论文部分内容阅读
关于分数的教学，我们常见的教材编排和教学思路和前苏联上世纪40年代前后的做法颇为相似，都是在三年级教学分数的初步认识，五年级教学分数的意义。教学分数的意义时，使学生从直观形象地认识分数，上升到掌握抽象的分数意义，主要体现在以下几个方面：一是要使学生认识到分数是一个抽象的数，任何一个分数都是对单位“1”而言的，已经和具体的量脱离。二是要使学生认识到分数单位是随着分母的变化而变化的。由于对单位“1”等分的份数是不固定的，所以分数的单位也是不固定的，它随着等分的份数的变化，产生相应的变化。三是要使学生认识到单位“1”和分数单位是两个不同的概念。单位“1”是指进行等分的一个整体，分数单位则是某一个分数的单位。
这样的分数教学，“几十年如一日”地持续到现在，并被广泛接受。然而，华应龙老师却对“学生不能很好解答分数问题，是不懂得‘单位“1”’，还是不明白分数的具体意义，不具有单位意识，没有分数思维？以前的先找‘单位“1”’的解题步骤，表面上是找到了‘单位“1”’，实质上是不是在让学生回头再看看题目，去理解分数的意义？”等问题进行了深入思考。其实，其根本原因就是学生未能真正理解分数的概念，没有形成完善的认知结构，解题时或许还存在按固定程式“生搬硬套”的迹象。台北教育大学张英杰博士以及一些英国、美国学者的研究成果已经证实了这一点。基于以上认识，华老师设计并执教的《数来数去学分数》一课，则为我们对于分数的意义的教学与研究打开了一个新的方向。
一、道法自然，让学生形成完善的数学认知结构
教师在数学教学中必须具有把握全局的战略思想，要了解数学知识本身固有的结构体系、数学教科书的编排结构和儿童原有的数学认知结构及其发展趋向、发展规律，用全面的、联系的、发展的眼光把握教学内容，精心设计好每一节课，才能有效促进学生的数学素养的提升。华老师《数来数去学分数》这一课，很好地把握了以上几个方面。
1.依托数学知识的内在结构
在儿童学习数学知识时，教师要帮助孩子弄清知识的来龙去脉与纵横联系，这是学生形成完善认知结构的重要支撑。
首先，我们应该知道测量和度量是得到分数的基本来源（分数的初始概念由此而来），那是把分数作为度量长度、重量、体积、时间等等这些量的一种工具。比如我们把一个取定的单位（如用“米”作为长度单位）加以等分，从而得到各种分单位（如米的十分之一就是“分米”、百分之一就是“厘米”、千分之一就是“毫米”）。换言之，我们的做法就是把度量的问题转化为计数的问题，首先就是选取一个度量单位，作为其它量来比较或参照的标准。于是，把原单位n等分引进一下分单位，用1／n来表示；如果一个确定的量正好含m小单位，就用符号m／n来表示。m／n就是被我们称之为“分数”的新数。若干世纪后，数学家采取了具有决定意义的步骤，即：把分数脱离了度量，作为一个单纯的数。另一方面，为了使除法总能施行，也必须引入一种新的数——分数，这是分数的第二个重要来源。此外，等分物体不能整除也得用分数来表示，也需要引进分数。
华老师新课伊始，通过播放“大头儿子的难题”，先引导学生思考“沙发没有一个领带长，怎么办呢？你有办法吗？”，学生根据已有的认知经验知道可以“用分数来表示”。接着，引导学生发现“沙发是7／8个领带长”。在引导学生认识“分数单位”时，华老师又让学生认识到“单位不同，尺子就不一样。创造一把尺子，其实就是创造了一个新的单位。所以大头儿子在家中没有找到尺子，用领带创造了一个单位。请回头看，刚才我们说沙发是7/8个领带长，7/8里有7个1/8。这里1/8就是一个单位。它很特别，是分数，所以叫分数单位。”华老师对这些关键概念的处理，不仅紧扣数学的本来面貌，而且使学生学得轻松越快，真正体现了教学的“深入浅出”。后面，华老师提出了“分数就是先分后数的数”，更是将这一教学思想发挥到了极致。
2.把握数学教材的编排结构
