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【摘要】传统应用题教学之当代重建（下）郑毓信（南京大学 哲学系，江苏南京 210093）[=]【摘 要】传统应用题教学之当代重建并非是相关传统的简单回归，而是如何能够依据数学教育目标的现代认识对此做出认真的总结与反思，并能通过新的研究做出进一步的发展。研究者以“努力提升学生的核心素养”作为分析的基本立足点，主张数学教育的主要任务是促进学生思维的发展，特别是帮助学生逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能由“理性思维”逐步走向“理性精神”，从而真正成为一个具有高度自觉性的理性人。
【关键词】应用题教学;理性精神;数学教育;当代重建
（续上期）
三、应用题教学与学生思维品质之提升
前面已经提到，学习的程式化与机械化是传统应用题教学的又一常见弊病。但是，如果认定我们只需尽早引入代数方法就可解决这一问题，则是“看错了病，号错了脉”。因为，通过“列方程、解方程”解决问题事实上也是程序或算法的应用，如果学生缺乏足够的自觉性，就可能导致机械的学习，甚至更可能因此丧失促进学生思维发展的一个良好契机。
为了清楚地说明问题，在此还可特别提及这样两个事实：（1）代数方法的应用并不能被看成解决问题的“万能方法”。例如，有很多提前学习了方程方法的学生，在面对“面积问题”时仍然有较大困难，因为后者的求解往往需要用到“割补”等其他方法。（2）平面几何（“综合几何”）的学习也有很多难题，其中的一些如果用解析几何的方法求解则会变得比较容易，也即只需按照一定的程序或方法（代数化、方程化）就可获得解决③。那么，我们是否也应尽早离开“综合几何”去引入解析几何呢？应当指出的是，这事实上也正是数学教育改革运动经常提到的一个口号：“打倒欧几里得”。但是，中外的相关努力应当说又未能够都取得成功，从而也就使人们更清楚地认识到了这样一点：学习综合几何的目的不只是获得相关的知识，我们更不应以单纯的解决问题作为求解几何题的主要目的，而应清楚地看到其对于促进思维发展的重要作用④。
总之，我们应当超出单纯的问题求解并从更广泛的角度认识应用题教学的意义，也即应当通过应用题的教学努力促进学生思维的发展。
⑤ 由此可见，将应用题的教学归结为由“典型应用题”过渡到“复合应用题”，也只是抓住了其中的一方面。 应当强调的是，上述分析事实上也为我们应当如何开展解题策略的教学提供了重要启示。也就是说，我们应由唯一强调各种具体解题策略（更一般地说，是数学思维）的学习过渡到普遍性思维策略的學习与思维品质的提升。特别是，我们应努力帮助学生通过解决问题的具体实践逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能努力提升思维的综合（整体）性和灵活性、自觉性和创造性，等等。（当然，我们又不应将“具体解题策略的学习”与“普遍性思维策略的学习与思维品质的提升”绝对地对立起来，这即为我们改进教学指明了进一步的努力方向。）
以下围绕普遍性思维策略的学习与思维品质的提升，对我们应当如何从事应用题教学做出进一步的分析。
具体地说，应用题教学的深化决不应被理解成形式的变化，即如由所谓的“一步应用题”过渡到“多步应用题”，而主要是指“由简单走向复杂，化复杂为简单”。其中，后者不仅可以被看成数学发展的主要线索，也为学生具体学习各种解题策略特别是普遍性思维策略，包括努力提升思维的品质，提供了重要途径。
以下是这方面特别重要的几个环节。
第一，辨识与求变。
前一节中已经提到了题型的“辨识”对于解题活动的特殊重要性，但就大多数情况而言，我们显然不可能通过简单的问题辨识与相关方法或解题模式的直接应用就可顺利地解决问题，而必须针对具体情况做出适当的调整或变化。由此可见，对于这里所说的“辨识”我们应做更广义的理解，也即应当更加重视新问题与基本题型的对照比较，特别是要很好地弄清两者的同与不同，这样就可通过适当的变化去解决问题。
也正因如此，对于这里所说的“求变”，我们就不应混同于前面所提到的“变式理论”。因为，我们在此所关注的已不是如何能够通过引入更多的变式帮助学生很好地掌握相关的题型与解题方法，而是如何能够提高他们解决问题的能力，特别是思维的灵活性与创造性。例如，就“和差问题”的求解而言，学生往往首先需要依据题目中的条件求得所说的“和”与“差”，或是必须对已求得的结果做出一定调整才能最终解决问题。另外，问题中所涉及的未知数也可能不是两个而是增加到了三个或更多。
以下是更复杂的一些情况，如要求学生就某一特定情境自己去发现相应的条件或限制，或是通过若干基本题型的组合得出新的问题⑤。例如，面对“年龄问题”，我们不仅应帮助学生清楚地认识此类问题在很大程度上可看成“和差问题”“和倍问题”与“差倍问题”的变形，而且也应帮助他们很好地认识此类问题的特征：尽管其中所涉及的年龄处于不断变化中，但不同成员之间的年龄差又始终不变，这往往也是顺利解决“年龄问题”的关键。再例如，“水流问题”显然可被看成是由“和差问题”与“路程问题”组合而成，因为这正是此类问题的主要特征：船的顺水速度是船的静水速度与水流速度之和，其逆水速度则是两者之差。
