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在小学六年级数学的计算题中， 只要我们留意就会看到一个奇怪而又普遍的错误现象——因大多数学生受乘法结合律的影响而误用“乘法分配律”， 并且在不同班级、不同学校、 不同年代的小学生中出现的错误现象几乎是一样的。例如： 12×（■+■）×20=12×■+■×20=5+1=6。这类错误既然如此常见而又能跨越时空， 必然有其深层次的原因。为此，我针对上述错误情况在高年级学生中进行了问卷调查和个别访谈，分析错因。
一、测试访谈情况
我把“12×（■+■）×20”这道题在六年级学生还未进入毕业总复习前进行测试，可测试结果还是出乎所料。在一个班52名学生中有6人答案正确，其中只有1人正确地应用了乘法分配律简算方法，即12×（■+■）×20=12×■×20+ 12×■×20=100+12=112，还有3人想到应用乘法分配律来简算，可是只把括号外的一个数分别与括号内的两个分数先相乘，再与括号外的另一个数相乘，即12×（■+■）×20=（12×■+12×■）×20=■×20=112，另外2人没用简算，而是先把括号里的■+■通分合并变成一个数■后，再与括号外的两个数相乘，即12×■×20=112。在测试中12×（■+■）×20=12×■+■×20=5+1=6这样误用“乘法结合律”来简算的学生有39人，占全班人数的75%。上述简算错误的学生说：“我们只看到题目中括号内两个分数的分母正好与括号外两个整数成倍数关系能直接约分，至于括号内两个分数相加（应用乘法分配律），括号内两个分数相乘（应用乘法结合律）就没有注意了。 ”但还有7人错用乘法分配律来简算，把括号外的两个数都分别与括号内两个分数相乘而造成计算错误，即12×（■+■）×20=12×■+12×■+20×■+20×■。
二、错误原因分析
1. 学生受乘法结合律运算的负迁移影响。
小学数学教材是按学生的认知规律编写的，从整数乘法交换律、结合律、分配律拓展到小数，再延伸到分数。这些“乘法运算定律”在分数的四则混合运算过程中要让学生分辨并灵活运用是有困难的。从调查中，我了解到多数学生受乘法结合律的影响，看到算式12×（■+■）×20中括号内两个分数分母与括号外两个整数相同就直接去约分了，对于括号内的两个分数是相加还是相乘就没有注意了，这样就造成误用了“乘法分配律”。计算错误原因有：①学生对定律理解不透彻。学生在中年级对乘法结合律“三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘；或先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。”这一定律中的“三个数”与乘法分配律中的“三个数”，究竟是怎样运算才简便而混淆了。因此，教师必须讲清算理，举些实例让学生真正理解并加以辨别达到合理灵活的运算。②学生对计算审题不认真：教学时教师在讲清算理的同时，更要强调学生在计算前必须注意审题——不仅要观察题目中的数据情况，还要注意看题中的运算符号。能运用乘法结合律的算式一定是几个数连乘的，而能运用乘法分配律的算式中一定是括号内的几个分数是相加或相减。为了避免学生出现上述12×（■+■）×20=12×■+■×20=5+1=6的错误，关键的问题是要看清楚括号内的几个分数是相加（减），还是相乘，这样就可确定是选用哪个运算定律。为防止和纠正上述错误出现， 教师在教学中除了讲清算理外还得出一些对比性练习。如： 25×4+8×125与25×4×8×125，12×■+■×20与12×■×■×20，12×20×（■×■）与12×20×（■+■），12×（■×■）×20与12×（■+■）×20等辨析题来帮助学生分辨理清。
2. 学生受乘法分配律运算的思维定势影响。
学生从中年级开始学习了“乘法分配律”后，就一直伴随到高年级，这一运算定律在“整数—小数—分数”四则混合运算的学习中不断出现而被广泛应用。当学生刚开始接触“乘法分配律”时，教材中只出现类似（a+b）×c=ac+bc或c×（a-b）=ac-bc，在整数范围内的应用，此时学生用得得心应手，不会出现错误，只见过上述“两个数的和（差）同一个数相乘，等于把两个数分别同这个数相乘，再把两个积加（减）起来，结果不变”。这同时也就在学生头脑中留下了根深蒂固的印象。当“乘法分配律”推广拓展到高年级分数四则混合运算时题型不再是那么“规矩”，在乘法分配律的简算题中有时括号外不只是一个数而是与几个数相乘了。这时学生更加关注的是“约分”，对类似“a×（■+■）×c” 题型，学生借助乘法分配律的惯性思维自然而然地迁移出“12×（■+■）×20=12×■+■×20=5+1=6”。至于为什么“括号内两个数的和（差）同括号外的几个数都要分别相乘？”中年级教材尚未见过此题型。这就增加了学生根据a×（b+c）=ab+ac迁移出a×（■+■）×b = a×■+ ■×b可能性。
要防止学生出现这类常见错误，有效的办法就是引导学生弄清乘法分配律的意义和运算法则，及时发现错误并纠正，不让这类错误算法在学生的头脑里生根发芽。由此可见，教师在讲清乘法分配律应用时要注意“括号内几个数的和与差，同时分别去乘括号外的几个数（把括号外相乘的这几个数可看作一个数）”的基础上同时补充类似的对比练习。如：（a+b）×c与（■+■）×c，（■+■）×a与（■+■）×a×b，a×b×（■+■）与a×（■+■）×b ，a×（■+■）×b与a×（■+■）×b。同对比练习使学生对与乘法分配律结构相近的运算进行辨析，并获得深刻体验。这种对比练习，最好在学生问题发生之前。因为小学生有个特点，即遇事容易“先入为主”， 一个错误的算法一旦在他们头脑里产生思维定势后就很难纠正过来。
