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在平时教学中，发现很多教师在提到第一宇宙速度时，经常是灌输式的讲解，给出第一宇宙速度是环绕的最大线速度，又是发射的最小速度；在提到卫星变轨时在切点通过加速减速以实现变轨，为什么圆轨道上的线速度和椭圆轨道的线速度不同.其实学生在理解程度上还是不够深入，平时就是强记结论，效果较差.笔者针对以上问题，进行简单的分析，以期许抛砖引玉.
1地球的第一宇宙速度v=7.9 km/s，既是环绕的最大线速度，又是发射的最小速度
1.1环绕的最大线速度
如图1，卫星围绕地球做匀速圆周运动，卫星受到的万有引力提供给卫星做匀速圆周运动的向心力.可得
GGmr2=mv2r，所以v=GMr.
当卫星离地较近时，轨道半径r=R h≈R，
所以v=GMr≈GMR=7.9 km/s.
总结：本题中轨道半径取了最小值（认为贴地环绕），故第一宇宙速度v=7.9 km/s是环绕的最大线速度.
1.2发射的最小速度
我们将地球上发射卫星模型抽象成如图2.
地球半径为R，以地心为坐标原点O，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，A点距地心O为h≈R（距地面较近），将卫星以水平速度v0发射（平抛）.
1.2.1用数学方法来分析这个问题
由图可得，地球圆轨迹方程
x2 y2=R2（1）
抛物线轨迹y=-ax2 bx c，
可得y=-ax2 R（2）
联立方程（1）、（2）可得
y-R-a y2=R2，
所以ay2-y R-aR2=0.
当卫星的抛物线轨迹与地球圆轨迹只有一个交点时，则抛出点位置A就是这个交点，说明以后也不会再相交（即落地）.
故当Δ=0时，有且只有初位置一个交点.
Δ=b2-4ac=（-1）2-4a（R-aR2）=0，
可得a=12R代入（2），得y=-12Rx2 R（3）
1.2.2用平抛的规律得出抛物线方程
水平方向：x=v0t（4）
竖直方向：y=R-12gt2（5）
联立（4）、（5）可得y=-g2v20x2 R（6）
1.2.3综合得出结论
比较（3）、（6）式可得-12R=-g2v20，
所以v0=gR=7.9 km/s.
当抛物线轨迹方程（2）式中的a值越小，抛物线开口越大（则v0越大，也就是v0≥gR=7.9 km/s）时，就不会有第二个交点（即不会落回地面），故第一宇宙速度为发射的最小速度.
2天体运动圆周轨道与椭圆轨道的线速度计算
2.1圆周轨道的线速度
卫星围绕地球做匀速圆周运动，卫星受到的万有引力提供给卫星做匀速圆周运动的向心力GMmr2=mv2r，所以v=GMr可得半径越大的卫星，线速度越小.
2.2椭圆轨道任意一点的线速度
2.2.1近地点A、远地点B的线速度之比
设地球位于焦点D，近地点A、远地点B、半长轴a、半短轴b，半焦距c，地球质量为M，卫星质量为m.如图3.由于椭圆为轴对称图形，近地点 、远地点 曲率半径 相同（可用数学方法证明），且在近地点 、远地点 只有向心加速度，无切向加速度，故在这两点仍然满足万有引力提供向心力
A： GMm（a-c）2=mv2Ar（7）
B： GMm（a c）2=mv2Br（8）
故 vAvB=a ca-c（9）
2.2.2椭圆轨道任意一点线速度表达式的推导
卫星在轨道运动的总机械能等于卫星的动能与势能的总和.
根据万有引力定律，引力做功与引力势能的关系，设无穷远处引力势能为零，通过积分可得地球和卫星之间的引力势能为Ep=-GMmr，其中r为地球地心与卫星中心的距离；卫星动能Ek=12mv2 （卫星在环绕运动中，不考虑其他星球对它的作用，故机械能守恒）.那么
A位置机械能EA=12mv2A-GMma-c（10）
B位置机械能EB=12mv2B-GMma c（11）
根据机械能守恒EA=EB（12）
联立（9）、（10）、（11）、（12）式，可得
v2A=（a c）GM（a-c）a（13）
v2B=（a-c）GM（a c）a（14）
将（13）、（14）式分别代入（10）、（11）式，可得卫星的总机械能为E=-GMm2a.
由于只存在万有引力，故机械能守恒，则在椭圆轨道任意一点的机械能都相同，均为E=-GMm2a.根据能量守恒定律，可设椭圆任意一个位置的速度为v，卫星离地心距离为r.则
12mv2 （-GMmr）=-GMm2a.