数学教材是为了促进学生的有效学习，将无限的数学知识浓缩为有限的学习材料的一种范式。它是依托数学知识体系，以促进学生的发展为出发点，以便于学生学习和教师教学为落脚点，将数学知识经由教育形态的加工、组织而成。所以，教师实施教学前，要充分了解教材的编写意图，把握其关键所在，并根据学生实际和自身特质，合理对教材进行“再开发”、“再加工”，以实现教学的最优化。
华老师通过对新世纪版、苏教版、西南师大版、青岛版、河北版等不同版本教材的对比研究，发现在五年级数学教材“分数的意义”部分，除新世纪版外，其他版本教材几乎都有差不多的表达：“一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单位‘1’。”（其实，前苏联和目前台湾的部分教材也是这样安排的）华老师的认识并未就此打住，他通过对分数意义的深入思考，进而发现“单位”是重要的，“1”是重要的，“单位‘1’”是不重要的。可以不讲“单位‘1’”，但要重讲“分数单位”。
华老师这样的处理，在数学上也是有理论根据的。因为，作为自然数“1”的现实模型可以是一个苹果，也可以是一筐苹果。这个苹果和这筐苹果都可以平均分为若干份，用分数表示其中的一份。所以说，这里研究的单位“1”就是自然数“1”,所以也就可以不必再区分了，只要学生具备了“整体量”的概念就可以了。此外，我们在计算“1／3 2／3=1”时，也没有去强调这里的“1”是单位“1”呀！
3.完善儿童的数学认知结构
现代认知心理学认为，学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程。在这个过程中，学生在教师的指导下，把数学知识结构转化成自己的数学认知结构。奥苏伯尔提出，有意义学习过程的实质，就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为的(nonarbitrary)和实质性的（substantive）联系。
“非人为的”联系，即新知识与认知结构中有关观念在某种合理的或逻辑基础上的联系。在数学知识的学习问题上，“非人为的”的联系一般是依托数学知识自身的结构来实现的，前面已经有所论述。但，值得一提的是华老师在引导学生巩固提升所学知识时，让学生讨论分数“是什么”、“怎么做”、“为什么”的教学环节，则是在学生体验经历了分数概念“再创造”的过程后，对整个过程的梳理和反思，这里处理充分实现了新知识和学生已有认知结构的非人为的联系。
“实质性的”联系，是指新的符号或符号所代表的观念与学习者的认知结构中已有的表象、已经有意义的符号、概念或命题的联系。华老师这节课上先是引导学生思考“沙发没有一个领带长，怎么办呢？你有办法吗？”,学生得出“用分数来表示”结论，这是因为学生在三年级已经学习了“分数的初步认识”，虽未形成真正意义上的分数概念，却已经具有分数的“前科学概念”。接着，学生得出“沙发是7／8个领带长”时，华老师追问：“还有不同答案吗？刚才我看到有同学写的是——（板书：7个1／8），同意不同意？”学生交流后得出：因为7个1／8加起来之后，分母不变，就是分子相加起来，7个1就是7，所以还是7／8。这样孩子自然地将原有的认知和今天需要学习“7个1／8是多少”有机结合了起来。这样，新学知识和学生原有的认知结构中的已有的表象、已经有意义的符号、概念就形成了实质性的联系了。在学习分数单位时，华老师先引导学生回忆“米”、“厘米”、“毫米”这些长度单位，也是为了帮助孩子进一步完善认知结构中有关知识间的纵横联系。
二、万法归宗，让学生深刻掌握数学知识的本质
分数这一数学知识，因内涵的丰富、意义的多元，决定了其表征方式的多样化。这给教师教学和学生学习造成了不小的难度，国内外学者的相关研究已然证实了这一点。但是，一切事物万变不离其宗，华老师把握了本质、尊重了规律、抓住了主要矛盾的主要方面，一切问题也就迎刃而解了。
