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摘要排中律是数学证明中反证法的逻辑基础,本文通过比较反证法和构造法两种不同的证明方法,阐述了形式逻辑排中律在反证法中所起到的基础作用。
关键词排中律 反证法 构造法
中图分类号:G642文献标识码:A
形式逻辑( formal logic)是一门以思维形式及其规律为主要研究对象,同时也涉及一些简单的逻辑方法的科学。联合国教科文组织的一份报告指出,一次由50个国家500位教育家列出的162项最重要的教育目标中,把发展学生的逻辑思维能力列为第二位。发展学生的逻辑思维能力,就要大力加强逻辑教育。在大学教育中,也就要广泛开展逻辑素质教育。
1 形式逻辑的基本规律
形式逻辑提出了许多关于思维形式的规律,其中同一律、矛盾律、排中律与充足理由律是形式逻辑的基本规律。
同一律:如果一个思想反映某客观对象,那么它就反映这个客观对象;如果一个思想是真的,那么它就是真的;如果它是假的,那么它就是假的。它的表达式是:“就是”。
矛盾律:一个思想不能既反映某客观对象而又不反映这个客观对象;一个思想不能既是真的又是假的。它的表达式是:“不是”。
排中律:一个思想或者反映某客观对象或者不反映这个客观对象;一个思想或者是真的,或者是假的。它的表达式是:“或者或者”。
充足理由律:同一对象在同一时间内同一条件下之所以具有某同一性质, 是具有充分的根据。这种充分根据一经出现, 该性质也一定出现,但它要求人们在思维或论证过程中不能使用谎言和未经证实的东西,也不能把谬论和偏见作为理由或根据,更不能诡辩。它的表达式是:“所以有B,是因为有A”或“B真,因为A真,并且A能推出B”。
2 排中律在高等数学教学中的体现
形式逻辑的排中律是数学证明中反证法的逻辑根据。当我们在对命题进行正面证明感到困难时,就可以换个思维角度,只要证明与具有矛盾关系的另一命题为假,就可以根据排中律推出为真。
例1 若数列收敛,则其极限必唯一。
证明: (反证法)假设有两个不相等的数与,使得=,=同时成立。不妨设,取,由=,必存在自然数,当时,总有:||;又由=,必存在自然数,当时,总有:||,取max,则当时,就有:
||||||
这个矛盾说明,收敛数列的极限是唯一的。
例2 实系数二次方程当时,至少有一个实数根。
证明:(反证法)设没有实数根,从而就有恒不为零。又因为是的连续函数,所以对所有的,或者。
根据命题的条件:,有:。由于没有实数根,从而必须是恒为负的。
另一方面,对给定的实数,当的绝对值充分大时,||,因此当的绝对值很大时,又有,从而导出矛盾。这个矛盾是由假设方程没有实数根引起的,从而就有方程至少有一个实数根。
例1和例2给出的证明方法都是非构造性的证明方法,这种方法能成立需要建立在排中律基础之上,即在相应的形式系统中,排中律必须是这个形式系统的公理。这里提到形式系统,就有必要介绍一下数理逻辑。数理逻辑是近三百年,特别是近百年才发展起来的一门科学。它是用数学的方法来研究形式逻辑中的某些问题,是数学的一个分支,其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分,现代意义上的逻辑科学是以数理逻辑为基本内容的。
数学家布劳威尔怀疑排中律的有效性,从而将排中律从形式系统的公理中排除,建立了直觉逻辑,他强调数学直觉,坚持认为数学对象必须是可以构造的。在这样的形式系统中,证明的方法必须是构造性的证明方法,像反证法这样的非构造性的证明方法是无效的。下面我们给出例2的构造性证明。
例3 实系数二次方程当时,至少有一个实数根。
证明:(构造性证明)对任意和,由
因此,当且仅当时,是方程的根,即
根据条件:,所以将上式两边开方,(下转第32页)(上接第26页)就有:,这就证明了方程实系数二次方程当时,至少有一个实数根,并且我们可以根据,求出方程的实数根。
例2和例3是对同一问题两种不同的证明方法,但这两种证明方法的背后却是形式逻辑排中律的不同体现,反证法需要认同排中律,而构造性证明的方法则没有这个要求,在实际的教学中注意到上述两种方法的本质区别是非常有益的。构造法在数学证明方法中是一个重要的方法,但是给出一个命题的构造性证明并非像例2那样简单,比如给出例1的构造性证明就不是一件容易的事情。
3 小结
本文通过比较反证法和构造法两种不同的证明方法,阐述了形式逻辑排中律在反证法所起到的基础作用。在实际教学注意到上述两种方法所涉及的逻辑基础,对培养学生严密的逻辑思维能力和形式推理能力是很有好处的。
参考文献
[1] 金岳霖.形式逻辑.人民出版社,1979.
[2] 陆钟万.面向计算机科学的数理逻辑(第二版).科学出版社,2002.
[3] Modal logic,A. Chagrov and M. Zakharyaschev, Oxford Scicence Publications, 1997.
[4] 保罗·贝纳塞拉夫,希拉里·普特南.数学哲学,商务印书馆,2003.
[5] 高等数学(第五版).高等教育出版社,2002.
