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数学教学的有效，有时取决于拓展的有效性和深度，然而拓展教学不是那么容易就能达到的底线。笔者在观摩课中就看到过这样两个案例：
课例1：除法教学时，教师首先提出了这样的问题：“每个书包12元，46元可以买几个这样的书包？”算式为46÷12=3……10，答案是可以买3个这样的书包。这时，有学生提出46元可以买到4个这样的书包，其理由是买多了可以与售货员讨价还价，还有学生提出可以到别的商店去买。于是讨论各种买包方案成了这节课的高潮。
反思：这样的课堂是对拓展的表面化理解和误读。新课程要求对学生拓展思维，但绝对不是放任学生;新课程还要求数学拓展来源于生活，向生活延伸，但不意味着数学可以没有规则，无所谓对错。
课例2：这是一节关于“圆的认识”的教学片段：
师：落日、年轮、老鼠洞、涟漪。你能找到藏在这4个词背后那个相同的词吗？（学生普遍有困难，师出示4幅图片）
生1：圆！（学生恍然大悟。）
生2（纠正）：近似的圆。
师：是的，自然界的植物、动物甚至无生命的都不约而同地选择了圆。难怪有人说“圆是非智慧图形”。当然，就像刚才同学们所说，这些圆只能说是近似的、大概的。那么用上什么工具，就可以做出一个标准的圆了？
生3：圆规。
师：给你圆规，会画圆吗？（生3画圆，其他学生纠正）
师：看着这个圆，和我们以前学习的其他图形有什么不同？
生4：圆是曲线图形，三角形等是直线图形。
师：但是，圆这个曲线图形，和这些直线图形，它们都是——平面图形。大家知道，平面上最基本的元素是点，点形成线。研究圆，我们就从点和线开始。先来看点。圆上有无数个点，圆内也有无数个点。在这无数个点里，你觉得哪个点最重要？把它点出来！
生5：圆心！
师：“聪明的脑袋瓜是相似的”，我们都选择了圆中心的这个点。的确，这个点不同一般，它还拥有自己的名字：圆心。圆心一般用字母O表示。以前我们学过的图形也有中心，地位却没这么重要过。你看，正方形的中心，我们也不给它取个名字叫方心什么的。圆心，究竟特别重要在哪里？学生讨论。
生6：画圆时圆规针尖固定的地方。
生7：与圆上任何一点的距离都相等。
师：“圆心与圆上任何一点的距离都相等”这是什么意思？你们同意吗？
生8：是相等的，因为这个距离都等于圆规两脚间的距离。
生9：因为把圆心固定了，旋转任何角度以后圆都与原来的图完全重合。
師：我很高兴，同学们在判断这个距离是不是真的都相等，都是在用自己的大脑去想、去推理的。再来看线——把你认为特别的、重要的线段画出来！
反思：这节课，把圆的特征蕴含在“找出圆中重要的点和线，为什么说它重要？”这个大问题中拓展教学，但学生回答却不离谱的原因在于有内在的逻辑保障：圆心是唯一的，而其他点都可以找到与其地位平等的许多点。在对这个问题的探究中，学生感悟到“研究平面图形就从点和线开始”。这一迁移方法，还能渗透“化复杂为简单”的思想，不失为一个成功有效的拓展。
的确，近年来追求课堂教学的有效性，已成为大家共同关注的话题。笔者在平时数学拓展教学中一般注意以下几点，尽可能实现拓展的有效性、高效性：