1.紧扣概念的数学本质，正确理解分数的意义
“分数”一词来自拉丁文的“fangere”，它的原始意义是“分开”，通常用来描述一个被分开的整体的各个部分。根据Dickson、Brown、Gibson（1984）等人的观点，作为数学概念的分数具有下列五种意义：（1）是全部范围中的部分；（2）子集和整个集合的比较；（3）数在数轴上的点；（4）除法等分除的商；（5）比较两个物体或测量结果的大小。
华老师这节课上，“用领带量沙发的长度”就是让学生用分数表示测量的结果，另外，“密位”的介绍以及圈出五角星的4／6、月饼的2／3、苹果的3／4等则是用分数表示“部分—整体”的关系。早在1901年，前苏联就有《算术课本》首先讲“从测量到分数”，然后讲“由除法到分数”。上世纪60年代，日本著名数学家小平邦彦编写的《算术》课本，则是在三年级通过介绍均分“一个整体”，在四年级通过“度量”来解释分数的意义。其实，华老师这样处理是有一定道理的。因为，有学者研究表明，12岁左右的学生对于通过数轴、除法、比等几种形式来理解分数的意义还是十分困难的。
那么，对于分数的意义的教学最要紧的是，教师要能从以上各种关系中归纳出，分数就是表示两个数（量）之间的一种关系。这两个数（量），其中一个是标准，也就是单位量，另一个则是去比较的数（量）。有了这样的认识，学生将来去理解弗赖登塔尔所说的“分数”是个代数概念就不困难了。如4／5可以理解为5X=4的解，因为方程也是一种关系，这样就降低了理解的难度。甚至，还可以去理解莱什提出的分数作为“算子”的解释。同样4／5可以考虑成4对5的机器，一个长度或基数为5的输入，产生一个长度或基数为4的输出。上世纪60年代，法国二年级《算术》课本就把“认识1／3”和“认识3倍”连在一起教，这也体现了分数的一种关系。华老师正是将这种分数表示了一种关系的思想体现到了他的教学之中，比如“池塘里有多少桶水”的教学安排。
2.围绕概念的丰富内涵，全面展现分数的表征
Dreyfus和Eisinberg（1996）认为能够根据问题情境，弹性地运用适当的数学表征，如具体操作的、图表的、符号的……等等具体或抽象的方式，并且在单独的表征系统之内以及各个表征系统之间灵活地转换，是发展数学思考和培养解决问题能力的基本要素。也就是说数学表征在数学学习的过程当中占有相当重要的地位。
Lesh等人（1987）由沟通的观点将数学表征分为以下五种：现实情境（experience-based ‘scripts’）、具体操作物（manipulatable models）、图形（pictures or diagrams）、符号（written symbols）、语言（spoken languages）。
华老师在课上，通过为学生创设“量沙发”的现实情境、让学生观察“度”和“密位”的图形、让学生进行圈出五角星的4／6等多种具体操作、解释“7个1／8”和“7／8”的关系，以及让学生讨论分数“是什么”、“怎么做”、“为什么”等等各种数学表征，从不同侧面促进了学生对分数概念的理解，同时也提升了学生的相关数学素养。
3.强化概念的形成过程，突出分数的关键因素
（1）对单位量的认知。单位量又称为“整体量”（the whole），分数的“部分—整体”概念是一个整体等分后，纪录其中被指定的部分与全体的关系，单位量就是“部分—整体”中的“整体”，处理分数问题首先必需具备单位量或整体量的概念。华老师分别给学生16个和12个两种不同苹果数量的作业纸，让学生圈出“3／4”，学生对比后发现，把16个苹果平均分成4份，1份是4个，3份就是3个4，即为12个；把12个苹果平均分成4份，1份就是3个，3份就是3个3，即为9个。这样处理，学生对单位量的认识和对分数概念的理解也自然加深了。
