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由演绎推理“三段论”我们知道:正确的“大前提” + 正确的“小前提”=正确的“结论”.而解题的过程就是一个推理的过程,因此,解题也要遵循“三段论”.
一、 “大前提”积累要扎实丰富
所谓“大前提”即数学的基本概念、公式、性质、定理以及重要的思想方法、规律和结论.这不仅是数学学习的精髓,更是解题的重要依据和方法来源.如果没有“大前提”的积累,解题只能是句空话.
例1已知O为直线AB外一点,点M在AB上,且=x+2y,其中x>0,y>0,则u=x+y+的最小值是.
分析: 首先,由M,A,B三点共线及=x+2y,结合向量相关知识的“大前提”可以得出x+2y=1;其次,联想课后习题的结论:“若a,b>0且a+b=1,则a+b+≥,当且仅当a=b=时等号成立.”具备了这些“大前提”,我们便可迅速解决本题.
解法一: ∵ M,A,B三点共线且=x+2y, ∴ x+2y=1. 又x+•y+=x+2y+≥×=,当且仅当x=,2y=即y=时等号成立, ∴ umin=.
以上解法高效快捷,但前提是必须要具有相关“大前提”的储备.显然“大前提”越丰富,对解题越有帮助.
可能有的同学会不服气:我不利用这些结论,不具备这些“大前提”也照样可以解这个题,不信你看——
解法二: ∵ M,A,B三点共线,不妨设=λ,即-=λ(-), ∴ =-;又=x+2y, ∴ x+2y=-=1. 又∵ u=x+•y+=xy+++≥xy+2+=1+xy+,令t=xy>0,则可设函数f(t)=1+t+. ∵ x+2y=1且x>0,y>0, ∴ x+2y≥2,即1≥2, ∴ t≤. 显然f(t)在0,上单调递减,∴当t=时,f(t)min=f=. 联立xy=,x+2y=1,解得x=,y=,此时=成立,故umin=.
点评: 解法二属于本题的常规解法,它虽然没有用到解法一中使用的现成结论,但仍然没有脱离对“大前提”的应用:① 向量共线的条件(=λ), ② 均值不等式. 值得注意的是,在将u展开成++xy+后,只能应用一次均值不等式,因为+≥1与xy+≥1在x+2y=1的条件下不能同时取到等号. 解法二中没有犯这样的错误,正说明了这位同学对“大前提”的理解和掌握.
【小结】解题的过程就是一个不断运用概念、方法、结论及经验等“大前提”,将题目化繁为简、化难为易、化生为熟的过程. 有了扎实、丰富和系统的“大前提”,解题时就好比站在高处,题中阡陌一览无余,万千气象尽收眼底,方便我们在“迷雾”中找到方向.
二、“小前提”分析要“对症”灵活
对于解题来说,“小前提”就是题意,而对“小前提”的分析就是探索、选择和调整解题策略及解题方向的过程.这一过程直接关系着解题的成败和效率,因此“小前提”分析一定要“对症”、灵活,只有这样,才能“看得准,算得省”.
例2求直线l:Ax+By+C=0与椭圆+=1 (a>b>0)有公共点的充要条件.
分析: 此题“大前提”明显,主要考查直线与圆锥曲线的位置关系问题,因此分析“小前提”容易想到联立直线和椭圆方程,再利用判别式来进行解答.然而如此求解有一个问题:算式中字母太多,且无法消去,运算起来将困难重重,很难得到结果.这就是“小前题”分析“不对症”的表现,我们应及时调整和变通,更灵活地来寻求“对症”的解题方法.
解法一: 直接联立方程求解困难的本质原因,是利用联立的方程求Δ的运算过于复杂. 那能不能换一种策略来处理这个问题?除了Δ,还有什么方法可以判断位置关系?寻遍“大前提”也只有直线与圆的问题中可以利用圆心到直线的距离来判断两者的位置关系,而圆其实是椭圆的一种极端情形,由此大胆猜想能否把复杂的“直线与椭圆”问题转化为简单的“直线与圆”问题?如果可以,岂不妙哉?
观察+=1(a>b>0),令x=ax1,y=by1,则椭圆方程转化为+=1,即+=1;直线方程转化为Aax1+Bby1+C=0. 直线Aax1+Bby1+C=0与圆+=1有公共点的充要条件为:≤1(圆心到直线的距离小于或等于半径), ∴ C∈[-,].
解法二: 联立直线与椭圆方程进行解答的思路没错,只不过将直线方程代入椭圆方程会导致运算繁杂. 试想能不能反过来将椭圆方程代入直线方程呢?当然,直接将椭圆标准方程代入显然是行不通的,学过参数方程的同学如果能够想到利用椭圆的参数方程来解,那这样的解法可以说是“更胜一筹”.
由题意可知椭圆的参数方程为x=acosφ,y=bcosφ,将其代入直线方程有Aacosφ+Bbsinφ+C=0,即C=-(Aacosφ+Bbsinφ)=-sin(φ+θ). ∵ -1≤sin(φ+θ)≤1, ∴ C∈[-,].
