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摘要：秩是线性代数中较难理解的一个概念，但是它与矩阵、向量组、二次型却有着密切的关系。理解和掌握了秩，就能够灵活地看待不同知识点之间的联系，有助于相似知识点的掌握。
关键词：秩;矩阵;向量组;二次型
一、神秘的“秩”
秩是秩序，可以联想为衡量秩序程度的一个量。“秩”最早出现在線性代数教材关于矩阵秩的定义介绍中。定义如下：
设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）。
看完这个定义，很多人会能够根据定义正确计算出矩阵A的秩，但并不能从内心深处真正理解矩阵A的秩。秩到底是什么？很多的专家学者也并没有给出统一的、确切的答案，只是有部分研究者按照自己的理解给出了分析和解释。其中有一种理解是：秩是通过矩阵变换之后的维度，并且通过二维平面直角坐标系给出了直观的展示。如图1所示：
对于上述以坐标原点为中心的正方形，通过旋转矩阵 进行变换，得到一个二维图形，因此，旋转矩阵P的秩为2，如图2所示：
若通过矩阵 进行变换，得到的是一条直线，一维的，所以旋转矩阵Q的秩为1，如图3所示。
如果换做旋转矩阵 ，得到的是一个点，零维的。所以旋转矩阵 的秩为0。
还有人将矩阵视为线性映射引出的概念，而将矩阵的秩看做线性映射空间的维数。例如，如果把矩阵当做样本集合，每一行都是一个样本，那么矩阵的秩就是这些样本所生成的线性子空间的维数。在有限维空间中，矩阵和线性映射同构，所以上述两种理解算是殊途同归。
对于二阶矩阵，这样的理解学习者应该能接受，但对于三维及其三维以上的旋转矩阵，如何直观展示矩阵的秩，这是一个难题。所以大家见到的大多是如何计算矩阵的秩或者向量组的秩，而很少有人探讨秩的直观展示和理解。
二、“秩”的作用和地位
矩阵的秩虽然抽象，不易理解，但是矩阵的秩是矩阵的内在特征，本质的东西。所以对A进行初等变换前后，秩是不改变的，即如果 ，则R（A）= R（B）。正因为初等变化没有改变矩阵A的内在特征—秩，所以才使得矩阵的初等变换应用广泛。例如，可以用于求解线性方程组的解，也可以用来寻找向量组的最大无关组，还可以在此基础上，用最大无关组表示剩余的向量等等。
1.矩阵的秩与线性方程组的求解
对于n元非齐次线性方程组 ，可以通过矩阵A和增广矩阵（A，b）二者秩的情况，来判断解的情况。当R（A）≠R（A，b）时，方程组无解;当R（A）=R（A，b）= n时，方程组存在唯一解;当R（A）=R（A，b）< n时，方程组存在无穷多组解。
2.矩阵的秩与向量组线性相关性的判定
向量组线性相关性的判定除了定义及等价定义，还有一些定理也比较常用。例如，如果向量组 的秩 ，则向量组A线性相关;若 ，则向量组A线性无关。
3.矩阵的秩与向量组的秩
向量组 虽然在数值上等于对应矩阵A的秩，
但在理解上要相对容易一些。例如，四个三维向量构成的向量组
由向量组线性相关性的判定方法可知，该矩阵的秩为3，则向量组A线性相关。向量组A的秩R（A）小于向量个数，可以理解为向量组A中存在可以被替代的向量，例如上述向量组A中的 ，说明向量 可以被 的线性组合取代，即A中存在可以被剔除的向量。将向量组A中所有可以被取代的向量全部剔除后，剩余的向量个数即为向量组的秩。保留下来的向量都可以看做无可替代的精英，因此向量组的秩可以理解为精英组中所含精英的个数。
4.矩阵的秩与二次型的秩
当然，在矩阵的二次型中，也有秩的概念，那就是二次型的秩。二次型
可用矩阵表示为 ，其中A为对称矩阵，称为二次型f的矩阵。对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩，所以，可以通过计算矩阵A的秩得到二次型f的秩。二次型的秩可以理解为标准二次型中所含平方项的个数。
三、小结
秩作为线性代数中的一个神秘字眼，与线性方程组、向量组、二次型等主要研究内容都有千丝万缕的联系。矩阵的秩更是与所对应的向量组的秩及二次型的秩在数值上是一样的。但对于不同的对象，秩的理解是不同的，本文基于秩这条线，将线性代数的不同研究内容联系在一起。通过对相似内容的剖析，我们可以更好地理解和掌握。
参考文献：
[1] .矩阵的秩在线性代数中的运用，苏芳，徐湛，成礼智，科技创新导报，2010，09.
[2] .矩阵的秩的一类新的证明方法，唐睿，董晓亮，薛淑悦，朱乾宏，宁夏师范学院学报，2018.01.
[3] .矩阵的秩的知识迁移教学法，赵婷，洛阳师范学院学报，2016.08.