最终椭圆轨道的线速度表达式
v=GM（2r-1a）=u（2r-1a），
其中u为地心引力常数，r为卫星距地心的距离，a为椭圆半长轴.
1地球的第一宇宙速度v=7.9 km/s，既是环绕的最大线速度，又是发射的最小速度
1.1环绕的最大线速度
如图1，卫星围绕地球做匀速圆周运动，卫星受到的万有引力提供给卫星做匀速圆周运动的向心力.可得
GGmr2=mv2r，所以v=GMr.
当卫星离地较近时，轨道半径r=R h≈R，
所以v=GMr≈GMR=7.9 km/s.
总结：本题中轨道半径取了最小值（认为贴地环绕），故第一宇宙速度v=7.9 km/s是环绕的最大线速度.
1.2发射的最小速度
我们将地球上发射卫星模型抽象成如图2.
地球半径为R，以地心为坐标原点O，水平向右为x轴，竖直向上为y轴，A点距地心O为h≈R（距地面较近），将卫星以水平速度v0发射（平抛）.
1.2.1用数学方法来分析这个问题
由图可得，地球圆轨迹方程
x2 y2=R2（1）
抛物线轨迹y=-ax2 bx c，
可得y=-ax2 R（2）
联立方程（1）、（2）可得
y-R-a y2=R2，
所以ay2-y R-aR2=0.
当卫星的抛物线轨迹与地球圆轨迹只有一个交点时，则抛出点位置A就是这个交点，说明以后也不会再相交（即落地）.
故当Δ=0时，有且只有初位置一个交点.
Δ=b2-4ac=（-1）2-4a（R-aR2）=0，
可得a=12R代入（2），得y=-12Rx2 R（3）
1.2.2用平抛的规律得出抛物线方程
水平方向：x=v0t（4）
竖直方向：y=R-12gt2（5）
联立（4）、（5）可得y=-g2v20x2 R（6）
1.2.3综合得出结论
比较（3）、（6）式可得-12R=-g2v20，
所以v0=gR=7.9 km/s.
当抛物线轨迹方程（2）式中的a值越小，抛物线开口越大（则v0越大，也就是v0≥gR=7.9 km/s）时，就不会有第二个交点（即不会落回地面），故第一宇宙速度为发射的最小速度.
2天体运动圆周轨道与椭圆轨道的线速度计算
2.1圆周轨道的线速度
卫星围绕地球做匀速圆周运动，卫星受到的万有引力提供给卫星做匀速圆周运动的向心力GMmr2=mv2r，所以v=GMr可得半径越大的卫星，线速度越小.
2.2椭圆轨道任意一点的线速度
2.2.1近地点A、远地点B的线速度之比
设地球位于焦点D，近地点A、远地点B、半长轴a、半短轴b，半焦距c，地球质量为M，卫星质量为m.如图3.由于椭圆为轴对称图形，近地点 、远地点 曲率半径 相同（可用数学方法证明），且在近地点 、远地点 只有向心加速度，无切向加速度，故在这两点仍然满足万有引力提供向心力
A： GMm（a-c）2=mv2Ar（7）
B： GMm（a c）2=mv2Br（8）
故 vAvB=a ca-c（9）
2.2.2椭圆轨道任意一点线速度表达式的推导
卫星在轨道运动的总机械能等于卫星的动能与势能的总和.
根据万有引力定律，引力做功与引力势能的关系，设无穷远处引力势能为零，通过积分可得地球和卫星之间的引力势能为Ep=-GMmr，其中r为地球地心与卫星中心的距离；卫星动能Ek=12mv2 （卫星在环绕运动中，不考虑其他星球对它的作用，故机械能守恒）.那么
A位置机械能EA=12mv2A-GMma-c（10）
B位置机械能EB=12mv2B-GMma c（11）
根据机械能守恒EA=EB（12）
联立（9）、（10）、（11）、（12）式，可得
v2A=（a c）GM（a-c）a（13）
v2B=（a-c）GM（a c）a（14）
将（13）、（14）式分别代入（10）、（11）式，可得卫星的总机械能为E=-GMm2a.
由于只存在万有引力，故机械能守恒，则在椭圆轨道任意一点的机械能都相同，均为E=-GMm2a.根据能量守恒定律，可设椭圆任意一个位置的速度为v，卫星离地心距离为r.则
12mv2 （-GMmr）=-GMm2a.
最终椭圆轨道的线速度表达式
v=GM（2r-1a）=u（2r-1a），
其中u为地心引力常数，r为卫星距地心的距离，a为椭圆半长轴.