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[摘 要] 以基于数学文化的高中数学教学案例设计——以人教版高中数学必修1“函数”内容举例为主要内容进行阐述，结合当下数学教学要求，从教学背景以及问题提出、具体专题内容、有效分析和拓展知识这几方面进行深入探讨和分析，其目的在于基于数学文化层次提升高中数学教学案例设计价值，旨在为相关研究提供参考资料。
[关 键 词] 数学文化;高中数学;案例设计
[中图分类号] G633.6 [文獻标志码] A [文章编号] 2096-0603（2020）20-0116-02
20世纪80年代以来，国内数学家开始逐渐注重数学文化价值，从教育知识角度提升到精神层次上，时刻关注知识传递性以及发展情况。我国数学教学课程标准明确指出，数学文化在课程实施中存在一定价值，数学文化主要聚集了思想、精神和语言等为一体的内容，在整个过程中要注重数学文化的形成以及发展，也包括人类活动和科学技术等，对于数学发展存在一定价值。基于此对人教版必修1“函数”内容进行分析，设计教学案例内容。
一、教学背景以及问题提出
在数学教学实践中，很多一线教师对数学文化的理解和反应都是十分迷茫的，在数学文化基础上设计教学案例，能够将数学文化理论知识和实践活动结合起来，以一课一评形式做好专题设计工作。设计人员在设计数学教学内容时要重点体现数学文化思想，体现数学知识的针对性和操作性。比如，在学习《课例“轴对称图形”及其点评》类似一课一评形式案例专题研究教学内容时，通常以高校研究人员为主，从全局考虑，紧紧围绕数学文化知识进行分析，从一个知识点分散到多个知识点内容进行分析，对数学知识存在指导价值。本文就是基于数学文化层次上，从逆向思维角度出发，将人教版高中必修1“函数”知识作为基础进行研究，逆向设计，首先需要对学习结果进行分析，确立适合的评价形式，而后开展合理化教学设计工作。优秀教学案例一定要严格遵循循序渐进的基本原则，将数学文化有效融入实践之中，基于此做好逆向设计工作，将结果作为基本导向。在函数专题内容设计过程中，需要基于课程标准分析基本理念，从而可以有效确定预期教学目标。选择函数进行案例设计，主要是因为高中学生对函数概念掌握比较好，可以达到深度学习的基本目标。函数专题设计的基础在于学生对概念掌握具体详细，也是建构主义提倡的内容，自我在内心深处获取对数学知识等不同学科知识文化的理解和认同，使得学生可以在心中构建一个子系统。数学等学科知识和实际生活存在一定关系，相互交融便于学生掌握，从而可以有效提升学生的核心素养。
二、具体专题内容
在数学函数专题内容设计期间可以将其分为三个不同层次，函数基础理解层次、数学化理解层次和函数拓展性理解层次，所以此次数学文化思路设计需要从本质出发。函数也是一种思想文化知识，借助函数和数学史以及应用等之间存在的关系，将知识内容展示出来，然后从逆向思维角度设计专题目标和对策等。
函数原有理解层次：初步掌握基本概念，对一次函数和反比例函数等进行简单掌握，加深对概念的理解。活动：以导入课、问题和头脑风暴形式进行研究，以分组形式对函数知识进行分析，得出基本结果，解决问题，以小组形式借助思维导图学习数学函数概念。评估证据：通过专题测试、随堂小测和观察等各种活动对学生函数知识掌握和理解情况进行分析，从而可以在内心深处构建数学知识概念。
数学化理解层次：在学生掌握概念基础上，借助系统知识加深学生理解，使得学生可以理解内在数学思想，形成数学化理解。活动：为学生营造数学文化氛围，借助讨论、研究和合作等形式，构建网络知识框架，将数形结合和转化等思想融入教学中，对函数知识深入了解。评估证据：主要通过观察、提问、作业检查和练习等检测形式，采用纸币和信息技术形式完成测试工作，引导学生在整个过程中形成合理化反思，对函数知识掌握得更加详细和具体。
