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摘要：主要研究网状拉格朗日映射与勒让德映射的一般性.目的是给出焦散线与波前的一般分类。焦散的描述是从拓扑空间到结构空间拉格朗日子流形的临界值集合。拉格朗日和勒让德奇点在微分几何许多问题当中都可以找到，其中最成功的应用之一是对焦散线与波前奇异性的研究。
关键词：焦散线 波前 稳定性 临界值 拉格朗日与勒让德奇点
中图分类号：O346 文献标识码：A 文章编号：1009-5349（2018）18-0253-03
奇点理论仍处于快速发展的状态，奇点理论最成功的应用之一是研究焦散线与波前传播的奇点及分岔。拉格朗日和勒让德奇点在微分几何许多问题当中都可以找到，其中最成功的应用之一是对焦散线与波前奇异性的研究。例如：在黎曼流形中由余切丛的某点定义拉格朗日子流形。在1-射流点定义勒让德子流形，由超曲面生成的焦散被称为拉格朗日限制。因此，对光滑超曲面产生的焦散线和波前的研究归结为拉格朗日和勒让德奇点的研究。研究了当超曲面有边界，角或r-角的一般情况。在这些情况下，从超曲面任意边界进入的粒子在余切丛点上给出辛正则的r-立方结构。这是拉格朗日子流形概念的推广。本文通过研究网状拉格朗日的稳定性，研究具有r-角的超曲面芽产生的焦散线和波前的稳定性，概括了勒让德概念。
讨论r-角超曲面生成的焦散线和波前的一般性。为了实现这个目的，将研究网状拉格朗日、勒让德映射的一般性。在这些过程当中，需要证明网状拉格朗日，勒让德映射的稳定性和横向稳定性的等价性。
本文由两部分组成，在第一部分中，给出网状拉格朗日和勒让德映射理论。在第二部分中，研究网状拉格朗日和勒让德映射的一般性。将研究网状拉格朗日和勒让德映射的有限决定性。
一、网状拉格朗日奇点
在简单地描述了拉格朗日奇点理论的基本概念之后，定义拉格朗日子流形芽之间的一个自然等价关系。设i和i’是拉格朗日子流形芽。如果存在一个微分同胚芽和一个辛微分同胚芽，则称i和i’具有拉格朗日等价关系。如果是一个微分同胚芽则称之为辛微分同胚芽。也可以称i和i’具有焦散等价关系。由定义，如果i和i’具有拉格朗日等价关系则i和i’具有焦散等价关系。一般来说，反之不成立。这就是为什么到目前为止还没有对拉格朗日等式进行几何解释的原因。这是拉格朗日子流形芽的拉格朗日稳定性的概念。这里，我们不需要确切的定义及省略了定义。
如果对于 ，则称（T* Rn，0）上的辛微分同胚φ是网状微分同胚。如果存在网状微分同胚φ和π的拉格朗日等价性Θ。
由于在[1]的定义中，不存在网状微分同胚是辛微分同胚的条件。但在[1]中定义的网状微分同胚含两个辛微分同胚的组成。L限制和拉格朗日等价。从而定义等价于[1]中的定义。
如
参考文献：
[1]T. Tsukada， Reticular Lagrangian Singularities， Asian[J].Math，1997（1）：572-622.
[2]T. Tsukada， Reticular Legendrian Singularities， Asian [J].Math，2001（5）：1109-127.
[3]V.I. Arnol’d， S.M. Gusuein-Zade， and A.N. Varchenko， Singularities of Differentiable Maps I， Birkhauser[J].Math，1985.
[4]G. Ishikawa， Transversalities for Lagrange singularities of isotropic mapping of corank one，Banach Center Publ[J].Math，1996（33）：93-104.
[5]G. Ishikawa， Infinitesimal deformations and stability of singular Legendre submanifolds， Asian[J].Math，2005（9）：1，133-166.
[6]I. Scherback， Boundary Fronts and Caustics and their Metamorphoses[M].Singularities： Lille，1991：363.
[7]S. Janeczko， Generalized Luneburg canonical varieties and vector fields on quasicaustics[J].Journal of Mathematical Physics，1990（31）：997-1009.
[8]V. M. Zakalyukin， Lagrangian and Legendrian singularities[M].Funct. Anal. Appl，1976：23-31.
[9]V. I. Arnol’d， Singularities of caustics and wave fronts[M].Kluwer：Dordrecht，1990.
[10]V. I. Arnol’d， Singularities of Caustics and Wave Fronts[J].Kluer Academic Publishers，Dordrecht，1990.
