江苏省南京市、盐城市三月份高三年级第二次模拟考试中有这样一道试题：在平面直角坐标系xOy中，已知⊙C：x2 （y-1）2=5，A为⊙C与x负半轴的交点，过A作⊙C的弦AB，记线段AB的中点为M，若OM=OA，则直线AB的斜率为.
　　该题可以从多种角度进行分析求解，现将同学们的解法整理成文，并作点评分析，希望给高三同学的复习有一点启迪.
　　解法1：如图，设⊙C与x正半轴的交点为D，连结CM，DM，OM.∵AM=BM，∴CM⊥AB.又∵OM=OA=OD=2，
　　∴△AMD为直角三角形，且DM⊥AB，
　　∴M，C，D三点共线.
　　∴tan∠BAO=tan∠OCD=ODOC=21=2，
　　所以直线AB的斜率为2.
　　或由C（0，1），D（2，0），所以直线CD的斜率为-12，又AB⊥CD，所以直线AB的斜率为2.
　　点评：这种思路较好地运用了圆和三角形的几何性质，从而转化为求一个已知的三角形OCD中一个角的正切值问题或与其垂直的直线斜率的问题.反映了这些同学有较好的平面几何基础.
　　解法2：如图，连结CM，OM，∵AM=BM，∴CM⊥AB.
　　设∠BAO=α，∵OM=OA=2，∴∠AMO=α，
　　从而∠CMO=π2-α，∠MCO=π-α，
　　在△COM中，由正弦定理得OCsin（π2-α）=OMsin（π-α），
　　即1cosα=2sinα所以tanα=2，所以直线AB的斜率为2.
　　解法3：如上图，连结CM，OM，∵AM=BM，
　　∴CM⊥AB.
　　设∠BAO=α，CM=d，
　　则∠CMO=π2-α，
　　AM=CA2-CM2=5-d2，
　　在△AOM中，∵OM=OA=2，AM=5-d2，
　　∴cosα=12AMOA=145-d2.
　　在△COM中，cos（π2-α）=CM2 OM2-OC22CM·OM=d2 34d，即sinα=d2 34d，
　　∵sin2α cos2α=1，∴（145-d2）2 （d2 34d）2=1，化简得d2=95，
　　∴cosα=15，sinα=25，tanα=2，所以直线AB的斜率为2.
　　点评：解法2和解法3用我们熟悉的正弦定理或余弦定理建立方程，再通过解方程加以解决，这是我们最容易想到的基本方法，其中解法3比解法4简单自然.它们都是方程思想在解题中的具体体现.
　　解法4：设M点的坐标为（x，y），易知A点的坐标为（-2，0），故B点的坐标为（2x 2，2y），由OM=OA=2及点B在圆C上得：
　　x2 y2=4（2x 2）2 （2y-1）2=5即x2 y2=4x2 y2 2x-y=0
　　解得x=-65y=85或x=-2y=0（不合，舍去），
　　∴kAB=85-65 2=2，
　　所以直线AB的斜率为2.
　　点评：其实由∠AMC=∠AOC=π2知A，O，C，M四点共圆，即点M在以AC为直径的圆上.由A（-2，0），C（10，1）知M在圆：（x 1）2 （y-12）2=54上，下同解法4.
　　解法5：设M点的坐标为（x，y），同解法4得：
　　x2 y2=4（2x 2）2 （2y-1）2=5即x2 y2=4x2 y2 2x-y=0
　　两式相减得y=2x 4.
　　从而点M的坐标满足这个方程，又因为点A的坐标也是这个方程的解，所以这个方程就是直线AM即直线AB的方程.所以直线AB的斜率为2.
　　点评：解法4和解法5都是解析几何中常用的基本方法，也是最贴近问题的解法，解法4是设而再求之，解法5是设而不求，都体现了曲线与方程的思想，其中解法5对曲线与方程的概念的理解更加深刻.也有同学把直线AB理解为两圆的公共弦，从而转化为求我们熟悉的两圆公共弦问题，这是数形结合思想的较好体现.
　　（作者：薛成梅、解志巍、卜以军，江苏省建湖高级中学）