（2）具有等分割的概念。等分割是指将一个单位量等分成数个等量的部分，在小学阶段单位量等分割是引进分数概念的重要步骤。例如华老师在让学生做“分苹果”练习的同时，安排了了这样两道题目：①下面有一些五角星，请圈出它的4/6。②下面有一些月饼，请圈出它的2/3。通过这样的练习，特别强调了“等分割”的要求,也就是每份都相等，而且没有剩余。“猪八戒吃西瓜”那道练习，则从另外一个视角对此加以突出。
（3）理解部分与整体的关系。在连续量的情境中，单个物体经由分割活动将原单位量加以等分割后，产生数个（q个）相等的新量，以p/q来表示其部分量的个数（p）和等分割后的总个数（q）之间的关系。在离散量的情境中，则是以p/q来表示部分物体个数的量（子集p）和所有物体总数（集合）之间的关系。此时p/q即是以两量并置的方式呈现的分数符号表征。华老师在“池塘里有多少桶水”的教学环节，引导孩子得出了“如果桶和水池一样大，就是一桶水；如果桶是水池的二分之一大，那就是两桶水；依此类推。”这里的教学安排，极大地挑战学生的思维，同时更有力地加深了学生对部分与整体的关系的深入理解。
（4）单位分量及单位分量累加。由等分割活动将原单位量等分成数个相等的量，以所得的一份量做为新的单位，进行合成活动，此新的单位即为单位分量。以此单位分量累加的结果来表征其等分割后部分的量。华老师这节课上，把这个知识点作为重点强调的做法是很正确的。他在“用领带量沙发”的环节，强调“7个1／8就是7／8”；在出示“1密位=6／100度”后，让学生讨论这个6／100度是什么意思；以及在后面的作业纸上圈圈、“猪八戒吃西瓜”等等都反复强调了这些知识，以加深学生的认识。
三、静水深流，让学生充分感受数学的精神、思想和方法
日本数学教育家米山国藏认为，对学生而言，作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年，很快就忘记了，然而，不管他们从事什么工作，那些深深地铭刻于头脑中的数学精神、思想方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时随地发生作用，让他们受益终生。
事实上，几乎整个数学都是研究精神的产物，致力于发现发明的产物。那么，整个数学中，就应该充满了研究、发现的着眼点、方法和法则。可是，教材中往往都仅仅提供数学研究、发现、发明的成果——数学知识。所以，即使很好地理解了教材上的内容，也几乎不能触及到数学研究的精神、思想和方法，不能培养其具有创见性、开拓性的思维。这就需要我们广大数学教师，把潜在于教材中的这种精神、这些方法提炼出来，使之明确化。华老师的这节课有很多做法为我们提供了有益启示。
在“大头儿子的难题”这一教学环节中，华老师利用学生已经知道的“米”、“厘米”、“毫米”的来由，引导学生运用“类比”的方法，创造了分数单位“1／8”，进而创造了分数“7／8”。
在“密位”的教学环节，华老师的本意不在于让学生掌握“密位”的概念，引入“密位”知识仅仅是个载体，其目的关键在于为学生对分数概念的理解提供更丰富的感知经验，更在于让学生在经历“密位”的创造体验中，感受创造的价值，触摸由创造度“类比”出创造密位的研究精神和相关思想、方法。
再看“池塘里有多少桶水”的教学环节，学生的精彩回答，并非偶然，也不是学生说的“大臣是正向思维，我们是逆向思维”那么简单。学生创造分数的能力虽然离不开对数学知识的正确理解和对数学本质的深刻把握，但更离不开对数学创造的精神、思想和方法的深切体验。种瓜得瓜，种豆得豆。试想，如果没有前面教师的不断引导和强化，学生的思维火花怎有燃起的可能？我想，教师将无限的知识浓缩成有限的教学内容，通过教学有限的内容让学生掌握探索无限世界之本领的魅力就在于此吧。