【小结】以上精彩的解法源自对“小前提”的“对症”分析和灵活转化. 如何锤炼这种审题及分析能力呢?以下几点可供大家参考.① 分析题目条件时,尽可能画出相应图形或线索图帮助思考,弄清哪些是已知的,哪些是未知的,哪些是要求的. ② 深入思考每一个符号、概念的含义,找出其中重要的元素;或试着改变一下题中(或图中)元素的位置,看看能否有重要发现. ③ 设法将问题与你会解的某一类题联系起来,联想你熟悉的、最符合已知条件的解题方法. ④ 仔细考虑题意是否有其他不同的理解,尝试换种方法表述条件,或者简化条件研究极限情况. ⑤ 改变问题的一部分,并分析其对其他部分的影响,根据这一影响来寻求解题目标的转化.
三、“结论”检验要防微杜渐
如果把“大前提”的积累比做解题的准备阶段,那么“小前提”的分析就是方法实施阶段,而“结论”的检验就是成果“验收”的阶段. 防错、查错和纠错是解题不可或缺的环节,尤其是选择题和填空题,结论直接关系着成败,一旦失误就会导致前功尽弃.
例3已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1是减函数,则a的取值范围为.
分析: 这是导数应用的一个典型问题.教材中关于这一问题的“大前提”是这样的:“在区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数在这个区间内单调递减.”但这个结论反过来并不成立,f(x)在(a,b)内单调递减,应有f′(x)≤0(x∈(a,b))且f′(x)不恒等于0,故在利用f′(x)≤0求解后,还要对f′(x)=0是否恒成立进行检验.(关于函数单调性与导数的关系,请参考本刊2010年3月号《导数应用中的五大易错点》一文.)
解: 由题意可知f′(x)=3ax2+6x-1,令f′(x)≤0,则a<0,Δ=36+12a≤0,解得a≤-3. 当Δ=0,即a=-3 时,f′(x)=-9x2+6x-1=-(3x-1)2≤0 ,当且仅当x=时,f′(x)=0, ∴ a的取值范围是(-∞,-3].
【小结】数学中有许多容易被忽视的知识点和特殊情况,比如函数的定义域、参数的范围、空集、零向量等.这就要求我们一方面要扎实细致地掌握“大前提”,另一方面还要防微杜渐,做好对结论的检验工作. 结论检验不仅能纠正错误,而且还能有效培养思维的灵活性、严谨性和深刻性,对提高解题能力大有裨益.
一、 “大前提”积累要扎实丰富
所谓“大前提”即数学的基本概念、公式、性质、定理以及重要的思想方法、规律和结论.这不仅是数学学习的精髓,更是解题的重要依据和方法来源.如果没有“大前提”的积累,解题只能是句空话.
例1已知O为直线AB外一点,点M在AB上,且=x+2y,其中x>0,y>0,则u=x+y+的最小值是.
分析: 首先,由M,A,B三点共线及=x+2y,结合向量相关知识的“大前提”可以得出x+2y=1;其次,联想课后习题的结论:“若a,b>0且a+b=1,则a+b+≥,当且仅当a=b=时等号成立.”具备了这些“大前提”,我们便可迅速解决本题.
解法一: ∵ M,A,B三点共线且=x+2y, ∴ x+2y=1. 又x+•y+=x+2y+≥×=,当且仅当x=,2y=即y=时等号成立, ∴ umin=.
以上解法高效快捷,但前提是必须要具有相关“大前提”的储备.显然“大前提”越丰富,对解题越有帮助.
可能有的同学会不服气:我不利用这些结论,不具备这些“大前提”也照样可以解这个题,不信你看——
解法二: ∵ M,A,B三点共线,不妨设=λ,即-=λ(-), ∴ =-;又=x+2y, ∴ x+2y=-=1. 又∵ u=x+•y+=xy+++≥xy+2+=1+xy+,令t=xy>0,则可设函数f(t)=1+t+. ∵ x+2y=1且x>0,y>0, ∴ x+2y≥2,即1≥2, ∴ t≤. 显然f(t)在0,上单调递减,∴当t=时,f(t)min=f=. 联立xy=,x+2y=1,解得x=,y=,此时=成立,故umin=.
点评: 解法二属于本题的常规解法,它虽然没有用到解法一中使用的现成结论,但仍然没有脱离对“大前提”的应用:① 向量共线的条件(=λ), ② 均值不等式. 值得注意的是,在将u展开成++xy+后,只能应用一次均值不等式,因为+≥1与xy+≥1在x+2y=1的条件下不能同时取到等号. 解法二中没有犯这样的错误,正说明了这位同学对“大前提”的理解和掌握.
【小结】解题的过程就是一个不断运用概念、方法、结论及经验等“大前提”,将题目化繁为简、化难为易、化生为熟的过程. 有了扎实、丰富和系统的“大前提”,解题时就好比站在高处,题中阡陌一览无余,万千气象尽收眼底,方便我们在“迷雾”中找到方向.
