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[摘 要]当前的小学数学课堂教学存在诸多问题，或因过于追求热闹而缺乏深度，或因教学手段的单一使课堂没有趣味性，或因教学过程匆忙使学生无法积累足够的活动经验，等等。这些现象的存在导致课堂没有厚度，无法使教学效率最大化。从当前课堂教学中存在的问题入手，让教师修炼“外功”，从而打造有“厚度”的数学课堂，促进学生更好地发展。
[关键词]存在问题 厚度 外功
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）14-046
我们在聆听名、优、特教师的课堂教学后，常常会对他们的“深厚功力”发出赞叹——他们的课有底蕴、有“厚度”。什么是有“厚度”的数学课堂呢？笔者认为，有“厚度”的数学课堂，指的是基础知识落实到位、基本技能掌握扎实，同时又富有启发性，能有效引发学生各种感官参与学习活动，积累经验、发展思维、获得数学的思想与方法的课堂。如何打造有厚度的数学课堂呢？笔者认为教师要“内外功兼修”：“内功”指教师精深的本学科的专业知识与相关的教育心理学等方面的理论知识；“外功”指教师的教学实践，即课堂教学。本文就对当前课堂教学中存在的问题与如何从修炼“外功”入手，打造有厚度的数学课堂，谈一谈自己的一些做法。
一、当前课堂教学存在的问题
1.教师没有融入角色
我们常说“教育无痕”，是指教育过程如和煦的春风，轻拂孩子稚嫩的心灵，以“润物细无声”的方式完成育人目标。但笔者认为教育又是有痕的—— 一旦我们走上讲台，则化身为育人的天使，我们的一言一行、一颦一笑，都会感染学生的情绪，影响教学的成效。不少教师在日常的教学中往往因个人原因，把诸多个人的负面情绪带到课堂，忘记了教师的角色要求，从而造成“没有情感交流”的课堂，大大降低了教学效率。
2.师生之间存在着隔阂
《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。而在现实的课堂中，一些教师往往是“一言堂”，只顾自己按教学预案进行讲解，而不顾及学生的反应，或对学生的回答没有及时理答。这种“代沟式”的教学导致学生逐渐失去学习的兴趣与积极性，最终造成被动学习。
3.照本宣科，按部就班“教教材”
教材是开展教学活动的蓝本，规定着学生的学习内容。教师如果不领会教材的编写意图，只是照本宣科，就可能会使教学不够深入，教学重点不突出，难点未突破。
4.不能及时掌控学生的学习动态
“学生的学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”正因如此，学生在学习中往往会有个性化的想法与做法，其中有错误的，也有正确的。一些教师对此视而不见，用“一刀切”的方式要求学生，导致学生思维模式化、方法公式化，不利于学生创新思维的培养与发展。
5.重结果，轻过程
对学生的学习评价，“既要关注学生学习的结果，也要重视学生学习的过程”。而在一些课堂中，教师为了多、快、好、省，大大缩短了学生的探究过程，甚至“剥夺”了学生的探究权力，导致学生没有足够的经验积累，只会以模仿的方式解题，而无法对新知有质的认识，影响了知识的建构。
二、勤练“外功”，努力打造有“厚度”的数学课堂
由于数学课堂中或多或少存在以上的问题，致使课堂“浅薄”而“思想、内涵”不足。如何从修炼“外功”做起，努力打造有“厚度”的数学课堂？笔者认为可从以下几方面进行尝试。
1.活用教材，挖掘教材的内涵
教材承载着学习内容，如果能对教材进行合理、恰当的“二次开发”，往往会获得意想不到的效果。
如，教学人教版教材六年级上册第五单元“圆”时，可对第3节“圆的面积”中的例3进行“二次开发”。