华老师的《数来数去学分数》这节课，引导学生在掌握数学知识，形成良好的数学认知结构的同时，触及了数学本质的深处，更深切感受了数学精神、思想和方法的魅力。他，是一个有思想的实践者和实践中的思想者。他，为我们打开了一个方向，这个方向是分数教学发展的一个方向，这个方向是数学教学研究和实践的一个方向，这个方向是一线教师专业成长的一个方向。
（汤雪峰，扬州市广陵区教育局师资培训中心，225002）
这样的分数教学，“几十年如一日”地持续到现在，并被广泛接受。然而，华应龙老师却对“学生不能很好解答分数问题，是不懂得‘单位“1”’，还是不明白分数的具体意义，不具有单位意识，没有分数思维？以前的先找‘单位“1”’的解题步骤，表面上是找到了‘单位“1”’，实质上是不是在让学生回头再看看题目，去理解分数的意义？”等问题进行了深入思考。其实，其根本原因就是学生未能真正理解分数的概念，没有形成完善的认知结构，解题时或许还存在按固定程式“生搬硬套”的迹象。台北教育大学张英杰博士以及一些英国、美国学者的研究成果已经证实了这一点。基于以上认识，华老师设计并执教的《数来数去学分数》一课，则为我们对于分数的意义的教学与研究打开了一个新的方向。
一、道法自然，让学生形成完善的数学认知结构
教师在数学教学中必须具有把握全局的战略思想，要了解数学知识本身固有的结构体系、数学教科书的编排结构和儿童原有的数学认知结构及其发展趋向、发展规律，用全面的、联系的、发展的眼光把握教学内容，精心设计好每一节课，才能有效促进学生的数学素养的提升。华老师《数来数去学分数》这一课，很好地把握了以上几个方面。
1.依托数学知识的内在结构
在儿童学习数学知识时，教师要帮助孩子弄清知识的来龙去脉与纵横联系，这是学生形成完善认知结构的重要支撑。
首先，我们应该知道测量和度量是得到分数的基本来源（分数的初始概念由此而来），那是把分数作为度量长度、重量、体积、时间等等这些量的一种工具。比如我们把一个取定的单位（如用“米”作为长度单位）加以等分，从而得到各种分单位（如米的十分之一就是“分米”、百分之一就是“厘米”、千分之一就是“毫米”）。换言之，我们的做法就是把度量的问题转化为计数的问题，首先就是选取一个度量单位，作为其它量来比较或参照的标准。于是，把原单位n等分引进一下分单位，用1／n来表示；如果一个确定的量正好含m小单位，就用符号m／n来表示。m／n就是被我们称之为“分数”的新数。若干世纪后，数学家采取了具有决定意义的步骤，即：把分数脱离了度量，作为一个单纯的数。另一方面，为了使除法总能施行，也必须引入一种新的数——分数，这是分数的第二个重要来源。此外，等分物体不能整除也得用分数来表示，也需要引进分数。
华老师新课伊始，通过播放“大头儿子的难题”，先引导学生思考“沙发没有一个领带长，怎么办呢？你有办法吗？”，学生根据已有的认知经验知道可以“用分数来表示”。接着，引导学生发现“沙发是7／8个领带长”。在引导学生认识“分数单位”时，华老师又让学生认识到“单位不同，尺子就不一样。创造一把尺子，其实就是创造了一个新的单位。所以大头儿子在家中没有找到尺子，用领带创造了一个单位。请回头看，刚才我们说沙发是7/8个领带长，7/8里有7个1/8。这里1/8就是一个单位。它很特别，是分数，所以叫分数单位。”华老师对这些关键概念的处理，不仅紧扣数学的本来面貌，而且使学生学得轻松越快，真正体现了教学的“深入浅出”。后面，华老师提出了“分数就是先分后数的数”，更是将这一教学思想发挥到了极致。
2.把握数学教材的编排结构
数学教材是为了促进学生的有效学习，将无限的数学知识浓缩为有限的学习材料的一种范式。它是依托数学知识体系，以促进学生的发展为出发点，以便于学生学习和教师教学为落脚点，将数学知识经由教育形态的加工、组织而成。所以，教师实施教学前，要充分了解教材的编写意图，把握其关键所在，并根据学生实际和自身特质，合理对教材进行“再开发”、“再加工”，以实现教学的最优化。