二、“小前提”分析要“对症”灵活
对于解题来说,“小前提”就是题意,而对“小前提”的分析就是探索、选择和调整解题策略及解题方向的过程.这一过程直接关系着解题的成败和效率,因此“小前提”分析一定要“对症”、灵活,只有这样,才能“看得准,算得省”.
例2求直线l:Ax+By+C=0与椭圆+=1 (a>b>0)有公共点的充要条件.
分析: 此题“大前提”明显,主要考查直线与圆锥曲线的位置关系问题,因此分析“小前提”容易想到联立直线和椭圆方程,再利用判别式来进行解答.然而如此求解有一个问题:算式中字母太多,且无法消去,运算起来将困难重重,很难得到结果.这就是“小前题”分析“不对症”的表现,我们应及时调整和变通,更灵活地来寻求“对症”的解题方法.
解法一: 直接联立方程求解困难的本质原因,是利用联立的方程求Δ的运算过于复杂. 那能不能换一种策略来处理这个问题?除了Δ,还有什么方法可以判断位置关系?寻遍“大前提”也只有直线与圆的问题中可以利用圆心到直线的距离来判断两者的位置关系,而圆其实是椭圆的一种极端情形,由此大胆猜想能否把复杂的“直线与椭圆”问题转化为简单的“直线与圆”问题?如果可以,岂不妙哉?
观察+=1(a>b>0),令x=ax1,y=by1,则椭圆方程转化为+=1,即+=1;直线方程转化为Aax1+Bby1+C=0. 直线Aax1+Bby1+C=0与圆+=1有公共点的充要条件为:≤1(圆心到直线的距离小于或等于半径), ∴ C∈[-,].
解法二: 联立直线与椭圆方程进行解答的思路没错,只不过将直线方程代入椭圆方程会导致运算繁杂. 试想能不能反过来将椭圆方程代入直线方程呢?当然,直接将椭圆标准方程代入显然是行不通的,学过参数方程的同学如果能够想到利用椭圆的参数方程来解,那这样的解法可以说是“更胜一筹”.
由题意可知椭圆的参数方程为x=acosφ,y=bcosφ,将其代入直线方程有Aacosφ+Bbsinφ+C=0,即C=-(Aacosφ+Bbsinφ)=-sin(φ+θ). ∵ -1≤sin(φ+θ)≤1, ∴ C∈[-,].
【小结】以上精彩的解法源自对“小前提”的“对症”分析和灵活转化. 如何锤炼这种审题及分析能力呢?以下几点可供大家参考.① 分析题目条件时,尽可能画出相应图形或线索图帮助思考,弄清哪些是已知的,哪些是未知的,哪些是要求的. ② 深入思考每一个符号、概念的含义,找出其中重要的元素;或试着改变一下题中(或图中)元素的位置,看看能否有重要发现. ③ 设法将问题与你会解的某一类题联系起来,联想你熟悉的、最符合已知条件的解题方法. ④ 仔细考虑题意是否有其他不同的理解,尝试换种方法表述条件,或者简化条件研究极限情况. ⑤ 改变问题的一部分,并分析其对其他部分的影响,根据这一影响来寻求解题目标的转化.
三、“结论”检验要防微杜渐
如果把“大前提”的积累比做解题的准备阶段,那么“小前提”的分析就是方法实施阶段,而“结论”的检验就是成果“验收”的阶段. 防错、查错和纠错是解题不可或缺的环节,尤其是选择题和填空题,结论直接关系着成败,一旦失误就会导致前功尽弃.
例3已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1是减函数,则a的取值范围为.
分析: 这是导数应用的一个典型问题.教材中关于这一问题的“大前提”是这样的:“在区间(a,b)内,如果f′(x)>0,那么函数在这个区间内单调递增;如果f′(x)<0,那么函数在这个区间内单调递减.”但这个结论反过来并不成立,f(x)在(a,b)内单调递减,应有f′(x)≤0(x∈(a,b))且f′(x)不恒等于0,故在利用f′(x)≤0求解后,还要对f′(x)=0是否恒成立进行检验.(关于函数单调性与导数的关系,请参考本刊2010年3月号《导数应用中的五大易错点》一文.)
解: 由题意可知f′(x)=3ax2+6x-1,令f′(x)≤0,则a<0,Δ=36+12a≤0,解得a≤-3. 当Δ=0,即a=-3 时,f′(x)=-9x2+6x-1=-(3x-1)2≤0 ,当且仅当x=时,f′(x)=0, ∴ a的取值范围是(-∞,-3].
【小结】数学中有许多容易被忽视的知识点和特殊情况,比如函数的定义域、参数的范围、空集、零向量等.这就要求我们一方面要扎实细致地掌握“大前提”,另一方面还要防微杜渐,做好对结论的检验工作. 结论检验不仅能纠正错误,而且还能有效培养思维的灵活性、严谨性和深刻性,对提高解题能力大有裨益.