中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。上图中的两个圆半径都是1m，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？
以“外方内圆”为例，学生的解题方法为：
圆的面积：3.14×12=3.14（m2）
正方形的面积：（1×2）2=4（m2）
相差的面积：4-3.14=0.86（m2）
至此，本小题已解决完毕，多数教师转向第二个图形中的问题。笔者并没有就此止步，而是追问三个问题：
（1）这个圆与正方形的面积比是多少？（3.14∶4=157∶200）
（2）如果圆的半径分别是2m、3m、4m、5m，圆与正方形的面积比又分别是多少呢？
（3）你有什么发现？（经过交流、总结发现：不管圆的半径是多少，在这样的图形中，圆的面积与正方形的面积之比总是157∶200。）
思考与收获：本题解决的是正方形与内切圆面积之差的问题，是不是计算得出结果就可以了？还有什么可挖掘的？为此，笔者结合学生在第四单元已经学习了“比”的知识的基础上，提出了“圆与正方形的面积比是多少”的问题，初步得到结果是157∶200，继而提出“当圆的半径发生变化时，这个比又是多少”的问题。经过分工合作，学生发现结果仍然是157∶200，感悟到了本题中蕴含的“变”与“不变”的辩证关系，引发了更为深入的思考。这里对教材二次开发后，学生不但学会了解决类似的问题，更为重要的是感悟了数学中“变”与“不变”的函数思想，充分挖掘了教材的内涵。
2. 引导探究，丰富经验的积累
活动经验具有不可替代性，对理解、内化、应用知识都具有决定性的作用。然而，在现实的课堂中学生往往没有足够的时间进行探究。
如，教学六年级下册 “圆锥的体积”时，有些教师仅仅是示范操作，或用课件演示代替学生的操作，匆匆得出结论后再用大量的练习训练学生套用公式。这种公式化的教学僵化了学生的思维，长此以往，学生的创造性思维将会消失殆尽。笔者在教学这一内容时，为每两个学生提供一套圆柱与圆锥的操作学具，并在课堂上安排了充足的时间让他们自主试验，在反馈环节中，学生的发言异常精彩。 生1：把圆锥装满水后倒入圆柱中，一次又一次重复，重复倒了3次，正好把圆柱装满，说明圆锥体积是圆柱体积的。
生2：在圆柱里灌满水，然后倒入圆锥，圆锥里的水满后，倒回桶里。这样正好倒3次，说明圆柱体积是圆锥体积的3倍。
生3：先将圆柱灌满水，圆锥不灌水，把圆锥轻轻地放入圆柱中，此时圆柱中的水会溢出来，溢出的水的体积就是圆锥的体积。再把圆锥轻轻地拿出来，这时圆柱中的水面会下降。用尺量出圆柱中空出部分的高，得到空出部分的高是圆柱高的，说明圆锥的体积就是圆柱的。
生4：先把圆锥装满水，倒进圆柱里，只倒1次。然后用尺量出圆柱中水的高度，最后用量出的数据除以圆柱的高度。结果水面的高度正好是圆柱高度的，说明圆锥的体积是圆柱体积的。
生5：把圆锥装满水后，倒进圆柱中，用笔做个记号，然后把圆锥装满水后倒进圆柱，再做个记号。我用尺量了一下，这两个记号正好把圆柱的高平均分成三份，说明圆锥体积是圆柱的。
生6：我们组开始用圆锥灌满水倒进圆柱里，感觉误差大。就换了一种，把圆柱灌满水，往圆锥里倒，刚刚好倒了3杯。这说明圆柱体积是圆锥的3倍，也就是圆锥体积是圆柱体积的。
思考与收获：在教学“圆锥的体积”时教师往往容易犯“经验替代”的过错，造成学生只知道圆锥体积的计算方法，而不会主动沟通圆柱与圆锥的联系。为了避免这种现象，笔者设计了同桌倒水试验。在交流时，不但有教材中介绍的两种常规方法，更有“排水法”和“量高法”，特别是操作方法的优化提升（从圆锥往圆柱里倒误差小），这是多么可贵的发现啊！如果没有实物操作，他们能有这样的体会和发现吗？学生获得了如此丰富的经验，不但使圆锥体积的计算方法水到渠成，为后续学习相似内容提供了方法借鉴，学生还学会了真正的探究方法。