拓展性理解层次：通过数学建模将函数主题渗透到其他学科领域内，使学生思维得以拓展，体会数学和不同领域之间的关系，感受数学属于一种文化[1]。时刻关注学生能否将数学文化融入其他学科领域内，分组按照兴趣针对性选择函数知识，拓展数学知识背景，合理分配数学任务，广泛收集资料，做好成果汇报工作，真正体会函数知识曲折过程。评估证据：通常采用小组形式以单位将实习报告到上级，在函数模型层次上进行建模活动，凸显任务和对函数知识的理解程度，做好评估工作，在内心深处对基础知识掌握更加详细，拓展对函数知识的理解，将其作为一种数学思想真正融入学生内心深处。
三、有效分析和拓展知识
结合数学文化层次上的数学专题案例内容，将教学理想彻底融入其中，高度重视人性的回归，时刻关注数学文化的价值，使学生可以从生活经验上合理构建和分析，形成数学知识系统，在内心形成抽象建模形式。针对初高中函数知识进行分析，充分了解和掌握数学思想价值。数学是一种文化，在不同时期存在不同的价值。在数学文化理念下做好案例设计工作，有效实施在实践中，可以取得预期教学效果，数学教师要注重提升自身对数学文化知识的理解，对数学有一个全方位认知，从而深度有效了解数学文化。要想使数学文化教育获得成功，需要教师和学校等多方合作，为数学文化在教学中渗透提供有利条件，还可以为教师创设一个宽松的教育环境[2]。高中时期函数知识结构具体阐述：函数基本概念包含集合、非空数集和函数三要素（定义域、值域和对应关系），还要掌握函数和映射之间的关系，将其从特殊形式融入一般层次上，做好分析和归纳工作，深度研究一般和特殊关系、类比数学思想等[3]。 函数表示法：可以使用解析法、图像法和列表法等进行表示，在学习初中函数知识层次上，对三者存在的基本特征和优势、不足进行阐述，着重分析函数发展整个里程，重点分析分段函数和狄利克雷函数知识。
函数概念主要发展历程，主要包括函数为何产生、产生背景以及数学史料等，向学生介绍狄利克雷和李善兰相关数学家主要故事，重点体会数学知识和人类生活之间存在的关系，将数学知识进行概念具体化和精确化分析[4]。
函数基本性质主要是单调性和最大小值、周期性和对称性等。基本初等函数分别是常函数、对数、指数、幂函数、三角函数和反三角函数，学习六种基本函数需要从一般函数出发设计，重点分析三要素和表示法，然后分析不同函数最值、周期性和对称性，从一般函数层次上分析到特殊函数，结合数学知识进行分析，按照不同类型进行研究，所有基础知识掌握后需要将其应用到实际生活中，注重数学知识的有效应用，加深学生对基础知识的理解，将数学文化有效渗透到不同学科领域，提升学生综合素养的同时，能够有效推动学生发展[5]。单调性和最大小值包含内容比较广泛，结合最大值定义可以有效确定最小值，采用数形结合教学思想进行学习，为学生展示集合图像内容，体现的代数知识更加严谨。奇偶数主要是采用特殊数值在列表上进行有效展示，基于此采用属性结合思想在代数关系和几何图形对称性方面进行表达，表现出两者之间的本质以及联系，然后确定基本定义和图像等内容，可以借助现代化表格和几何画融入高中数学函数教学中，加深学生对基础知识的了解，有效提升函数教学质量。
