关键词：等时圆；结论；条件
1力学等时圆
表述1：如图1所示，从竖直圆环的最高点A向圆环内作多条不同的光滑的弦轨道，一小物体从A点自静止开始分别沿这些轨道自由下滑到轨道另一端的圆环上所用时间相等.
表述2：如图2所示，B点为竖直平面内圆环的最低点，在圆环上向最低点B作多条不同的光滑弦轨道，一个小物体分别从这些轨道的上端点圆环上静止开始自由下滑到轨道的最低点B所用时间相等.
图1或图2中的圆叫等时圆，以上两点表述是关于等时圆的经典结论，这一结论可以迁移并应用到许多实际问题中，为问题的分析解决带来了便捷.
2几点思考
21结论的证明方法
211对表述1
證法1：如图3所示，设圆的半径为R，某一条弦轨道的水平倾角为α ，则该轨道的长度 s =2Rsinα，由牛顿运动定律知小物体在该弦轨道上无摩擦地下滑时加速度大小为a=gsinα ，下滑的时间为t ，由s=12at2，得t=2Rg（与α无关），即小物体从A点自静止开始分别沿这些轨道自由下滑到轨道另一端的圆环上所用时间相等.
证法2：建立如图3所示的坐标系，设对任一水平倾角为α的弦轨道，加速度a=gsinα ，运动t 时刻小物体位置坐标为
x=12at2cosα，
y=-12at2sinα，消去可得：
x2 （y gt24）2=（gt24）2，这是一个圆的方程.可见无论轨道的水平倾角α为何值，小物体从静止开始沿不同的光滑直轨道下滑，运动相同的时间t，小物体在同一圆周上.
证法3：建立如图4所示的极坐标系.设小物体从某点（r，α）沿倾角α的光滑直轨道下滑到O点的时间为t，则有
a=gsinα， r=12at2，
可得r=12gt2sinα=ksinα，这是一个圆的方程，其中k=12gt2，即小物体从静止开始沿光滑的直轨道下滑到O点的时间t相同时，所有直轨道的起始点在同一个圆周上.
证法1是求出物体沿任一弦轨道下滑的时间t，发现结果t与轨道的特性（水平倾角α）无关，由此推知物体沿上端在圆的最高点的所有弦轨道下滑时间相等，这是容易想到的最基本的证法；证法2选取直角坐标系，求出物体沿任一直轨道下滑时间t的位置坐标（x，y），通过解析几何知识发现小物体沿不同的光滑直轨道下滑，运动相同的时间t，小物体的位置分布在同一圆周上.这种证法巧妙地将物理问题转化为数学问题，给人一种清新的感觉，是一种最为实用的证法；证法3思路同证法2，但选取的是极坐标系，过程较证法2简洁，给人一种高屋建瓴之感，是一种最具内涵的证法.
212对表述2
证明：如图5所示，过圆的最高点A分别作弦轨道CB、DB的平行轨道AC′、A D′.由于AC′与CB平行且等长，小物体从A点沿AC′滑到C′点时间与从C点沿CB滑到B点时间相等.同理可知小物体从D沿DB滑到B点与从A点沿A D′滑到D′点等时，由表述1知：小物体分别从任意两轨道的最高点静止开始无摩擦地沿两轨道下滑到最低点B所用的时间相等.
22初速度不一定为零
如图6所示，同一竖直平面内两圆相切于B点（B点为下面圆的最高点），在两圆内过B点作许多条光滑的直轨道（每条轨道的两个端点都分别在这两个圆周上）.则一个小物体分别从每条轨道的上端静止开始下滑到轨道的下端所用时间相等.
证明：设上、下两圆的半径分别为 r 和R，过B点作任意一条轨道 1 ，设其两端点分别为M、N .以r R为半径作一圆与原来两圆分别切于最高点A和最低点C（如图6所示），过A点作原轨道1的平行线AD，连CD，据几何知识我们不难证明 CD与下面圆的交点即为N点，且AD与MN平行且相等.故物体从M 点沿轨道1静止开始下滑到N点所需时间等于从A点沿AD 静止开始下滑到D点所需时间，且等于从A点作自由落体运动到C点所需时间t=2R rg；这与轨道1的水平倾角无关，即命题成立.
由等时圆的结论，我们可以看出，小物体分别沿图6中最高点不在同一水平线上的轨道1和2的顶端静止开始滑到B点的时间是相等的，但物体滑到B点时速度的大小却不相同 ，而物体沿这两条轨道运动的总时间却是相等的，则物体分别沿这两条轨道滑到B点以后在下面圆内的另一段轨道上运动的时间应是相等的.由此可见，前面给出的关于等时圆的结论中，物体自轨道的最高点不一定要从静止开始下滑，结论才成立，可以有着不同的初速度下滑，结论也成立.
那么，下滑的初速度是否取任意值结论都成立呢？
如图6所示，设光滑直轨道1的水平倾角为α，物体沿此轨道下滑的加速度为a=gsinα，且MB=2rsinα，则物体从轨道1的最高点M 静止下滑到B点时速度大小为：v0=2a·MB=2sinαgr，又BN=2Rsinα ，设物体从B点滑到N点的时间为t′，则有：BN=v0t′ 12at′2
，可得：2R=2grt′ 12gt′2，可见t′与α角无关.
由以上分析可知，只要物体沿水平倾角为α的轨道下滑的初速度的大小满足v0 =ksinα （k≥0，是对所有轨道都相同的常数），则等时圆的结论就成立.
23轨道不光滑存在另一等时圆
建立如图7所示的极坐标系.设小物体与轨道的动摩擦因数为μ，小物体从某点B（r，α）沿倾角α（90°≥α>=arctanμ ）的直轨道下滑到O点的时间为t，则下滑的加速度大小为a=g（sinα – μcosα），由r=12at2得：t=12gt2（sinα-μcosα）=ksin（α-），这是一个圆的方程，这里k=121 μ2gt2，即小物体静止开始沿与动摩擦因数相同的直轨道下滑到O点时间t相同时，所有直轨道的起始点位于同一个圆周的某一部分上（如图8圆周的实线部分），该圆与倾角为φ 的斜面相切（物体在此斜面上恰好不能静止下滑），值得注意的是O不是此圆的最低点.
同理可得，如图9所示，直轨道不光滑时，从圆上非最高点A沿不同直轨道静止下滑到轨道另一端的圆上所用时间相同.
可见，直轨道不光滑也可构成另一种“等时圆”.
练习：如图10所示，有多条直轨道的下端交于O点，所有轨道的两端点均在同一圆周上，一个小物体分别沿第一条直轨道的上端下滑到O点的时间相同，则
①小物体的初速度不一定为零，但沿所有轨道下滑的初速度大小相等
②小物体的初速度可能不为零，但沿所有轨道下滑的初速度大小不相等
③所有直轨道必须光滑
④所有直轨道不一定光滑，小物体与每条轨道的动摩擦因数必须相同
⑤O点一定是圆的最低点
⑥O点不一定是圆的最低点
关于以上说法中正确的是（ ）
A.①③⑤ B.②④⑤
C.②④⑥ D.①④⑥
答案：C