（作者单位：福建省建瓯市实验小学）
一、测试访谈情况
我把“12×（■+■）×20”这道题在六年级学生还未进入毕业总复习前进行测试，可测试结果还是出乎所料。在一个班52名学生中有6人答案正确，其中只有1人正确地应用了乘法分配律简算方法，即12×（■+■）×20=12×■×20+ 12×■×20=100+12=112，还有3人想到应用乘法分配律来简算，可是只把括号外的一个数分别与括号内的两个分数先相乘，再与括号外的另一个数相乘，即12×（■+■）×20=（12×■+12×■）×20=■×20=112，另外2人没用简算，而是先把括号里的■+■通分合并变成一个数■后，再与括号外的两个数相乘，即12×■×20=112。在测试中12×（■+■）×20=12×■+■×20=5+1=6这样误用“乘法结合律”来简算的学生有39人，占全班人数的75%。上述简算错误的学生说：“我们只看到题目中括号内两个分数的分母正好与括号外两个整数成倍数关系能直接约分，至于括号内两个分数相加（应用乘法分配律），括号内两个分数相乘（应用乘法结合律）就没有注意了。 ”但还有7人错用乘法分配律来简算，把括号外的两个数都分别与括号内两个分数相乘而造成计算错误，即12×（■+■）×20=12×■+12×■+20×■+20×■。
二、错误原因分析
1. 学生受乘法结合律运算的负迁移影响。
小学数学教材是按学生的认知规律编写的，从整数乘法交换律、结合律、分配律拓展到小数，再延伸到分数。这些“乘法运算定律”在分数的四则混合运算过程中要让学生分辨并灵活运用是有困难的。从调查中，我了解到多数学生受乘法结合律的影响，看到算式12×（■+■）×20中括号内两个分数分母与括号外两个整数相同就直接去约分了，对于括号内的两个分数是相加还是相乘就没有注意了，这样就造成误用了“乘法分配律”。计算错误原因有：①学生对定律理解不透彻。学生在中年级对乘法结合律“三个数相乘，先把前两个数相乘，再和第三个数相乘；或先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，积不变。”这一定律中的“三个数”与乘法分配律中的“三个数”，究竟是怎样运算才简便而混淆了。因此，教师必须讲清算理，举些实例让学生真正理解并加以辨别达到合理灵活的运算。②学生对计算审题不认真：教学时教师在讲清算理的同时，更要强调学生在计算前必须注意审题——不仅要观察题目中的数据情况，还要注意看题中的运算符号。能运用乘法结合律的算式一定是几个数连乘的，而能运用乘法分配律的算式中一定是括号内的几个分数是相加或相减。为了避免学生出现上述12×（■+■）×20=12×■+■×20=5+1=6的错误，关键的问题是要看清楚括号内的几个分数是相加（减），还是相乘，这样就可确定是选用哪个运算定律。为防止和纠正上述错误出现， 教师在教学中除了讲清算理外还得出一些对比性练习。如： 25×4+8×125与25×4×8×125，12×■+■×20与12×■×■×20，12×20×（■×■）与12×20×（■+■），12×（■×■）×20与12×（■+■）×20等辨析题来帮助学生分辨理清。
2. 学生受乘法分配律运算的思维定势影响。
学生从中年级开始学习了“乘法分配律”后，就一直伴随到高年级，这一运算定律在“整数—小数—分数”四则混合运算的学习中不断出现而被广泛应用。当学生刚开始接触“乘法分配律”时，教材中只出现类似（a+b）×c=ac+bc或c×（a-b）=ac-bc，在整数范围内的应用，此时学生用得得心应手，不会出现错误，只见过上述“两个数的和（差）同一个数相乘，等于把两个数分别同这个数相乘，再把两个积加（减）起来，结果不变”。这同时也就在学生头脑中留下了根深蒂固的印象。当“乘法分配律”推广拓展到高年级分数四则混合运算时题型不再是那么“规矩”，在乘法分配律的简算题中有时括号外不只是一个数而是与几个数相乘了。这时学生更加关注的是“约分”，对类似“a×（■+■）×c” 题型，学生借助乘法分配律的惯性思维自然而然地迁移出“12×（■+■）×20=12×■+■×20=5+1=6”。至于为什么“括号内两个数的和（差）同括号外的几个数都要分别相乘？”中年级教材尚未见过此题型。这就增加了学生根据a×（b+c）=ab+ac迁移出a×（■+■）×b = a×■+ ■×b可能性。
要防止学生出现这类常见错误，有效的办法就是引导学生弄清乘法分配律的意义和运算法则，及时发现错误并纠正，不让这类错误算法在学生的头脑里生根发芽。由此可见，教师在讲清乘法分配律应用时要注意“括号内几个数的和与差，同时分别去乘括号外的几个数（把括号外相乘的这几个数可看作一个数）”的基础上同时补充类似的对比练习。如：（a+b）×c与（■+■）×c，（■+■）×a与（■+■）×a×b，a×b×（■+■）与a×（■+■）×b ，a×（■+■）×b与a×（■+■）×b。同对比练习使学生对与乘法分配律结构相近的运算进行辨析，并获得深刻体验。这种对比练习，最好在学生问题发生之前。因为小学生有个特点，即遇事容易“先入为主”， 一个错误的算法一旦在他们头脑里产生思维定势后就很难纠正过来。
（作者单位：福建省建瓯市实验小学）