作者简介：
刘瑞杰（1986—），女，讲师，河南开封人，硕士研究生，主要研究方向为智能计算。]
（作者单位：武警警官学院）
关键词：秩;矩阵;向量组;二次型
一、神秘的“秩”
秩是秩序，可以联想为衡量秩序程度的一个量。“秩”最早出现在線性代数教材关于矩阵秩的定义介绍中。定义如下：
设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数r称为矩阵A的秩，记作R（A）。
看完这个定义，很多人会能够根据定义正确计算出矩阵A的秩，但并不能从内心深处真正理解矩阵A的秩。秩到底是什么？很多的专家学者也并没有给出统一的、确切的答案，只是有部分研究者按照自己的理解给出了分析和解释。其中有一种理解是：秩是通过矩阵变换之后的维度，并且通过二维平面直角坐标系给出了直观的展示。如图1所示：
对于上述以坐标原点为中心的正方形，通过旋转矩阵 进行变换，得到一个二维图形，因此，旋转矩阵P的秩为2，如图2所示：
若通过矩阵 进行变换，得到的是一条直线，一维的，所以旋转矩阵Q的秩为1，如图3所示。
如果换做旋转矩阵 ，得到的是一个点，零维的。所以旋转矩阵 的秩为0。
还有人将矩阵视为线性映射引出的概念，而将矩阵的秩看做线性映射空间的维数。例如，如果把矩阵当做样本集合，每一行都是一个样本，那么矩阵的秩就是这些样本所生成的线性子空间的维数。在有限维空间中，矩阵和线性映射同构，所以上述两种理解算是殊途同归。
对于二阶矩阵，这样的理解学习者应该能接受，但对于三维及其三维以上的旋转矩阵，如何直观展示矩阵的秩，这是一个难题。所以大家见到的大多是如何计算矩阵的秩或者向量组的秩，而很少有人探讨秩的直观展示和理解。
二、“秩”的作用和地位
矩阵的秩虽然抽象，不易理解，但是矩阵的秩是矩阵的内在特征，本质的东西。所以对A进行初等变换前后，秩是不改变的，即如果 ，则R（A）= R（B）。正因为初等变化没有改变矩阵A的内在特征—秩，所以才使得矩阵的初等变换应用广泛。例如，可以用于求解线性方程组的解，也可以用来寻找向量组的最大无关组，还可以在此基础上，用最大无关组表示剩余的向量等等。
1.矩阵的秩与线性方程组的求解
对于n元非齐次线性方程组 ，可以通过矩阵A和增广矩阵（A，b）二者秩的情况，来判断解的情况。当R（A）≠R（A，b）时，方程组无解;当R（A）=R（A，b）= n时，方程组存在唯一解;当R（A）=R（A，b）< n时，方程组存在无穷多组解。
2.矩阵的秩与向量组线性相关性的判定
向量组线性相关性的判定除了定义及等价定义，还有一些定理也比较常用。例如，如果向量组 的秩 ，则向量组A线性相关;若 ，则向量组A线性无关。
3.矩阵的秩与向量组的秩
向量组 虽然在数值上等于对应矩阵A的秩，
但在理解上要相对容易一些。例如，四个三维向量构成的向量组
由向量组线性相关性的判定方法可知，该矩阵的秩为3，则向量组A线性相关。向量组A的秩R（A）小于向量个数，可以理解为向量组A中存在可以被替代的向量，例如上述向量组A中的 ，说明向量 可以被 的线性组合取代，即A中存在可以被剔除的向量。将向量组A中所有可以被取代的向量全部剔除后，剩余的向量个数即为向量组的秩。保留下来的向量都可以看做无可替代的精英，因此向量组的秩可以理解为精英组中所含精英的个数。
4.矩阵的秩与二次型的秩
当然，在矩阵的二次型中，也有秩的概念，那就是二次型的秩。二次型
可用矩阵表示为 ，其中A为对称矩阵，称为二次型f的矩阵。对称矩阵A的秩叫做二次型f的秩，所以，可以通过计算矩阵A的秩得到二次型f的秩。二次型的秩可以理解为标准二次型中所含平方项的个数。
三、小结
秩作为线性代数中的一个神秘字眼，与线性方程组、向量组、二次型等主要研究内容都有千丝万缕的联系。矩阵的秩更是与所对应的向量组的秩及二次型的秩在数值上是一样的。但对于不同的对象，秩的理解是不同的，本文基于秩这条线，将线性代数的不同研究内容联系在一起。通过对相似内容的剖析，我们可以更好地理解和掌握。
参考文献：
[1] .矩阵的秩在线性代数中的运用，苏芳，徐湛，成礼智，科技创新导报，2010，09.
[2] .矩阵的秩的一类新的证明方法，唐睿，董晓亮，薛淑悦，朱乾宏，宁夏师范学院学报，2018.01.
[3] .矩阵的秩的知识迁移教学法，赵婷，洛阳师范学院学报，2016.08.
作者简介：
刘瑞杰（1986—），女，讲师，河南开封人，硕士研究生，主要研究方向为智能计算。]
（作者单位：武警警官学院）