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数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的思维形式。它是排除一类对象的具体物质内容以后的抽象,这种抽象性是数学概念内在的、本质的属性。有些概念是从生产、生活实际问题中抽象出来的,有些是由于数学自身的发展而产生,而有些数学概念源于生活实际,但又依赖已有的数学概念而产生。
数学概念的教学一般来说要经历概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的应用(包括概念所涉及的数学思想方法的运用)等阶段,而学生对抽象性东西的理解、掌握却是最困难的,特别是职高生,他们的思维能力较弱,认知水平较低。所以,职高数学概念教学中的一个重要内容,就是要想方设法创设数学概念形成的问题情景,克服概念的抽象性。
根据数学概念产生的方式,结合学生的认知特点,我们可以用下列几种方法来创设数学概念形成的问题情景。
一、从学生的认知水平出发,创设联系实际的问题情景
因为数学概念的产生、发展有各自不同的途径,有的是直接从现实生活的模型中抽象出来的,所以,数学概念教学要根据学生的认知水平,尽可能地模拟客观实际情况,让学生能从熟悉的生活、生产和其它活动的实际问题中,经历由感性到理性、由实践到认识的过程,然后形成准确、完整的概念。因此,教师提供给学生所学概念的直观背景材料,显然应该是学生熟悉的,且是能从中亲身体验思维加工过程的。
如在“角的概念的推广”教学中,“推广”的主要内容是:从原有的0°—360°的角,推广到正、负任意大、小的角。重点的、也是首先的,是解决正、负角问题。这一概念,可看成是原有0°—360°角内部衍生出来的,但更多的成分可看成是实际现实模型中抽象出来的,因为现实生活中普遍存在两种方向相反的角。因此,本概念教学的设计重心是:着力选择生活模型抽象出正、负角。
选择什么模型呢?进入我思考范围的有:A例:时钟的指针形成的角。B例:用扳手对螺帽拧紧、拧松形成的角。C例:医院B超显示屏上扇形面上扫描线,左转与右转运动形成的角,等等。C例符合概念模型,但不为大多数学生所熟悉,非但不能较好地为概念教学服务,而且要增加B超扫描屏幕的解释,影响教学进程,不取为好。A例虽然能演示相反方向的角,但缺乏现实生活意义,不足以说明正、负角引进的必要性,也不可取。B例事例简单、鲜明、突出、有真实感,在拧紧、拧松中,学生易感知两种相反方向角的形成,是一个好例子。
这里,学生的学习基础是正、负数引进中的原有认识:用正、负区分具有相反意义的两个量,即对正、负数产生的认识。学生在感知扳手对螺帽的拧紧、拧松过程中,能较好地认识到现实生活中是有两种不同方向的角,并且原有的记述方法已经不能区分出这两种角。在此基础上,我设计以下问题进行教学:
1.怎样区分这两种不同方向的角呢?
2.你遇到过类似的两种相反意义的量的问题吗?
3.它是如何解决的呢?能用它的方法解决本问题吗?
如此,顺利地进行角的概念的推广教学。
二、回顾已有概念的扩展过程,创设再扩展概念的问题情景
有些数学概念是已有概念的扩展,若能揭示已有概念的扩展规律,便可以水到渠成的引入新概念。
如复数概念的教学,先回顾已经历过的几次数集扩展的事实:引进负数数集扩展到有理数,引进无理数数集扩展到实数。后提出问题:
1.这些数集扩展的原因及其规律如何?(实际问题的需要使得在已有的数集内有些运算无法进行)
数集的扩展过程体现了如下规律:
(1)每次扩展都增加规定了新的元素;
(2)在原数集内成立的运算规律,在新数集内仍然成立;
(3)每次扩展后的新数集里能解决原数集不能解决的问题。
有了上述准备后,教师提出问题:负数不能开平方的事实说明实数集不够完善,因而提出将实数集扩充为一个更为完整的数集的必要性。那么,怎样解决这个问题呢?
2.借鉴上述规律,为了扩充实数集,引入新元素i,并作相关的规定,这样学生对i的引入就不会感到疑惑,对复数集概念的建立也不会觉得突然,使思维很自然地步入知识发生和形成的轨道中,顺利地进行算数概念的扩展,同时为概念的理解和进一步研究奠定基础。
三、引导新、旧概念对比,创设概念间迁移的问题情景
学生感知和理解事物的一般方式是由学生的已有认知结构来决定的。新的概念不是被同化到现有认知结构中,就是改造这个现有认知结构以接纳新概念。所以,在概念教学中,教师要充分调动学生的原有认知结构。许多数学概念间存在着一定的联系,教师若能将新旧概念间的联系点设计成问题情景,引导学生将新的概念转化为已有认知结构中的相关概念,建立起新旧概念间的联系,便可以使学生牢固地掌握新的概念。
四、通过具体实验,创设概念直观化模型的问题情景
有些数学概念可以通过引导学生从自己的亲自实验或通过现代教育技术手段演示与自己操作(几何画板提供了很好的软件)中领悟数学概念的形成。
如椭圆概念的教学,可分几个步骤进行:1.从实验中获得感性认识。要求学生用事先准备的两个小图钉和一根长度为定长的细线,将细线的两端固定,细线的长大于两定点之间的距离,用铅笔把细线拉紧,使笔尖在纸上慢慢移动,所得图形为椭圆。2.提出问题,思考讨论:(1)椭圆上的点有何特征?(2)当细线的长等于两定点之间的距离时,其轨迹是什么?(3)当细线的长小于两定点之间的距离时,其轨迹是什么?(4)你能给椭圆下一个定义吗?3.揭示本质,给出定义。像这样,学生经历了实验、讨论后,对椭圆的定义的实质会掌握得很好,不会出现忽略椭圆定义中的定长应大于两定点之间的距离的错误。