3. 适时追问，提高思考的含金量
数学学习活动是师生、生生交往互动的过程。“功力”深厚的教师都善于在课堂上对学生的回答作出准确的评价，并引导学生进入更深层次的思考，让学生在获得知识的同时提高了思考能力，从而使课堂厚实、丰满。
如，教学五年级下册第七单元“折线统计图”时，根据条形统计图得到下列折线统计图：
问题：李康的体温一天中最大波动是多少摄氏度？有学生根据采集的5个时间点的体温数据，用减法计算出相邻两个时间点的体温差，从而得到从起床到10时的体温波动最大。此时，笔者及时进行了评价并追问：他是根据相邻的体温差作出判断的，其他同学还有不同的方法能够得到这个结论吗？学生反复观察和思考后给出了很多不同的看法：
生1：从起床到10时，这条线段穿过了一格，其他3条线段正好是一格，所以从起床到10时的体温波动最大。
生2：我量了一下，这4条线段中从起床到10时的最长，其他3条一样长，说明从起床到10时的体温波动最大，其他3个时间段的波动相同。
生3：我发现第一条线段最陡，其他3条线段平缓一些，所以起床到10时的体温波动最大。
生4（补充）：我发现第一条线段和水平的线的夹角最大，其他3个夹角小一些，所以第一条线段最长。
思考与收获：不少教师在解读折线统计图时，只引导学生观察数据的最大量、最小量、相差量，表面上看教学气氛活跃，学生的参与面广，但思维含量不高，易造成走过场的形式。笔者在教学时，仅仅是追问了一个问题，就引发了学生深入的思考，从表象中线段的长短、位置的陡缓，到角度的大小分析，特别是学生在无意识中认识到线段的长度跟线段与水平线的夹角有关，更是为第三学段学习三角函数埋下了伏笔，课有深度、有新意、有内涵。
4. 成果展示，领略独特的思维魅力
数学是思维的体操，而每个人的思维具有共性，也富有个性特点，反映在数学学习上，主要是以作业成果的形式展现的。教师不能因为赶进度，对学生独特的做法视而不见，也不能因自己一时无法看懂学生的方法而马上否决。
如，六年级上册第六单元“百分数”的一道习题：某品牌的空调进行促销活动——降价10%，在此基础上，商场又向顾客返还售价的5%的现金。此时买这个品牌的空调，相当于降价百分之几？
学生主要有以下两种做法：
第一种：假设法，假设原价1000元。
降价10%后的售价为1000×（1-10%）=900（元），
现价为900×（1-5%）=855（元），
降价百分率为（1000-855）÷1000=14.5%。
第二种：把原价看做“1”。
降价10%后的售价为1×（1-10%）=0.9，
现价为0.9×（1-5%）=0.855，
降价百分率为（1-0.855）÷1=14.5%。
在批改习题的过程中，笔者看到了一个学生的做法为“1×10% （1-10%）×5%=14.5%”，不禁为他独特的做法与不受拘束的思维叫好。
思考与收获：解决这类问题需要在转化单位“1”的基础上，应用“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的知识。由于有一定的抽象性，部分学生用第一种方法——假设法解决，第二种方法尽管用“率”解决，但思路与假设法完全一致。这两种方法按部就班，“公式化”现象比较严重。而突然出现的这第三种做法，跳出了常规的思维，不套用公式，而是根据生活实际，分别算出两次降价的幅度后再相加，简洁明了又具有数学的严谨性。对这种立足课堂知识、跳出课堂思维的学生，教师一定要大力表扬，激发他们求异思维的发展，因为这是创新思维的宝贵“种子”。
5. 锤炼语言，磨炼心境，与学生共发展