一、放之有度。课堂中的开放要把握好尺度，开放过度会浪费时间，完不成教学任务;开放得不够，学生的能力得不到充分发挥。课堂教学应从特定的教学目标、内容、对象出发，综合确定开放程度。教师在备课时要吃透教材，摸准学生，尽量考虑到课堂上可能出现的任何情况，放的时候做到心中有数。如在教学《三角形的面积计算》时，教师在备课时就应该明确：学生在众多的三角形中，或拼摆、或割补转化成已学图形，范围广、途径多。因此在教学中，要根据课堂现实调控探究过程。若学生基础较好，可以先引导学生用两个三角形拼摆探究，再用一个三角形割补研究;若学生基础一般，可以重点引导学生用两个三角形拼摆探究。另外，要选择具有代表性的探究成果展示交流，不可面面俱到，其余的可留在课后探讨，以确保有足够时间研究发现拼成的图形与原三角形的关系，进而推导出三角形面积公式。
二、导之有向。在课堂中，既要给学生足够的时间和空间，让学生大胆尝试，又要在学生探究理解新知的过程中，提供给他们明确的目标和导向。当学生思维出现“偏离”受阻时，教师不应该再让学生漫无边际地乱猜，而应适时疏导，启发学生，通过分组探究讨论、全班交流，从而发现特征。这些在具体步骤或层次上的“问题”或“提示”就是学生思维途径上一个个必不可少的路标，正是这些路标引导着他们一步一步地发现规律，促使教学目标的达成。
三、学之有序。基于小学生的年龄特点和认知规律，开放课堂中的教学活动的呈现要体现出层次性和序列性，做到循序渐进、由浅入深。如教学“圆的认识”时，可以“学生三次画圆”为主线展开教学：第一次让学生画圆，感知圆规的使用及画圆方法;第二次要求学生画一个大小和位置确定的圆，将圆心、半径和直径的概念抽象出来;第三次不用圆规、创意性地画圆，是对圆的特征的拓展和运用。三次都是画圆，但每次目的都不相同，要求一次比一次高，学生对圆的认识也一次比一次深刻。最后，教师还可以作进一步的延伸：你在什么地方见过圆？车轮为什么要做成圆形？车轮的轴要安放在什么位置？从而沟通书本与生活，把书本知识变成活知识。只有这样才能使开放教学放而不乱，活中求实。
总之有效的课堂教学是我们的永恒追求，教师应以冷静、理智的态度，充分发挥引导作用，真正使我们的课堂做到开放、有效。
【作者单位：高邮市送桥镇送桥试验小学
课例1：除法教学时，教师首先提出了这样的问题：“每个书包12元，46元可以买几个这样的书包？”算式为46÷12=3……10，答案是可以买3个这样的书包。这时，有学生提出46元可以买到4个这样的书包，其理由是买多了可以与售货员讨价还价，还有学生提出可以到别的商店去买。于是讨论各种买包方案成了这节课的高潮。
反思：这样的课堂是对拓展的表面化理解和误读。新课程要求对学生拓展思维，但绝对不是放任学生;新课程还要求数学拓展来源于生活，向生活延伸，但不意味着数学可以没有规则，无所谓对错。
课例2：这是一节关于“圆的认识”的教学片段：
师：落日、年轮、老鼠洞、涟漪。你能找到藏在这4个词背后那个相同的词吗？（学生普遍有困难，师出示4幅图片）
生1：圆！（学生恍然大悟。）
生2（纠正）：近似的圆。
师：是的，自然界的植物、动物甚至无生命的都不约而同地选择了圆。难怪有人说“圆是非智慧图形”。当然，就像刚才同学们所说，这些圆只能说是近似的、大概的。那么用上什么工具，就可以做出一个标准的圆了？
生3：圆规。
师：给你圆规，会画圆吗？（生3画圆，其他学生纠正）
师：看着这个圆，和我们以前学习的其他图形有什么不同？
生4：圆是曲线图形，三角形等是直线图形。
师：但是，圆这个曲线图形，和这些直线图形，它们都是——平面图形。大家知道，平面上最基本的元素是点，点形成线。研究圆，我们就从点和线开始。先来看点。圆上有无数个点，圆内也有无数个点。在这无数个点里，你觉得哪个点最重要？把它点出来！
生5：圆心！
