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【案例】
近日，看到朋友儿子小朱的一份批改过的数学试卷，上面有这样一道题目引起了笔者的注意，见下图：
这是一道找规律的题目，要求学生能从简单情况入手，进行观察、比较、思考，进而能发现小棒的根数与八边形的个数之间的数量关系，并能将这种关系以比较抽象的数学方式加以表征。题中括号里填写的“8n-（n-1）”是小朱考试时写出的答案，很显然老师给他判了个“×”，后面是小朱订正写出的答案“7n 1”，订正时在每一个图形的下面还标出了“8、15、22”几个数据。
于是就有了下面一段对话：
笔者：你这道题怎么错了？
小朱：我的答案可能是不简便吧。
笔者：为什么？
小朱：如果把8n-（n-1）的括号去掉后，后面的减号变成加号，再把8n减去n，就是（7n 1）了，这个答案比较简洁。
笔者：那你的8n-（n-1）这个答案是怎么想出来的？
小朱：我想，从第二个图形开始就是八边形重合在一起了，2个八边形就有1条边重合，3个八边形就有2条边重合，以此类推n个八边形就有（n-1）条边重合，n个八边形原来有8n条边，现在减去重合的（n-1）条边，那么就需要8n-（n-1）根小棒了。
笔者：你的想法很好啊，你这个答案正好体现了你的思考过程。那老师所说的（7n 1）是从你的答案化简来的吗？
二、何去何从？——横向数学化与纵向数学化
那么，在教学实践中，如何恰当地处理这两种表征方式之间的关系才能更加有利于学生认知结构的完善，更加有利于学生思维的发展和数学能力的提升？笔者以为，将数量关系的原生态表征与精致化表征并重，并促进两者之间的互补与整合，无疑是数学教学明智的选择。为何要并重，如何互补与整合？弗赖登塔尔的数学化思想应该能给我们一定的启示。
弗赖登塔尔认为：当我们把数学当成一种活动，它的一个主要特征是数学化。数学化可分为横向数学化与纵向数学化，横向数学化注重从生活到数学，从现实情境到数学体系，而纵向数学化注重的是数学体系内部的变换、重组。本例中，无论是原生态表征8n-（n-1），还是精致化表征（7n 1），都可以直接从横向数学化的维度得到，即都可以通过对图的观察、分析而抽象出关系；与此同时，精致化表征（7n 1）还可以通过将原生态表征8n-（n-1） 以化简的方式进行数学内部的重组即纵向数学化的维度得到。 对横向数学化和纵向数学化进行分类，数学教育可以分成四种类型：①缺少横向数学化，也缺乏纵向数学化，是机械主义的教学；②横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义的教学；③横向数学化不足，但纵向数学化被培养起来，是结构主义的教学；④横向数学化与纵向数学化都得到成长，是现实主义的教学。当下我国基础教育数学课程改革倡导现实主义的教学，横向数学化与纵向数学化要结伴而行，均衡发展。
这样，就从数学化的角度为我们提供了理论依据：数量关系表征应该从单一的精致化表征转向以原生态表征与精致化表征两者并重，这就要求教师在教学实践中必须重视学生的原生态表征，但又不能让学生的认知发展仅仅停滞在“自发”的水平上，也要及时引导学生由原生态表征向精致化表征提升，并实现两者的互补与整合。所以，当学生得到原生态表征之后，教师可以通过引导学生转换思维方式从横向数学化的维度直接构建精致的数量关系，也可以引导学生运用已学过的数学定律、性质对原生态表征进行形式化处理，从纵向数学化的维度逻辑推理出精致化的数量关系。但就这种间接构建的方式而言，教师必须注意的是：尽管学生经历了由原生态向精致化的逻辑推理，但并不意味着学生随之自然地建立起与精致化相对应的数学思想方法，潜存着知识与方法“分离”的危险。因此，对于形式化推演出来的精致化表征，教师仍然应及时引导学生将其与数学概念、直观图形联系起来综合考查，使学生发现、领悟和建立起与精致化表征相对应的数学思想方法，实现思维方式的转换，建构起精致化数量关系表征的完整意义。
就本例而言，教师在评讲试题时，一方面要充分肯定学生给出的这个答案，并鼓励学生将这种答案及其思考过程向全体同学展示；另一方面，也要引导学生将这个答案进一步化简为（7n 1），使之在形式上更加简洁以体现数学的特征。更重要的是引导全体学生从题中的图形出发，从不同的思维视角建构起（7n 1）的实际意义。
方法一：根据题中的图，形成下列表格。
观察表格中上下两行数据之间的关系：8=7 1，15=7×2 1，22=7×3 1，……从而得到：n个八边形，小棒的根数是（7n 1）根。
方法二：将题中的图分解如下，并逐一动态呈现。