数学概念的教学一般来说要经历概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的应用(包括概念所涉及的数学思想方法的运用)等阶段,而学生对抽象性东西的理解、掌握却是最困难的,特别是职高生,他们的思维能力较弱,认知水平较低。所以,职高数学概念教学中的一个重要内容,就是要想方设法创设数学概念形成的问题情景,克服概念的抽象性。
根据数学概念产生的方式,结合学生的认知特点,我们可以用下列几种方法来创设数学概念形成的问题情景。
一、从学生的认知水平出发,创设联系实际的问题情景
因为数学概念的产生、发展有各自不同的途径,有的是直接从现实生活的模型中抽象出来的,所以,数学概念教学要根据学生的认知水平,尽可能地模拟客观实际情况,让学生能从熟悉的生活、生产和其它活动的实际问题中,经历由感性到理性、由实践到认识的过程,然后形成准确、完整的概念。因此,教师提供给学生所学概念的直观背景材料,显然应该是学生熟悉的,且是能从中亲身体验思维加工过程的。
如在“角的概念的推广”教学中,“推广”的主要内容是:从原有的0°—360°的角,推广到正、负任意大、小的角。重点的、也是首先的,是解决正、负角问题。这一概念,可看成是原有0°—360°角内部衍生出来的,但更多的成分可看成是实际现实模型中抽象出来的,因为现实生活中普遍存在两种方向相反的角。因此,本概念教学的设计重心是:着力选择生活模型抽象出正、负角。
选择什么模型呢?进入我思考范围的有:A例:时钟的指针形成的角。B例:用扳手对螺帽拧紧、拧松形成的角。C例:医院B超显示屏上扇形面上扫描线,左转与右转运动形成的角,等等。C例符合概念模型,但不为大多数学生所熟悉,非但不能较好地为概念教学服务,而且要增加B超扫描屏幕的解释,影响教学进程,不取为好。A例虽然能演示相反方向的角,但缺乏现实生活意义,不足以说明正、负角引进的必要性,也不可取。B例事例简单、鲜明、突出、有真实感,在拧紧、拧松中,学生易感知两种相反方向角的形成,是一个好例子。
这里,学生的学习基础是正、负数引进中的原有认识:用正、负区分具有相反意义的两个量,即对正、负数产生的认识。学生在感知扳手对螺帽的拧紧、拧松过程中,能较好地认识到现实生活中是有两种不同方向的角,并且原有的记述方法已经不能区分出这两种角。在此基础上,我设计以下问题进行教学:
1.怎样区分这两种不同方向的角呢?
2.你遇到过类似的两种相反意义的量的问题吗?
3.它是如何解决的呢?能用它的方法解决本问题吗?
如此,顺利地进行角的概念的推广教学。
二、回顾已有概念的扩展过程,创设再扩展概念的问题情景
有些数学概念是已有概念的扩展,若能揭示已有概念的扩展规律,便可以水到渠成的引入新概念。
如复数概念的教学,先回顾已经历过的几次数集扩展的事实:引进负数数集扩展到有理数,引进无理数数集扩展到实数。后提出问题:
1.这些数集扩展的原因及其规律如何?(实际问题的需要使得在已有的数集内有些运算无法进行)
数集的扩展过程体现了如下规律:
(1)每次扩展都增加规定了新的元素;
(2)在原数集内成立的运算规律,在新数集内仍然成立;
(3)每次扩展后的新数集里能解决原数集不能解决的问题。
有了上述准备后,教师提出问题:负数不能开平方的事实说明实数集不够完善,因而提出将实数集扩充为一个更为完整的数集的必要性。那么,怎样解决这个问题呢?
2.借鉴上述规律,为了扩充实数集,引入新元素i,并作相关的规定,这样学生对i的引入就不会感到疑惑,对复数集概念的建立也不会觉得突然,使思维很自然地步入知识发生和形成的轨道中,顺利地进行算数概念的扩展,同时为概念的理解和进一步研究奠定基础。
三、引导新、旧概念对比,创设概念间迁移的问题情景
学生感知和理解事物的一般方式是由学生的已有认知结构来决定的。新的概念不是被同化到现有认知结构中,就是改造这个现有认知结构以接纳新概念。所以,在概念教学中,教师要充分调动学生的原有认知结构。许多数学概念间存在着一定的联系,教师若能将新旧概念间的联系点设计成问题情景,引导学生将新的概念转化为已有认知结构中的相关概念,建立起新旧概念间的联系,便可以使学生牢固地掌握新的概念。
四、通过具体实验,创设概念直观化模型的问题情景
有些数学概念可以通过引导学生从自己的亲自实验或通过现代教育技术手段演示与自己操作(几何画板提供了很好的软件)中领悟数学概念的形成。
如椭圆概念的教学,可分几个步骤进行:1.从实验中获得感性认识。要求学生用事先准备的两个小图钉和一根长度为定长的细线,将细线的两端固定,细线的长大于两定点之间的距离,用铅笔把细线拉紧,使笔尖在纸上慢慢移动,所得图形为椭圆。2.提出问题,思考讨论:(1)椭圆上的点有何特征?(2)当细线的长等于两定点之间的距离时,其轨迹是什么?(3)当细线的长小于两定点之间的距离时,其轨迹是什么?(4)你能给椭圆下一个定义吗?3.揭示本质,给出定义。像这样,学生经历了实验、讨论后,对椭圆的定义的实质会掌握得很好,不会出现忽略椭圆定义中的定长应大于两定点之间的距离的错误。