华老师通过对新世纪版、苏教版、西南师大版、青岛版、河北版等不同版本教材的对比研究，发现在五年级数学教材“分数的意义”部分，除新世纪版外，其他版本教材几乎都有差不多的表达：“一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫做单位‘1’。”（其实，前苏联和目前台湾的部分教材也是这样安排的）华老师的认识并未就此打住，他通过对分数意义的深入思考，进而发现“单位”是重要的，“1”是重要的，“单位‘1’”是不重要的。可以不讲“单位‘1’”，但要重讲“分数单位”。
华老师这样的处理，在数学上也是有理论根据的。因为，作为自然数“1”的现实模型可以是一个苹果，也可以是一筐苹果。这个苹果和这筐苹果都可以平均分为若干份，用分数表示其中的一份。所以说，这里研究的单位“1”就是自然数“1”,所以也就可以不必再区分了，只要学生具备了“整体量”的概念就可以了。此外，我们在计算“1／3 2／3=1”时，也没有去强调这里的“1”是单位“1”呀！
3.完善儿童的数学认知结构
现代认知心理学认为，学生学习数学的过程实际上是一个数学认知的过程。在这个过程中，学生在教师的指导下，把数学知识结构转化成自己的数学认知结构。奥苏伯尔提出，有意义学习过程的实质，就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为的(nonarbitrary)和实质性的（substantive）联系。
“非人为的”联系，即新知识与认知结构中有关观念在某种合理的或逻辑基础上的联系。在数学知识的学习问题上，“非人为的”的联系一般是依托数学知识自身的结构来实现的，前面已经有所论述。但，值得一提的是华老师在引导学生巩固提升所学知识时，让学生讨论分数“是什么”、“怎么做”、“为什么”的教学环节，则是在学生体验经历了分数概念“再创造”的过程后，对整个过程的梳理和反思，这里处理充分实现了新知识和学生已有认知结构的非人为的联系。
“实质性的”联系，是指新的符号或符号所代表的观念与学习者的认知结构中已有的表象、已经有意义的符号、概念或命题的联系。华老师这节课上先是引导学生思考“沙发没有一个领带长，怎么办呢？你有办法吗？”,学生得出“用分数来表示”结论，这是因为学生在三年级已经学习了“分数的初步认识”，虽未形成真正意义上的分数概念，却已经具有分数的“前科学概念”。接着，学生得出“沙发是7／8个领带长”时，华老师追问：“还有不同答案吗？刚才我看到有同学写的是——（板书：7个1／8），同意不同意？”学生交流后得出：因为7个1／8加起来之后，分母不变，就是分子相加起来，7个1就是7，所以还是7／8。这样孩子自然地将原有的认知和今天需要学习“7个1／8是多少”有机结合了起来。这样，新学知识和学生原有的认知结构中的已有的表象、已经有意义的符号、概念就形成了实质性的联系了。在学习分数单位时，华老师先引导学生回忆“米”、“厘米”、“毫米”这些长度单位，也是为了帮助孩子进一步完善认知结构中有关知识间的纵横联系。
二、万法归宗，让学生深刻掌握数学知识的本质
分数这一数学知识，因内涵的丰富、意义的多元，决定了其表征方式的多样化。这给教师教学和学生学习造成了不小的难度，国内外学者的相关研究已然证实了这一点。但是，一切事物万变不离其宗，华老师把握了本质、尊重了规律、抓住了主要矛盾的主要方面，一切问题也就迎刃而解了。
1.紧扣概念的数学本质，正确理解分数的意义
“分数”一词来自拉丁文的“fangere”，它的原始意义是“分开”，通常用来描述一个被分开的整体的各个部分。根据Dickson、Brown、Gibson（1984）等人的观点，作为数学概念的分数具有下列五种意义：（1）是全部范围中的部分；（2）子集和整个集合的比较；（3）数在数轴上的点；（4）除法等分除的商；（5）比较两个物体或测量结果的大小。