有“厚度”的课堂的施教者，尽管各自的教学风格不同，但有一个共同的特征：能站在学生的角度想学生所想，急学生所急，不把个人情绪带入课堂，能与学生产生心灵上的共鸣。再加上充满睿智的语言，让学生不由自主地参与学习活动，这样的教师一定会受到学生的喜爱，为打造有“厚度”的数学课堂提供了必备条件。
当然，努力打造有“厚度”的数学课堂，最终是促进学生更好地发展，切不可为了“厚度”而增加“难度”、“深度”。
（责编 金 铃）
[关键词]存在问题 厚度 外功
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）14-046
我们在聆听名、优、特教师的课堂教学后，常常会对他们的“深厚功力”发出赞叹——他们的课有底蕴、有“厚度”。什么是有“厚度”的数学课堂呢？笔者认为，有“厚度”的数学课堂，指的是基础知识落实到位、基本技能掌握扎实，同时又富有启发性，能有效引发学生各种感官参与学习活动，积累经验、发展思维、获得数学的思想与方法的课堂。如何打造有厚度的数学课堂呢？笔者认为教师要“内外功兼修”：“内功”指教师精深的本学科的专业知识与相关的教育心理学等方面的理论知识；“外功”指教师的教学实践，即课堂教学。本文就对当前课堂教学中存在的问题与如何从修炼“外功”入手，打造有厚度的数学课堂，谈一谈自己的一些做法。
一、当前课堂教学存在的问题
1.教师没有融入角色
我们常说“教育无痕”，是指教育过程如和煦的春风，轻拂孩子稚嫩的心灵，以“润物细无声”的方式完成育人目标。但笔者认为教育又是有痕的—— 一旦我们走上讲台，则化身为育人的天使，我们的一言一行、一颦一笑，都会感染学生的情绪，影响教学的成效。不少教师在日常的教学中往往因个人原因，把诸多个人的负面情绪带到课堂，忘记了教师的角色要求，从而造成“没有情感交流”的课堂，大大降低了教学效率。
2.师生之间存在着隔阂
《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。而在现实的课堂中，一些教师往往是“一言堂”，只顾自己按教学预案进行讲解，而不顾及学生的反应，或对学生的回答没有及时理答。这种“代沟式”的教学导致学生逐渐失去学习的兴趣与积极性，最终造成被动学习。
3.照本宣科，按部就班“教教材”
教材是开展教学活动的蓝本，规定着学生的学习内容。教师如果不领会教材的编写意图，只是照本宣科，就可能会使教学不够深入，教学重点不突出，难点未突破。
4.不能及时掌控学生的学习动态
“学生的学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”正因如此，学生在学习中往往会有个性化的想法与做法，其中有错误的，也有正确的。一些教师对此视而不见，用“一刀切”的方式要求学生，导致学生思维模式化、方法公式化，不利于学生创新思维的培养与发展。
5.重结果，轻过程
对学生的学习评价，“既要关注学生学习的结果，也要重视学生学习的过程”。而在一些课堂中，教师为了多、快、好、省，大大缩短了学生的探究过程，甚至“剥夺”了学生的探究权力，导致学生没有足够的经验积累，只会以模仿的方式解题，而无法对新知有质的认识，影响了知识的建构。
二、勤练“外功”，努力打造有“厚度”的数学课堂
由于数学课堂中或多或少存在以上的问题，致使课堂“浅薄”而“思想、内涵”不足。如何从修炼“外功”做起，努力打造有“厚度”的数学课堂？笔者认为可从以下几方面进行尝试。
1.活用教材，挖掘教材的内涵
教材承载着学习内容，如果能对教材进行合理、恰当的“二次开发”，往往会获得意想不到的效果。
如，教学人教版教材六年级上册第五单元“圆”时，可对第3节“圆的面积”中的例3进行“二次开发”。
中国建筑中经常能见到“外方内圆”和“外圆内方”的设计。上图中的两个圆半径都是1m，你能求出正方形和圆之间部分的面积吗？
