关于二次约束条件下的一类最值问题文[1]、文[2]均给出不同条件下的求解方法，本文主要探讨近年在不同试卷中出现的该二次约束条件最值的题源，并给出比较完整的解法策略.
　　定理 对于n元实二次型f( x1，x2，B，xn)=XAX′，λ1，λ2，B，λn为A的全部特征值，那么min{λi }n
　　i=1
　　XX′≤f( x1，x2，B，xn)≤max{λi }n
　　i=1XX′.BC
　　1 平面向量背景
　　量
　　以O
　　jOjA jg
　　例为
　　和圆
　　1 Oj
　　心
　　j给jB
　　g
　　的
　　定，它圆
　　两
　　们弧
　　个
　　的
　　长A?B夹度上角为变为1动1
　　的2，0
　　平。若.面如Oj
　　j
　　向Cj图g=
　　所
　　xOj示jAj g
　　O，+
　　点yOjCjBj g在
　　，
　　A
　　其中x， y∈R，则x+y的最大值是.解
　　=x2Oj
　　Oj
　　j
　　jCj
　　Aj gg22
　　+=2(x
　　xOjy
　　jOjA jgj
　　jA
　　g+
　　?
　　yOj
　　jOj
　　B
　　j
　　jgBj
　　g+)2
　　y2 OjjBj g2
　　=x2 OjjAj g2+2xy O
　　jjAj g OjjBj gcos120d+y2 OjjBj g2
　　=x2+y2?xy=1，
　　即背景问题归结为在二次约束条件x2+y2?xy=1下，求x+y的最大值.
　　由已知条件可知，x， y∈R+，
　　(x+y)2=x2+2xy+y2=1 + 3xy≤1+ 3?
　　??
　　x+2y???2=1 +34(x+y)2，
　　即14(x+y)2≤1，亦即(x+y)2≤4，
　　故可得x+y的最大值为2.
　　点评 解此题的关键是如何将隐含在背景条件中的数学模型化问题提取出来，这里由于x与y的系
　　数比刚好和2
　　x与的系数比相等，因此很容易由平均值不等式求得.
　　2 纯粹数学背景
　　例2 （2011年高考浙江卷·理16）设x，y为实数，若，则
　　xy+≤.
　　点评 本题难度不是太大.由于系数之间的关系比相等，因此由均值不等式可马上得到结果.此处采用的是高等数学的二次型理论进行求解，主要是想揭示题源的高数背景，从理论的高度揭示变量之间的依赖关系.
　　3 三角形背景
　　例3 ABC△中，3AC =，
　　，求
　　60
　　B =°2ABBC+的最大值
　　解 设ABx=，，由余弦定理可得，即 BCy=
　　222cos603xyxy+?°=223xyxy+?=.此题源背景可归结为在约束条件下，求
　　的最值问题.
　　方法1 （参数法）
　　将223xyxy+?=中的x，交换位置得到的式子仍然不变，故此方程为对称式方程. vxuv=?，代入约束条件得22
　　+=.它表示一个椭圆，利用椭圆的参数方程3cos
　　sin
　　故而可得2()2()3xyuvuvuv+=?++=+
　　3 3cossin2 7sin()θθθ?
　　(2 )2 7.xy+=
　　方法2 （配方法）
　　将223xyxy+?=中的x看作变量，而看作常量对式子进行配方可得，
　　xy+=
　　点评 这里由于系数之间的关系比不相等，因此是没办法通过均值不等式求解出来的.此处采用的参数法与配方法两种重要的数学解题方法，不论是哪种方法其实都归结为三角函数的问题.三角函数代换是解决最值问题的有力武器.
　　()2cos3π
　　sin
　　234
　　ab+
　　下，求乘积最大值的问题，用均值不等式容易得到，这里不再赘述.
　　点评 向量是解决高中数学问题的一种有效工具，利用向量运算将三角形中边之间的数量关系揭示出来.前面几个例子探讨的是在不同背景下的同类二次约束条件的最值问题，方法灵活多样，为二次约束条件最值的题源探究提供依据.
　　参考文献
　　[1]张猛.利用二次型性质解一类数学竞赛题.福建中学数学.2007（8）：27-28
　　[2]林国夫.二次型约束下最值的求解策略.中学生数学(高中)，2010（11）：28-30