华老师这节课上，“用领带量沙发的长度”就是让学生用分数表示测量的结果，另外，“密位”的介绍以及圈出五角星的4／6、月饼的2／3、苹果的3／4等则是用分数表示“部分—整体”的关系。早在1901年，前苏联就有《算术课本》首先讲“从测量到分数”，然后讲“由除法到分数”。上世纪60年代，日本著名数学家小平邦彦编写的《算术》课本，则是在三年级通过介绍均分“一个整体”，在四年级通过“度量”来解释分数的意义。其实，华老师这样处理是有一定道理的。因为，有学者研究表明，12岁左右的学生对于通过数轴、除法、比等几种形式来理解分数的意义还是十分困难的。
那么，对于分数的意义的教学最要紧的是，教师要能从以上各种关系中归纳出，分数就是表示两个数（量）之间的一种关系。这两个数（量），其中一个是标准，也就是单位量，另一个则是去比较的数（量）。有了这样的认识，学生将来去理解弗赖登塔尔所说的“分数”是个代数概念就不困难了。如4／5可以理解为5X=4的解，因为方程也是一种关系，这样就降低了理解的难度。甚至，还可以去理解莱什提出的分数作为“算子”的解释。同样4／5可以考虑成4对5的机器，一个长度或基数为5的输入，产生一个长度或基数为4的输出。上世纪60年代，法国二年级《算术》课本就把“认识1／3”和“认识3倍”连在一起教，这也体现了分数的一种关系。华老师正是将这种分数表示了一种关系的思想体现到了他的教学之中，比如“池塘里有多少桶水”的教学安排。
2.围绕概念的丰富内涵，全面展现分数的表征
Dreyfus和Eisinberg（1996）认为能够根据问题情境，弹性地运用适当的数学表征，如具体操作的、图表的、符号的……等等具体或抽象的方式，并且在单独的表征系统之内以及各个表征系统之间灵活地转换，是发展数学思考和培养解决问题能力的基本要素。也就是说数学表征在数学学习的过程当中占有相当重要的地位。
Lesh等人（1987）由沟通的观点将数学表征分为以下五种：现实情境（experience-based ‘scripts’）、具体操作物（manipulatable models）、图形（pictures or diagrams）、符号（written symbols）、语言（spoken languages）。
华老师在课上，通过为学生创设“量沙发”的现实情境、让学生观察“度”和“密位”的图形、让学生进行圈出五角星的4／6等多种具体操作、解释“7个1／8”和“7／8”的关系，以及让学生讨论分数“是什么”、“怎么做”、“为什么”等等各种数学表征，从不同侧面促进了学生对分数概念的理解，同时也提升了学生的相关数学素养。
3.强化概念的形成过程，突出分数的关键因素
（1）对单位量的认知。单位量又称为“整体量”（the whole），分数的“部分—整体”概念是一个整体等分后，纪录其中被指定的部分与全体的关系，单位量就是“部分—整体”中的“整体”，处理分数问题首先必需具备单位量或整体量的概念。华老师分别给学生16个和12个两种不同苹果数量的作业纸，让学生圈出“3／4”，学生对比后发现，把16个苹果平均分成4份，1份是4个，3份就是3个4，即为12个；把12个苹果平均分成4份，1份就是3个，3份就是3个3，即为9个。这样处理，学生对单位量的认识和对分数概念的理解也自然加深了。
（2）具有等分割的概念。等分割是指将一个单位量等分成数个等量的部分，在小学阶段单位量等分割是引进分数概念的重要步骤。例如华老师在让学生做“分苹果”练习的同时，安排了了这样两道题目：①下面有一些五角星，请圈出它的4/6。②下面有一些月饼，请圈出它的2/3。通过这样的练习，特别强调了“等分割”的要求,也就是每份都相等，而且没有剩余。“猪八戒吃西瓜”那道练习，则从另外一个视角对此加以突出。
