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摘 要：最短路径问题已从课本习题迈入“课题学习”之门。本文从最短路径问题的基本模型出发，通过假设与变式，逐步转化成新的实际问题和数学模型，旨在武装数学思想，探究其解法共性。
关键词：最短；假设；转化；平移；对称
中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2016）18-059-02
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众所周知，转化思想是数学中最基本的数学思想。而假设法也是一种重要的数学思维方法，在问题的转化过程中，假设起“桥梁”作用。下面我们以数学人教版八年级“课题学习——最短路径问题”为例，来体验一下假设法对于问题转化的重要性。
一、模型1——在直线上求作一点与直线同侧的两点所连线段之和最小
例1：如图1-1，点A，B分别是直线异侧的两个点，在上求作一点C，使CA CB最短。
解决策略：连接AB，与直线的交点即为所求。
这是最基本的数学模型。下面我们用假设法对这个模型进行举一反三、拓展应用。
二、模型1“变形记”——模型2
模型2：在直线上求作一点与直线异侧的两点所连线段之和最小
例2：如图2-1，点A，B分别是直线同侧的两个点，在上求作一点C，使CA CB最短。
如图2-2，假设把河面看作一面镜子，点B反射到另一侧点B’处，则A、B’两点位于直线异侧，“模型2”就转化为“模型1”。当然，作点A的对称点也可。
解决策略：先作其中一个点关于这条直线的对称点，再连接对称点与另一个点，与该直线的交点即为所求。要证CA CB最短，如图2-3，在直线上另外任取一点C’，然后证明AC BC 三、模型1再“变身”
提到“河”，人们会想到“桥”。下面就来谈谈人们熟悉的造桥选址问题。
例3：如图3-1，从A地到B地经过一条小河（河岸a∥b），现要在河上建一座与两岸垂直的桥MN，桥造在何处才能使从A地到B地的路径AMNB最短？
分析：造的桥要与河垂直，由于路径AMNB中的MN的长度是个定值（等于河宽），因此只需使AM NB最小即可。
（一）法1——条件假设，变“因”导“果”
在本例中，假如河的宽度变为零，这个问题就转化成前面所讲的“模型1”。
如图3-2，将点A向与河岸垂直的方向平移一个河岸宽度到A1，我们可以假想直线a也平移到了直线b并与a重合，由于点A1和点B分别位居直线b两侧，由“模型1”可知，只需连接A1B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得路径AMNB就是最短路径。
略证：如图3-3，如果在不同于MN的位置造桥M1N1.由于M1N1=MN=AA1；又根据“两点之间，线段最短”，AN1 N1B>A1N NB，故路径AMNB要短于AM1N1B.
（二）法2——结论假设，执“果”索“因”
如图3-2，从A到B可行走的路线是A→M→N→B，假设在此路线中AM BN最短，现来找一找它应该满足的条件.要使AM BN最短，需将两线段拼在一条直线。因为两点之间，线段最短，故将AM平移到A1N，使A1、N、B三点共线，A1N NB最小.此时，AM∥A1N且AM=A1N，可证四边形AMNA1是平行四边形，则AA1=MN；因此，需要先将点A向垂直于直线b的方向平移一个河岸宽度到A1处。
四、模型1拓展记
（一）情景设疑
如果一条河变成两条河，需要驾两座桥或更多座桥，又该如何选址呢？
例4：如图4-1，从A地到B地经过两条小河，现要在河上建两座与河岸垂直的桥，则在何处建桥才能使从A地到B地的路径最短？
（二）解法展示
法1：将其中的点A或点B连续平移两次
如图4-2，先将点A沿与河流河岸垂直的方向平移一个河宽到A1，再沿与河流2河岸垂直的方向平移一河宽到A2，连接A2B，交河流2河岸于N，此处建桥MN；连接A1M，交河流1于P，在此处建桥PQ，所得路径AQPMNB最短。
法2：将点A、点B分别平移一次
如图4-3，将A沿与河流1垂直的方向平移一个河宽，得到A1，再将B沿与河流2河岸垂直的方向平移1个河的宽度得到B1，连接A1B1与河流1、河流2分别相交于N、P，分别作桥MN、PQ，所得路径AQPNMB最短。
（三）归纳小结
由上可知，造桥选址问题，要使所得到的路径最短，通过平移变换（向垂直于河岸的方向平移），使除了桥长不变外所得到的其他路径平移后在一条直线上。
五、模型1、模型2“融合記”
分析：本例是平移变换和轴对称变换的综合题，同样也可以用假设法解决。如图5-2，假设PQ的长度为零，将点B沿平行于直线的方向朝左平移PQ的长（定长）至B’，再在直线上找一点P，使AP PB’最小（转化为模型2），最后作点A关于直线的对称点A’（转化为模型1），连接A’B’，交直线于P；最后在直线上截取线段PQ等于定长。则此时AP PQ BQ最小，原理如图5-3所示（证明略）。
综上所述，在解决最短路径问题时，我们可以用假设法，利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的几条线段转化到一条直线上，从而得出最短路径。这样将未解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，真正实现了化难为易，化未知为已知，从而迅速找到问题的突破口，提高解题能力。
[参考文献]
[1]义务教育数学课程标准.2011年版.北京师范大学出版社，2012.01.