以“外方内圆”为例，学生的解题方法为：
圆的面积：3.14×12=3.14（m2）
正方形的面积：（1×2）2=4（m2）
相差的面积：4-3.14=0.86（m2）
至此，本小题已解决完毕，多数教师转向第二个图形中的问题。笔者并没有就此止步，而是追问三个问题：
（1）这个圆与正方形的面积比是多少？（3.14∶4=157∶200）
（2）如果圆的半径分别是2m、3m、4m、5m，圆与正方形的面积比又分别是多少呢？
（3）你有什么发现？（经过交流、总结发现：不管圆的半径是多少，在这样的图形中，圆的面积与正方形的面积之比总是157∶200。）
思考与收获：本题解决的是正方形与内切圆面积之差的问题，是不是计算得出结果就可以了？还有什么可挖掘的？为此，笔者结合学生在第四单元已经学习了“比”的知识的基础上，提出了“圆与正方形的面积比是多少”的问题，初步得到结果是157∶200，继而提出“当圆的半径发生变化时，这个比又是多少”的问题。经过分工合作，学生发现结果仍然是157∶200，感悟到了本题中蕴含的“变”与“不变”的辩证关系，引发了更为深入的思考。这里对教材二次开发后，学生不但学会了解决类似的问题，更为重要的是感悟了数学中“变”与“不变”的函数思想，充分挖掘了教材的内涵。
2. 引导探究，丰富经验的积累
活动经验具有不可替代性，对理解、内化、应用知识都具有决定性的作用。然而，在现实的课堂中学生往往没有足够的时间进行探究。
如，教学六年级下册 “圆锥的体积”时，有些教师仅仅是示范操作，或用课件演示代替学生的操作，匆匆得出结论后再用大量的练习训练学生套用公式。这种公式化的教学僵化了学生的思维，长此以往，学生的创造性思维将会消失殆尽。笔者在教学这一内容时，为每两个学生提供一套圆柱与圆锥的操作学具，并在课堂上安排了充足的时间让他们自主试验，在反馈环节中，学生的发言异常精彩。 生1：把圆锥装满水后倒入圆柱中，一次又一次重复，重复倒了3次，正好把圆柱装满，说明圆锥体积是圆柱体积的。
生2：在圆柱里灌满水，然后倒入圆锥，圆锥里的水满后，倒回桶里。这样正好倒3次，说明圆柱体积是圆锥体积的3倍。
生3：先将圆柱灌满水，圆锥不灌水，把圆锥轻轻地放入圆柱中，此时圆柱中的水会溢出来，溢出的水的体积就是圆锥的体积。再把圆锥轻轻地拿出来，这时圆柱中的水面会下降。用尺量出圆柱中空出部分的高，得到空出部分的高是圆柱高的，说明圆锥的体积就是圆柱的。
生4：先把圆锥装满水，倒进圆柱里，只倒1次。然后用尺量出圆柱中水的高度，最后用量出的数据除以圆柱的高度。结果水面的高度正好是圆柱高度的，说明圆锥的体积是圆柱体积的。
生5：把圆锥装满水后，倒进圆柱中，用笔做个记号，然后把圆锥装满水后倒进圆柱，再做个记号。我用尺量了一下，这两个记号正好把圆柱的高平均分成三份，说明圆锥体积是圆柱的。
生6：我们组开始用圆锥灌满水倒进圆柱里，感觉误差大。就换了一种，把圆柱灌满水，往圆锥里倒，刚刚好倒了3杯。这说明圆柱体积是圆锥的3倍，也就是圆锥体积是圆柱体积的。
思考与收获：在教学“圆锥的体积”时教师往往容易犯“经验替代”的过错，造成学生只知道圆锥体积的计算方法，而不会主动沟通圆柱与圆锥的联系。为了避免这种现象，笔者设计了同桌倒水试验。在交流时，不但有教材中介绍的两种常规方法，更有“排水法”和“量高法”，特别是操作方法的优化提升（从圆锥往圆柱里倒误差小），这是多么可贵的发现啊！如果没有实物操作，他们能有这样的体会和发现吗？学生获得了如此丰富的经验，不但使圆锥体积的计算方法水到渠成，为后续学习相似内容提供了方法借鉴，学生还学会了真正的探究方法。
3. 适时追问，提高思考的含金量
数学学习活动是师生、生生交往互动的过程。“功力”深厚的教师都善于在课堂上对学生的回答作出准确的评价，并引导学生进入更深层次的思考，让学生在获得知识的同时提高了思考能力，从而使课堂厚实、丰满。