初高中函数联系和区别：初中学习的函数概念知识是借助自然语言进行介绍，高中则是基于集合层次上，采用数学符号和语言定义进行准确定位，掌握更多数学文化，对学生的要求更高，并且从初中时期的自变量逐渐演变为一种定义域知识内容，逐渐延伸到区间知识，因变量可以演变为值域知识，常量和常函数是对应的，高中时期函数基础概念和映射存在一定关系[6]。函数表示法：初中和高中时期名称并未发生改变，初中函数知识学习是浅层的，高中知识关注三者之间存在的基本特征，在不同情景和领域内选择不同形式进行表示，将数形结合和转化等数学思想融入教学中[7]。具体函数，在初中时期学习简单函数知识，高中则要拓展到六种初等函数知识上，还要注重各种数学思想和解决方法的融入，注重对数学史进行介绍，做好数学知识探索和分析工作，将信息技术有效融入数学教学中，使学生可以从图形学习、代数、类比等不同角度出发学习，加深对函数知识的了解，从根源上提升学生数学核心素养和综合素质，为学生未来发展奠定基础。
四、结语
总而言之，高中数学必修1函数知识对于学生存在一定价值，并且数学知识具备一定数学文化，因此数学教师要注重从数学文化角度出发设计数学教学案例，加深学生对基础知识的了解，还可以有效提升学生的数学核心素养，在内心深处掌握数学文化，加深对函数基础概念和内涵的掌握，引导学生对数学知识进行观察和分析，便于学生发展，还能够为学生未来发展奠定基础。
参考文献：
[1]类成方.浅谈高中数学系统思维的培养路径：以人教版高中数学教材为例[J].新课程（下），2019（1）：118.
[2]彭冬梅.新课标下高中数学教学的巧妙设计：以《正切函数的性质与图象》为例[J].广西教育，2018（46）.
[3]宋健.高中生数学运算核心素养的培养：基于“函数的性质复习课”微课设计[J].数学教学通讯，2019（24）.
[4]赫友钧.高中数学教学案例分析：以函数的单调性判断为例[J].高考，2019（12）.
[5]刘校国.螺旋式上升背景下教学内容呈现方式的研究：基于苏教版高中数学教材必修1与必修4函数图像变换编写的比较[J].中学数学，2017（19）：70-72.
[6]兰春艳.职业高中数学教学设计（正弦函数、余弦函数的性质）[J].中华少年，2018（21）.
[7]高超敏.基于數学核心素养的高中数学函数教学设计：以《函数图像复习课》为例[J].中学教学参考，2018（23）.
编辑 常超波
[关 键 词] 数学文化;高中数学;案例设计
[中图分类号] G633.6 [文獻标志码] A [文章编号] 2096-0603（2020）20-0116-02
20世纪80年代以来，国内数学家开始逐渐注重数学文化价值，从教育知识角度提升到精神层次上，时刻关注知识传递性以及发展情况。我国数学教学课程标准明确指出，数学文化在课程实施中存在一定价值，数学文化主要聚集了思想、精神和语言等为一体的内容，在整个过程中要注重数学文化的形成以及发展，也包括人类活动和科学技术等，对于数学发展存在一定价值。基于此对人教版必修1“函数”内容进行分析，设计教学案例内容。
一、教学背景以及问题提出
在数学教学实践中，很多一线教师对数学文化的理解和反应都是十分迷茫的，在数学文化基础上设计教学案例，能够将数学文化理论知识和实践活动结合起来，以一课一评形式做好专题设计工作。设计人员在设计数学教学内容时要重点体现数学文化思想，体现数学知识的针对性和操作性。比如，在学习《课例“轴对称图形”及其点评》类似一课一评形式案例专题研究教学内容时，通常以高校研究人员为主，从全局考虑，紧紧围绕数学文化知识进行分析，从一个知识点分散到多个知识点内容进行分析，对数学知识存在指导价值。本文就是基于数学文化层次上，从逆向思维角度出发，将人教版高中必修1“函数”知识作为基础进行研究，逆向设计，首先需要对学习结果进行分析，确立适合的评价形式，而后开展合理化教学设计工作。优秀教学案例一定要严格遵循循序渐进的基本原则，将数学文化有效融入实践之中，基于此做好逆向设计工作，将结果作为基本导向。在函数专题内容设计过程中，需要基于课程标准分析基本理念，从而可以有效确定预期教学目标。选择函数进行案例设计，主要是因为高中学生对函数概念掌握比较好，可以达到深度学习的基本目标。函数专题设计的基础在于学生对概念掌握具体详细，也是建构主义提倡的内容，自我在内心深处获取对数学知识等不同学科知识文化的理解和认同，使得学生可以在心中构建一个子系统。数学等学科知识和实际生活存在一定关系，相互交融便于学生掌握，从而可以有效提升学生的核心素养。