总之，为了切实提高学生解决问题的能力，关键并不在于引入更多的题型，而是应当引导学生积极地进行思考，并能切实提升学生思维的灵活性和创造性。再者，上面的分析显然也可被看成这样一个原则的直接应用：“数学基本技能的学习，不应求全，而应求变”，尽管我们所关注的并非基本技能的学习，而是学生思维品质的提升，特别是，能够很好地掌握“求变”这样一个普遍性的思维策略。
第二，整体分析与序的把握。
这是面对复杂问题时应当特别重视的又一环节：相对于细节而言，我们应当更加重视整体的分析，包括确定解决问题的关键，并能按照合理的顺序一步一步地解决问题。
【关键词】应用题教学;理性精神;数学教育;当代重建
（续上期）
三、应用题教学与学生思维品质之提升
前面已经提到，学习的程式化与机械化是传统应用题教学的又一常见弊病。但是，如果认定我们只需尽早引入代数方法就可解决这一问题，则是“看错了病，号错了脉”。因为，通过“列方程、解方程”解决问题事实上也是程序或算法的应用，如果学生缺乏足够的自觉性，就可能导致机械的学习，甚至更可能因此丧失促进学生思维发展的一个良好契机。
为了清楚地说明问题，在此还可特别提及这样两个事实：（1）代数方法的应用并不能被看成解决问题的“万能方法”。例如，有很多提前学习了方程方法的学生，在面对“面积问题”时仍然有较大困难，因为后者的求解往往需要用到“割补”等其他方法。（2）平面几何（“综合几何”）的学习也有很多难题，其中的一些如果用解析几何的方法求解则会变得比较容易，也即只需按照一定的程序或方法（代数化、方程化）就可获得解决③。那么，我们是否也应尽早离开“综合几何”去引入解析几何呢？应当指出的是，这事实上也正是数学教育改革运动经常提到的一个口号：“打倒欧几里得”。但是，中外的相关努力应当说又未能够都取得成功，从而也就使人们更清楚地认识到了这样一点：学习综合几何的目的不只是获得相关的知识，我们更不应以单纯的解决问题作为求解几何题的主要目的，而应清楚地看到其对于促进思维发展的重要作用④。
总之，我们应当超出单纯的问题求解并从更广泛的角度认识应用题教学的意义，也即应当通过应用题的教学努力促进学生思维的发展。
⑤ 由此可见，将应用题的教学归结为由“典型应用题”过渡到“复合应用题”，也只是抓住了其中的一方面。 应当强调的是，上述分析事实上也为我们应当如何开展解题策略的教学提供了重要启示。也就是说，我们应由唯一强调各种具体解题策略（更一般地说，是数学思维）的学习过渡到普遍性思维策略的學习与思维品质的提升。特别是，我们应努力帮助学生通过解决问题的具体实践逐步学会更清晰、更深入、更全面、更合理地进行思考，并能努力提升思维的综合（整体）性和灵活性、自觉性和创造性，等等。（当然，我们又不应将“具体解题策略的学习”与“普遍性思维策略的学习与思维品质的提升”绝对地对立起来，这即为我们改进教学指明了进一步的努力方向。）
以下围绕普遍性思维策略的学习与思维品质的提升，对我们应当如何从事应用题教学做出进一步的分析。
具体地说，应用题教学的深化决不应被理解成形式的变化，即如由所谓的“一步应用题”过渡到“多步应用题”，而主要是指“由简单走向复杂，化复杂为简单”。其中，后者不仅可以被看成数学发展的主要线索，也为学生具体学习各种解题策略特别是普遍性思维策略，包括努力提升思维的品质，提供了重要途径。
以下是这方面特别重要的几个环节。
第一，辨识与求变。
前一节中已经提到了题型的“辨识”对于解题活动的特殊重要性，但就大多数情况而言，我们显然不可能通过简单的问题辨识与相关方法或解题模式的直接应用就可顺利地解决问题，而必须针对具体情况做出适当的调整或变化。由此可见，对于这里所说的“辨识”我们应做更广义的理解，也即应当更加重视新问题与基本题型的对照比较，特别是要很好地弄清两者的同与不同，这样就可通过适当的变化去解决问题。
也正因如此，对于这里所说的“求变”，我们就不应混同于前面所提到的“变式理论”。因为，我们在此所关注的已不是如何能够通过引入更多的变式帮助学生很好地掌握相关的题型与解题方法，而是如何能够提高他们解决问题的能力，特别是思维的灵活性与创造性。例如，就“和差问题”的求解而言，学生往往首先需要依据题目中的条件求得所说的“和”与“差”，或是必须对已求得的结果做出一定调整才能最终解决问题。另外，问题中所涉及的未知数也可能不是两个而是增加到了三个或更多。
以下是更复杂的一些情况，如要求学生就某一特定情境自己去发现相应的条件或限制，或是通过若干基本题型的组合得出新的问题⑤。例如，面对“年龄问题”，我们不仅应帮助学生清楚地认识此类问题在很大程度上可看成“和差问题”“和倍问题”与“差倍问题”的变形，而且也应帮助他们很好地认识此类问题的特征：尽管其中所涉及的年龄处于不断变化中，但不同成员之间的年龄差又始终不变，这往往也是顺利解决“年龄问题”的关键。再例如，“水流问题”显然可被看成是由“和差问题”与“路程问题”组合而成，因为这正是此类问题的主要特征：船的顺水速度是船的静水速度与水流速度之和，其逆水速度则是两者之差。
总之，为了切实提高学生解决问题的能力，关键并不在于引入更多的题型，而是应当引导学生积极地进行思考，并能切实提升学生思维的灵活性和创造性。再者，上面的分析显然也可被看成这样一个原则的直接应用：“数学基本技能的学习，不应求全，而应求变”，尽管我们所关注的并非基本技能的学习，而是学生思维品质的提升，特别是，能够很好地掌握“求变”这样一个普遍性的思维策略。
第二，整体分析与序的把握。
这是面对复杂问题时应当特别重视的又一环节：相对于细节而言，我们应当更加重视整体的分析，包括确定解决问题的关键，并能按照合理的顺序一步一步地解决问题。