[2]宋毓彬.对造桥选址问题的探索.语数外学习.2012.03.
关键词：最短；假设；转化；平移；对称
中图分类号：G633.6 文献标识码： A 文章编号：1992-7711（2016）18-059-02
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众所周知，转化思想是数学中最基本的数学思想。而假设法也是一种重要的数学思维方法，在问题的转化过程中，假设起“桥梁”作用。下面我们以数学人教版八年级“课题学习——最短路径问题”为例，来体验一下假设法对于问题转化的重要性。
一、模型1——在直线上求作一点与直线同侧的两点所连线段之和最小
例1：如图1-1，点A，B分别是直线异侧的两个点，在上求作一点C，使CA CB最短。
解决策略：连接AB，与直线的交点即为所求。
这是最基本的数学模型。下面我们用假设法对这个模型进行举一反三、拓展应用。
二、模型1“变形记”——模型2
模型2：在直线上求作一点与直线异侧的两点所连线段之和最小
例2：如图2-1，点A，B分别是直线同侧的两个点，在上求作一点C，使CA CB最短。
如图2-2，假设把河面看作一面镜子，点B反射到另一侧点B’处，则A、B’两点位于直线异侧，“模型2”就转化为“模型1”。当然，作点A的对称点也可。
解决策略：先作其中一个点关于这条直线的对称点，再连接对称点与另一个点，与该直线的交点即为所求。要证CA CB最短，如图2-3，在直线上另外任取一点C’，然后证明AC BC
提到“河”，人们会想到“桥”。下面就来谈谈人们熟悉的造桥选址问题。
例3：如图3-1，从A地到B地经过一条小河（河岸a∥b），现要在河上建一座与两岸垂直的桥MN，桥造在何处才能使从A地到B地的路径AMNB最短？
分析：造的桥要与河垂直，由于路径AMNB中的MN的长度是个定值（等于河宽），因此只需使AM NB最小即可。
（一）法1——条件假设，变“因”导“果”
在本例中，假如河的宽度变为零，这个问题就转化成前面所讲的“模型1”。
如图3-2，将点A向与河岸垂直的方向平移一个河岸宽度到A1，我们可以假想直线a也平移到了直线b并与a重合，由于点A1和点B分别位居直线b两侧，由“模型1”可知，只需连接A1B，交河岸于点N，在此处造桥MN，所得路径AMNB就是最短路径。
略证：如图3-3，如果在不同于MN的位置造桥M1N1.由于M1N1=MN=AA1；又根据“两点之间，线段最短”，AN1 N1B>A1N NB，故路径AMNB要短于AM1N1B.
（二）法2——结论假设，执“果”索“因”
如图3-2，从A到B可行走的路线是A→M→N→B，假设在此路线中AM BN最短，现来找一找它应该满足的条件.要使AM BN最短，需将两线段拼在一条直线。因为两点之间，线段最短，故将AM平移到A1N，使A1、N、B三点共线，A1N NB最小.此时，AM∥A1N且AM=A1N，可证四边形AMNA1是平行四边形，则AA1=MN；因此，需要先将点A向垂直于直线b的方向平移一个河岸宽度到A1处。
四、模型1拓展记
（一）情景设疑
如果一条河变成两条河，需要驾两座桥或更多座桥，又该如何选址呢？
例4：如图4-1，从A地到B地经过两条小河，现要在河上建两座与河岸垂直的桥，则在何处建桥才能使从A地到B地的路径最短？
（二）解法展示
法1：将其中的点A或点B连续平移两次
如图4-2，先将点A沿与河流河岸垂直的方向平移一个河宽到A1，再沿与河流2河岸垂直的方向平移一河宽到A2，连接A2B，交河流2河岸于N，此处建桥MN；连接A1M，交河流1于P，在此处建桥PQ，所得路径AQPMNB最短。
法2：将点A、点B分别平移一次
如图4-3，将A沿与河流1垂直的方向平移一个河宽，得到A1，再将B沿与河流2河岸垂直的方向平移1个河的宽度得到B1，连接A1B1与河流1、河流2分别相交于N、P，分别作桥MN、PQ，所得路径AQPNMB最短。
（三）归纳小结
由上可知，造桥选址问题，要使所得到的路径最短，通过平移变换（向垂直于河岸的方向平移），使除了桥长不变外所得到的其他路径平移后在一条直线上。
五、模型1、模型2“融合記”
分析：本例是平移变换和轴对称变换的综合题，同样也可以用假设法解决。如图5-2，假设PQ的长度为零，将点B沿平行于直线的方向朝左平移PQ的长（定长）至B’，再在直线上找一点P，使AP PB’最小（转化为模型2），最后作点A关于直线的对称点A’（转化为模型1），连接A’B’，交直线于P；最后在直线上截取线段PQ等于定长。则此时AP PQ BQ最小，原理如图5-3所示（证明略）。
综上所述，在解决最短路径问题时，我们可以用假设法，利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的几条线段转化到一条直线上，从而得出最短路径。这样将未解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题，真正实现了化难为易，化未知为已知，从而迅速找到问题的突破口，提高解题能力。
[参考文献]
[1]义务教育数学课程标准.2011年版.北京师范大学出版社，2012.01.
[2]宋毓彬.对造桥选址问题的探索.语数外学习.2012.03.