二、具体专题内容
在数学函数专题内容设计期间可以将其分为三个不同层次，函数基础理解层次、数学化理解层次和函数拓展性理解层次，所以此次数学文化思路设计需要从本质出发。函数也是一种思想文化知识，借助函数和数学史以及应用等之间存在的关系，将知识内容展示出来，然后从逆向思维角度设计专题目标和对策等。
函数原有理解层次：初步掌握基本概念，对一次函数和反比例函数等进行简单掌握，加深对概念的理解。活动：以导入课、问题和头脑风暴形式进行研究，以分组形式对函数知识进行分析，得出基本结果，解决问题，以小组形式借助思维导图学习数学函数概念。评估证据：通过专题测试、随堂小测和观察等各种活动对学生函数知识掌握和理解情况进行分析，从而可以在内心深处构建数学知识概念。
数学化理解层次：在学生掌握概念基础上，借助系统知识加深学生理解，使得学生可以理解内在数学思想，形成数学化理解。活动：为学生营造数学文化氛围，借助讨论、研究和合作等形式，构建网络知识框架，将数形结合和转化等思想融入教学中，对函数知识深入了解。评估证据：主要通过观察、提问、作业检查和练习等检测形式，采用纸币和信息技术形式完成测试工作，引导学生在整个过程中形成合理化反思，对函数知识掌握得更加详细和具体。
拓展性理解层次：通过数学建模将函数主题渗透到其他学科领域内，使学生思维得以拓展，体会数学和不同领域之间的关系，感受数学属于一种文化[1]。时刻关注学生能否将数学文化融入其他学科领域内，分组按照兴趣针对性选择函数知识，拓展数学知识背景，合理分配数学任务，广泛收集资料，做好成果汇报工作，真正体会函数知识曲折过程。评估证据：通常采用小组形式以单位将实习报告到上级，在函数模型层次上进行建模活动，凸显任务和对函数知识的理解程度，做好评估工作，在内心深处对基础知识掌握更加详细，拓展对函数知识的理解，将其作为一种数学思想真正融入学生内心深处。
三、有效分析和拓展知识
结合数学文化层次上的数学专题案例内容，将教学理想彻底融入其中，高度重视人性的回归，时刻关注数学文化的价值，使学生可以从生活经验上合理构建和分析，形成数学知识系统，在内心形成抽象建模形式。针对初高中函数知识进行分析，充分了解和掌握数学思想价值。数学是一种文化，在不同时期存在不同的价值。在数学文化理念下做好案例设计工作，有效实施在实践中，可以取得预期教学效果，数学教师要注重提升自身对数学文化知识的理解，对数学有一个全方位认知，从而深度有效了解数学文化。要想使数学文化教育获得成功，需要教师和学校等多方合作，为数学文化在教学中渗透提供有利条件，还可以为教师创设一个宽松的教育环境[2]。高中时期函数知识结构具体阐述：函数基本概念包含集合、非空数集和函数三要素（定义域、值域和对应关系），还要掌握函数和映射之间的关系，将其从特殊形式融入一般层次上，做好分析和归纳工作，深度研究一般和特殊关系、类比数学思想等[3]。 函数表示法：可以使用解析法、图像法和列表法等进行表示，在学习初中函数知识层次上，对三者存在的基本特征和优势、不足进行阐述，着重分析函数发展整个里程，重点分析分段函数和狄利克雷函数知识。