（3）理解部分与整体的关系。在连续量的情境中，单个物体经由分割活动将原单位量加以等分割后，产生数个（q个）相等的新量，以p/q来表示其部分量的个数（p）和等分割后的总个数（q）之间的关系。在离散量的情境中，则是以p/q来表示部分物体个数的量（子集p）和所有物体总数（集合）之间的关系。此时p/q即是以两量并置的方式呈现的分数符号表征。华老师在“池塘里有多少桶水”的教学环节，引导孩子得出了“如果桶和水池一样大，就是一桶水；如果桶是水池的二分之一大，那就是两桶水；依此类推。”这里的教学安排，极大地挑战学生的思维，同时更有力地加深了学生对部分与整体的关系的深入理解。
（4）单位分量及单位分量累加。由等分割活动将原单位量等分成数个相等的量，以所得的一份量做为新的单位，进行合成活动，此新的单位即为单位分量。以此单位分量累加的结果来表征其等分割后部分的量。华老师这节课上，把这个知识点作为重点强调的做法是很正确的。他在“用领带量沙发”的环节，强调“7个1／8就是7／8”；在出示“1密位=6／100度”后，让学生讨论这个6／100度是什么意思；以及在后面的作业纸上圈圈、“猪八戒吃西瓜”等等都反复强调了这些知识，以加深学生的认识。
三、静水深流，让学生充分感受数学的精神、思想和方法
日本数学教育家米山国藏认为，对学生而言，作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年，很快就忘记了，然而，不管他们从事什么工作，那些深深地铭刻于头脑中的数学精神、思想方法、研究方法、推理方法和着眼点等，都随时随地发生作用，让他们受益终生。
事实上，几乎整个数学都是研究精神的产物，致力于发现发明的产物。那么，整个数学中，就应该充满了研究、发现的着眼点、方法和法则。可是，教材中往往都仅仅提供数学研究、发现、发明的成果——数学知识。所以，即使很好地理解了教材上的内容，也几乎不能触及到数学研究的精神、思想和方法，不能培养其具有创见性、开拓性的思维。这就需要我们广大数学教师，把潜在于教材中的这种精神、这些方法提炼出来，使之明确化。华老师的这节课有很多做法为我们提供了有益启示。
在“大头儿子的难题”这一教学环节中，华老师利用学生已经知道的“米”、“厘米”、“毫米”的来由，引导学生运用“类比”的方法，创造了分数单位“1／8”，进而创造了分数“7／8”。
在“密位”的教学环节，华老师的本意不在于让学生掌握“密位”的概念，引入“密位”知识仅仅是个载体，其目的关键在于为学生对分数概念的理解提供更丰富的感知经验，更在于让学生在经历“密位”的创造体验中，感受创造的价值，触摸由创造度“类比”出创造密位的研究精神和相关思想、方法。
再看“池塘里有多少桶水”的教学环节，学生的精彩回答，并非偶然，也不是学生说的“大臣是正向思维，我们是逆向思维”那么简单。学生创造分数的能力虽然离不开对数学知识的正确理解和对数学本质的深刻把握，但更离不开对数学创造的精神、思想和方法的深切体验。种瓜得瓜，种豆得豆。试想，如果没有前面教师的不断引导和强化，学生的思维火花怎有燃起的可能？我想，教师将无限的知识浓缩成有限的教学内容，通过教学有限的内容让学生掌握探索无限世界之本领的魅力就在于此吧。
华老师的《数来数去学分数》这节课，引导学生在掌握数学知识，形成良好的数学认知结构的同时，触及了数学本质的深处，更深切感受了数学精神、思想和方法的魅力。他，是一个有思想的实践者和实践中的思想者。他，为我们打开了一个方向，这个方向是分数教学发展的一个方向，这个方向是数学教学研究和实践的一个方向，这个方向是一线教师专业成长的一个方向。
（汤雪峰，扬州市广陵区教育局师资培训中心，225002）