师：“聪明的脑袋瓜是相似的”，我们都选择了圆中心的这个点。的确，这个点不同一般，它还拥有自己的名字：圆心。圆心一般用字母O表示。以前我们学过的图形也有中心，地位却没这么重要过。你看，正方形的中心，我们也不给它取个名字叫方心什么的。圆心，究竟特别重要在哪里？学生讨论。
生6：画圆时圆规针尖固定的地方。
生7：与圆上任何一点的距离都相等。
师：“圆心与圆上任何一点的距离都相等”这是什么意思？你们同意吗？
生8：是相等的，因为这个距离都等于圆规两脚间的距离。
生9：因为把圆心固定了，旋转任何角度以后圆都与原来的图完全重合。
師：我很高兴，同学们在判断这个距离是不是真的都相等，都是在用自己的大脑去想、去推理的。再来看线——把你认为特别的、重要的线段画出来！
反思：这节课，把圆的特征蕴含在“找出圆中重要的点和线，为什么说它重要？”这个大问题中拓展教学，但学生回答却不离谱的原因在于有内在的逻辑保障：圆心是唯一的，而其他点都可以找到与其地位平等的许多点。在对这个问题的探究中，学生感悟到“研究平面图形就从点和线开始”。这一迁移方法，还能渗透“化复杂为简单”的思想，不失为一个成功有效的拓展。
的确，近年来追求课堂教学的有效性，已成为大家共同关注的话题。笔者在平时数学拓展教学中一般注意以下几点，尽可能实现拓展的有效性、高效性：
一、放之有度。课堂中的开放要把握好尺度，开放过度会浪费时间，完不成教学任务;开放得不够，学生的能力得不到充分发挥。课堂教学应从特定的教学目标、内容、对象出发，综合确定开放程度。教师在备课时要吃透教材，摸准学生，尽量考虑到课堂上可能出现的任何情况，放的时候做到心中有数。如在教学《三角形的面积计算》时，教师在备课时就应该明确：学生在众多的三角形中，或拼摆、或割补转化成已学图形，范围广、途径多。因此在教学中，要根据课堂现实调控探究过程。若学生基础较好，可以先引导学生用两个三角形拼摆探究，再用一个三角形割补研究;若学生基础一般，可以重点引导学生用两个三角形拼摆探究。另外，要选择具有代表性的探究成果展示交流，不可面面俱到，其余的可留在课后探讨，以确保有足够时间研究发现拼成的图形与原三角形的关系，进而推导出三角形面积公式。
二、导之有向。在课堂中，既要给学生足够的时间和空间，让学生大胆尝试，又要在学生探究理解新知的过程中，提供给他们明确的目标和导向。当学生思维出现“偏离”受阻时，教师不应该再让学生漫无边际地乱猜，而应适时疏导，启发学生，通过分组探究讨论、全班交流，从而发现特征。这些在具体步骤或层次上的“问题”或“提示”就是学生思维途径上一个个必不可少的路标，正是这些路标引导着他们一步一步地发现规律，促使教学目标的达成。
三、学之有序。基于小学生的年龄特点和认知规律，开放课堂中的教学活动的呈现要体现出层次性和序列性，做到循序渐进、由浅入深。如教学“圆的认识”时，可以“学生三次画圆”为主线展开教学：第一次让学生画圆，感知圆规的使用及画圆方法;第二次要求学生画一个大小和位置确定的圆，将圆心、半径和直径的概念抽象出来;第三次不用圆规、创意性地画圆，是对圆的特征的拓展和运用。三次都是画圆，但每次目的都不相同，要求一次比一次高，学生对圆的认识也一次比一次深刻。最后，教师还可以作进一步的延伸：你在什么地方见过圆？车轮为什么要做成圆形？车轮的轴要安放在什么位置？从而沟通书本与生活，把书本知识变成活知识。只有这样才能使开放教学放而不乱，活中求实。
总之有效的课堂教学是我们的永恒追求，教师应以冷静、理智的态度，充分发挥引导作用，真正使我们的课堂做到开放、有效。
【作者单位：高邮市送桥镇送桥试验小学