[11]G. Ishikawa， Determinacy， transversality and Lagrange stability， Banach Center Publ[J].1999（50）：123-135.
責任编辑：杨国栋
关键词：焦散线 波前 稳定性 临界值 拉格朗日与勒让德奇点
中图分类号：O346 文献标识码：A 文章编号：1009-5349（2018）18-0253-03
奇点理论仍处于快速发展的状态，奇点理论最成功的应用之一是研究焦散线与波前传播的奇点及分岔。拉格朗日和勒让德奇点在微分几何许多问题当中都可以找到，其中最成功的应用之一是对焦散线与波前奇异性的研究。例如：在黎曼流形中由余切丛的某点定义拉格朗日子流形。在1-射流点定义勒让德子流形，由超曲面生成的焦散被称为拉格朗日限制。因此，对光滑超曲面产生的焦散线和波前的研究归结为拉格朗日和勒让德奇点的研究。研究了当超曲面有边界，角或r-角的一般情况。在这些情况下，从超曲面任意边界进入的粒子在余切丛点上给出辛正则的r-立方结构。这是拉格朗日子流形概念的推广。本文通过研究网状拉格朗日的稳定性，研究具有r-角的超曲面芽产生的焦散线和波前的稳定性，概括了勒让德概念。
讨论r-角超曲面生成的焦散线和波前的一般性。为了实现这个目的，将研究网状拉格朗日、勒让德映射的一般性。在这些过程当中，需要证明网状拉格朗日，勒让德映射的稳定性和横向稳定性的等价性。
本文由两部分组成，在第一部分中，给出网状拉格朗日和勒让德映射理论。在第二部分中，研究网状拉格朗日和勒让德映射的一般性。将研究网状拉格朗日和勒让德映射的有限决定性。
一、网状拉格朗日奇点
在简单地描述了拉格朗日奇点理论的基本概念之后，定义拉格朗日子流形芽之间的一个自然等价关系。设i和i’是拉格朗日子流形芽。如果存在一个微分同胚芽和一个辛微分同胚芽，则称i和i’具有拉格朗日等价关系。如果是一个微分同胚芽则称之为辛微分同胚芽。也可以称i和i’具有焦散等价关系。由定义，如果i和i’具有拉格朗日等价关系则i和i’具有焦散等价关系。一般来说，反之不成立。这就是为什么到目前为止还没有对拉格朗日等式进行几何解释的原因。这是拉格朗日子流形芽的拉格朗日稳定性的概念。这里，我们不需要确切的定义及省略了定义。
如果对于 ，则称（T* Rn，0）上的辛微分同胚φ是网状微分同胚。如果存在网状微分同胚φ和π的拉格朗日等价性Θ。
由于在[1]的定义中，不存在网状微分同胚是辛微分同胚的条件。但在[1]中定义的网状微分同胚含两个辛微分同胚的组成。L限制和拉格朗日等价。从而定义等价于[1]中的定义。
如
参考文献：
[1]T. Tsukada， Reticular Lagrangian Singularities， Asian[J].Math，1997（1）：572-622.
[2]T. Tsukada， Reticular Legendrian Singularities， Asian [J].Math，2001（5）：1109-127.
[3]V.I. Arnol’d， S.M. Gusuein-Zade， and A.N. Varchenko， Singularities of Differentiable Maps I， Birkhauser[J].Math，1985.
[4]G. Ishikawa， Transversalities for Lagrange singularities of isotropic mapping of corank one，Banach Center Publ[J].Math，1996（33）：93-104.
[5]G. Ishikawa， Infinitesimal deformations and stability of singular Legendre submanifolds， Asian[J].Math，2005（9）：1，133-166.
[6]I. Scherback， Boundary Fronts and Caustics and their Metamorphoses[M].Singularities： Lille，1991：363.
[7]S. Janeczko， Generalized Luneburg canonical varieties and vector fields on quasicaustics[J].Journal of Mathematical Physics，1990（31）：997-1009.
[8]V. M. Zakalyukin， Lagrangian and Legendrian singularities[M].Funct. Anal. Appl，1976：23-31.
[9]V. I. Arnol’d， Singularities of caustics and wave fronts[M].Kluwer：Dordrecht，1990.
[10]V. I. Arnol’d， Singularities of Caustics and Wave Fronts[J].Kluer Academic Publishers，Dordrecht，1990.
[11]G. Ishikawa， Determinacy， transversality and Lagrange stability， Banach Center Publ[J].1999（50）：123-135.
責任编辑：杨国栋