关键词排中律 反证法 构造法
中图分类号:G642文献标识码:A
形式逻辑( formal logic)是一门以思维形式及其规律为主要研究对象,同时也涉及一些简单的逻辑方法的科学。联合国教科文组织的一份报告指出,一次由50个国家500位教育家列出的162项最重要的教育目标中,把发展学生的逻辑思维能力列为第二位。发展学生的逻辑思维能力,就要大力加强逻辑教育。在大学教育中,也就要广泛开展逻辑素质教育。
1 形式逻辑的基本规律
形式逻辑提出了许多关于思维形式的规律,其中同一律、矛盾律、排中律与充足理由律是形式逻辑的基本规律。
同一律:如果一个思想反映某客观对象,那么它就反映这个客观对象;如果一个思想是真的,那么它就是真的;如果它是假的,那么它就是假的。它的表达式是:“就是”。
矛盾律:一个思想不能既反映某客观对象而又不反映这个客观对象;一个思想不能既是真的又是假的。它的表达式是:“不是”。
排中律:一个思想或者反映某客观对象或者不反映这个客观对象;一个思想或者是真的,或者是假的。它的表达式是:“或者或者”。
充足理由律:同一对象在同一时间内同一条件下之所以具有某同一性质, 是具有充分的根据。这种充分根据一经出现, 该性质也一定出现,但它要求人们在思维或论证过程中不能使用谎言和未经证实的东西,也不能把谬论和偏见作为理由或根据,更不能诡辩。它的表达式是:“所以有B,是因为有A”或“B真,因为A真,并且A能推出B”。
2 排中律在高等数学教学中的体现
形式逻辑的排中律是数学证明中反证法的逻辑根据。当我们在对命题进行正面证明感到困难时,就可以换个思维角度,只要证明与具有矛盾关系的另一命题为假,就可以根据排中律推出为真。
例1 若数列收敛,则其极限必唯一。
证明: (反证法)假设有两个不相等的数与,使得=,=同时成立。不妨设,取,由=,必存在自然数,当时,总有:||;又由=,必存在自然数,当时,总有:||,取max,则当时,就有:
||||||
这个矛盾说明,收敛数列的极限是唯一的。
例2 实系数二次方程当时,至少有一个实数根。
证明:(反证法)设没有实数根,从而就有恒不为零。又因为是的连续函数,所以对所有的,或者。
根据命题的条件:,有:。由于没有实数根,从而必须是恒为负的。
另一方面,对给定的实数,当的绝对值充分大时,||,因此当的绝对值很大时,又有,从而导出矛盾。这个矛盾是由假设方程没有实数根引起的,从而就有方程至少有一个实数根。
例1和例2给出的证明方法都是非构造性的证明方法,这种方法能成立需要建立在排中律基础之上,即在相应的形式系统中,排中律必须是这个形式系统的公理。这里提到形式系统,就有必要介绍一下数理逻辑。数理逻辑是近三百年,特别是近百年才发展起来的一门科学。它是用数学的方法来研究形式逻辑中的某些问题,是数学的一个分支,其研究对象是对证明和计算这两个直观概念进行符号化以后的形式系统。数理逻辑是数学基础的一个不可缺少的组成部分,现代意义上的逻辑科学是以数理逻辑为基本内容的。
数学家布劳威尔怀疑排中律的有效性,从而将排中律从形式系统的公理中排除,建立了直觉逻辑,他强调数学直觉,坚持认为数学对象必须是可以构造的。在这样的形式系统中,证明的方法必须是构造性的证明方法,像反证法这样的非构造性的证明方法是无效的。下面我们给出例2的构造性证明。
例3 实系数二次方程当时,至少有一个实数根。
证明:(构造性证明)对任意和,由
因此,当且仅当时,是方程的根,即
根据条件:,所以将上式两边开方,(下转第32页)(上接第26页)就有:,这就证明了方程实系数二次方程当时,至少有一个实数根,并且我们可以根据,求出方程的实数根。
例2和例3是对同一问题两种不同的证明方法,但这两种证明方法的背后却是形式逻辑排中律的不同体现,反证法需要认同排中律,而构造性证明的方法则没有这个要求,在实际的教学中注意到上述两种方法的本质区别是非常有益的。构造法在数学证明方法中是一个重要的方法,但是给出一个命题的构造性证明并非像例2那样简单,比如给出例1的构造性证明就不是一件容易的事情。
3 小结
本文通过比较反证法和构造法两种不同的证明方法,阐述了形式逻辑排中律在反证法所起到的基础作用。在实际教学注意到上述两种方法所涉及的逻辑基础,对培养学生严密的逻辑思维能力和形式推理能力是很有好处的。
参考文献
[1] 金岳霖.形式逻辑.人民出版社,1979.
[2] 陆钟万.面向计算机科学的数理逻辑(第二版).科学出版社,2002.
[3] Modal logic,A. Chagrov and M. Zakharyaschev, Oxford Scicence Publications, 1997.
[4] 保罗·贝纳塞拉夫,希拉里·普特南.数学哲学,商务印书馆,2003.
[5] 高等数学(第五版).高等教育出版社,2002.