函数概念主要发展历程，主要包括函数为何产生、产生背景以及数学史料等，向学生介绍狄利克雷和李善兰相关数学家主要故事，重点体会数学知识和人类生活之间存在的关系，将数学知识进行概念具体化和精确化分析[4]。
函数基本性质主要是单调性和最大小值、周期性和对称性等。基本初等函数分别是常函数、对数、指数、幂函数、三角函数和反三角函数，学习六种基本函数需要从一般函数出发设计，重点分析三要素和表示法，然后分析不同函数最值、周期性和对称性，从一般函数层次上分析到特殊函数，结合数学知识进行分析，按照不同类型进行研究，所有基础知识掌握后需要将其应用到实际生活中，注重数学知识的有效应用，加深学生对基础知识的理解，将数学文化有效渗透到不同学科领域，提升学生综合素养的同时，能够有效推动学生发展[5]。单调性和最大小值包含内容比较广泛，结合最大值定义可以有效确定最小值，采用数形结合教学思想进行学习，为学生展示集合图像内容，体现的代数知识更加严谨。奇偶数主要是采用特殊数值在列表上进行有效展示，基于此采用属性结合思想在代数关系和几何图形对称性方面进行表达，表现出两者之间的本质以及联系，然后确定基本定义和图像等内容，可以借助现代化表格和几何画融入高中数学函数教学中，加深学生对基础知识的了解，有效提升函数教学质量。
初高中函数联系和区别：初中学习的函数概念知识是借助自然语言进行介绍，高中则是基于集合层次上，采用数学符号和语言定义进行准确定位，掌握更多数学文化，对学生的要求更高，并且从初中时期的自变量逐渐演变为一种定义域知识内容，逐渐延伸到区间知识，因变量可以演变为值域知识，常量和常函数是对应的，高中时期函数基础概念和映射存在一定关系[6]。函数表示法：初中和高中时期名称并未发生改变，初中函数知识学习是浅层的，高中知识关注三者之间存在的基本特征，在不同情景和领域内选择不同形式进行表示，将数形结合和转化等数学思想融入教学中[7]。具体函数，在初中时期学习简单函数知识，高中则要拓展到六种初等函数知识上，还要注重各种数学思想和解决方法的融入，注重对数学史进行介绍，做好数学知识探索和分析工作，将信息技术有效融入数学教学中，使学生可以从图形学习、代数、类比等不同角度出发学习，加深对函数知识的了解，从根源上提升学生数学核心素养和综合素质，为学生未来发展奠定基础。
四、结语
总而言之，高中数学必修1函数知识对于学生存在一定价值，并且数学知识具备一定数学文化，因此数学教师要注重从数学文化角度出发设计数学教学案例，加深学生对基础知识的了解，还可以有效提升学生的数学核心素养，在内心深处掌握数学文化，加深对函数基础概念和内涵的掌握，引导学生对数学知识进行观察和分析，便于学生发展，还能够为学生未来发展奠定基础。
参考文献：
[1]类成方.浅谈高中数学系统思维的培养路径：以人教版高中数学教材为例[J].新课程（下），2019（1）：118.
[2]彭冬梅.新课标下高中数学教学的巧妙设计：以《正切函数的性质与图象》为例[J].广西教育，2018（46）.
[3]宋健.高中生数学运算核心素养的培养：基于“函数的性质复习课”微课设计[J].数学教学通讯，2019（24）.
[4]赫友钧.高中数学教学案例分析：以函数的单调性判断为例[J].高考，2019（12）.
[5]刘校国.螺旋式上升背景下教学内容呈现方式的研究：基于苏教版高中数学教材必修1与必修4函数图像变换编写的比较[J].中学数学，2017（19）：70-72.
[6]兰春艳.职业高中数学教学设计（正弦函数、余弦函数的性质）[J].中华少年，2018（21）.
[7]高超敏.基于數学核心素养的高中数学函数教学设计：以《函数图像复习课》为例[J].中学教学参考，2018（23）.
编辑 常超波