如，教学五年级下册第七单元“折线统计图”时，根据条形统计图得到下列折线统计图：
问题：李康的体温一天中最大波动是多少摄氏度？有学生根据采集的5个时间点的体温数据，用减法计算出相邻两个时间点的体温差，从而得到从起床到10时的体温波动最大。此时，笔者及时进行了评价并追问：他是根据相邻的体温差作出判断的，其他同学还有不同的方法能够得到这个结论吗？学生反复观察和思考后给出了很多不同的看法：
生1：从起床到10时，这条线段穿过了一格，其他3条线段正好是一格，所以从起床到10时的体温波动最大。
生2：我量了一下，这4条线段中从起床到10时的最长，其他3条一样长，说明从起床到10时的体温波动最大，其他3个时间段的波动相同。
生3：我发现第一条线段最陡，其他3条线段平缓一些，所以起床到10时的体温波动最大。
生4（补充）：我发现第一条线段和水平的线的夹角最大，其他3个夹角小一些，所以第一条线段最长。
思考与收获：不少教师在解读折线统计图时，只引导学生观察数据的最大量、最小量、相差量，表面上看教学气氛活跃，学生的参与面广，但思维含量不高，易造成走过场的形式。笔者在教学时，仅仅是追问了一个问题，就引发了学生深入的思考，从表象中线段的长短、位置的陡缓，到角度的大小分析，特别是学生在无意识中认识到线段的长度跟线段与水平线的夹角有关，更是为第三学段学习三角函数埋下了伏笔，课有深度、有新意、有内涵。
4. 成果展示，领略独特的思维魅力
数学是思维的体操，而每个人的思维具有共性，也富有个性特点，反映在数学学习上，主要是以作业成果的形式展现的。教师不能因为赶进度，对学生独特的做法视而不见，也不能因自己一时无法看懂学生的方法而马上否决。
如，六年级上册第六单元“百分数”的一道习题：某品牌的空调进行促销活动——降价10%，在此基础上，商场又向顾客返还售价的5%的现金。此时买这个品牌的空调，相当于降价百分之几？
学生主要有以下两种做法：
第一种：假设法，假设原价1000元。
降价10%后的售价为1000×（1-10%）=900（元），
现价为900×（1-5%）=855（元），
降价百分率为（1000-855）÷1000=14.5%。
第二种：把原价看做“1”。
降价10%后的售价为1×（1-10%）=0.9，
现价为0.9×（1-5%）=0.855，
降价百分率为（1-0.855）÷1=14.5%。
在批改习题的过程中，笔者看到了一个学生的做法为“1×10% （1-10%）×5%=14.5%”，不禁为他独特的做法与不受拘束的思维叫好。
思考与收获：解决这类问题需要在转化单位“1”的基础上，应用“求一个数比另一个数多（少）百分之几”的知识。由于有一定的抽象性，部分学生用第一种方法——假设法解决，第二种方法尽管用“率”解决，但思路与假设法完全一致。这两种方法按部就班，“公式化”现象比较严重。而突然出现的这第三种做法，跳出了常规的思维，不套用公式，而是根据生活实际，分别算出两次降价的幅度后再相加，简洁明了又具有数学的严谨性。对这种立足课堂知识、跳出课堂思维的学生，教师一定要大力表扬，激发他们求异思维的发展，因为这是创新思维的宝贵“种子”。
5. 锤炼语言，磨炼心境，与学生共发展
有“厚度”的课堂的施教者，尽管各自的教学风格不同，但有一个共同的特征：能站在学生的角度想学生所想，急学生所急，不把个人情绪带入课堂，能与学生产生心灵上的共鸣。再加上充满睿智的语言，让学生不由自主地参与学习活动，这样的教师一定会受到学生的喜爱，为打造有“厚度”的数学课堂提供了必备条件。
当然，努力打造有“厚度”的数学课堂，最终是促进学生更好地发展，切不可为了“厚度”而增加“难度”、“深度”。
（责编 金 铃）