引导学生发现：1个八边形，小棒根数是（1 7）根，2个八边形，小棒根数是（1 7×2）根，3个八边形，小棒根数是（1 7×3）根，……从而得到：n个八边形，小棒的根数是（1 7n）根。
从更高的层次来看，坚持数量关系原生态表征与精致化表征并重、横向数学化与纵向数学化结合，不仅仅是为了学生认知结构的完善，更重要的是为了学生智慧的生成与发展。学生可以从多种角度去思考问题，其思维视角是多向的而不是单向的，其思维方式是多样的而不是单一的。如此的数学教学才能真正“使人具有活跃的智慧”，数学学习才能真正成为“智慧之学”。
（江苏省宝应县实验小学 225800）
近日，看到朋友儿子小朱的一份批改过的数学试卷，上面有这样一道题目引起了笔者的注意，见下图：
这是一道找规律的题目，要求学生能从简单情况入手，进行观察、比较、思考，进而能发现小棒的根数与八边形的个数之间的数量关系，并能将这种关系以比较抽象的数学方式加以表征。题中括号里填写的“8n-（n-1）”是小朱考试时写出的答案，很显然老师给他判了个“×”，后面是小朱订正写出的答案“7n 1”，订正时在每一个图形的下面还标出了“8、15、22”几个数据。
于是就有了下面一段对话：
笔者：你这道题怎么错了？
小朱：我的答案可能是不简便吧。
笔者：为什么？
小朱：如果把8n-（n-1）的括号去掉后，后面的减号变成加号，再把8n减去n，就是（7n 1）了，这个答案比较简洁。
笔者：那你的8n-（n-1）这个答案是怎么想出来的？
小朱：我想，从第二个图形开始就是八边形重合在一起了，2个八边形就有1条边重合，3个八边形就有2条边重合，以此类推n个八边形就有（n-1）条边重合，n个八边形原来有8n条边，现在减去重合的（n-1）条边，那么就需要8n-（n-1）根小棒了。
笔者：你的想法很好啊，你这个答案正好体现了你的思考过程。那老师所说的（7n 1）是从你的答案化简来的吗？
二、何去何从？——横向数学化与纵向数学化
那么，在教学实践中，如何恰当地处理这两种表征方式之间的关系才能更加有利于学生认知结构的完善，更加有利于学生思维的发展和数学能力的提升？笔者以为，将数量关系的原生态表征与精致化表征并重，并促进两者之间的互补与整合，无疑是数学教学明智的选择。为何要并重，如何互补与整合？弗赖登塔尔的数学化思想应该能给我们一定的启示。
弗赖登塔尔认为：当我们把数学当成一种活动，它的一个主要特征是数学化。数学化可分为横向数学化与纵向数学化，横向数学化注重从生活到数学，从现实情境到数学体系，而纵向数学化注重的是数学体系内部的变换、重组。本例中，无论是原生态表征8n-（n-1），还是精致化表征（7n 1），都可以直接从横向数学化的维度得到，即都可以通过对图的观察、分析而抽象出关系；与此同时，精致化表征（7n 1）还可以通过将原生态表征8n-（n-1） 以化简的方式进行数学内部的重组即纵向数学化的维度得到。 对横向数学化和纵向数学化进行分类，数学教育可以分成四种类型：①缺少横向数学化，也缺乏纵向数学化，是机械主义的教学；②横向数学化得到成长，但纵向数学化不足，是经验主义的教学；③横向数学化不足，但纵向数学化被培养起来，是结构主义的教学；④横向数学化与纵向数学化都得到成长，是现实主义的教学。当下我国基础教育数学课程改革倡导现实主义的教学，横向数学化与纵向数学化要结伴而行，均衡发展。
这样，就从数学化的角度为我们提供了理论依据：数量关系表征应该从单一的精致化表征转向以原生态表征与精致化表征两者并重，这就要求教师在教学实践中必须重视学生的原生态表征，但又不能让学生的认知发展仅仅停滞在“自发”的水平上，也要及时引导学生由原生态表征向精致化表征提升，并实现两者的互补与整合。所以，当学生得到原生态表征之后，教师可以通过引导学生转换思维方式从横向数学化的维度直接构建精致的数量关系，也可以引导学生运用已学过的数学定律、性质对原生态表征进行形式化处理，从纵向数学化的维度逻辑推理出精致化的数量关系。但就这种间接构建的方式而言，教师必须注意的是：尽管学生经历了由原生态向精致化的逻辑推理，但并不意味着学生随之自然地建立起与精致化相对应的数学思想方法，潜存着知识与方法“分离”的危险。因此，对于形式化推演出来的精致化表征，教师仍然应及时引导学生将其与数学概念、直观图形联系起来综合考查，使学生发现、领悟和建立起与精致化表征相对应的数学思想方法，实现思维方式的转换，建构起精致化数量关系表征的完整意义。
就本例而言，教师在评讲试题时，一方面要充分肯定学生给出的这个答案，并鼓励学生将这种答案及其思考过程向全体同学展示；另一方面，也要引导学生将这个答案进一步化简为（7n 1），使之在形式上更加简洁以体现数学的特征。更重要的是引导全体学生从题中的图形出发，从不同的思维视角建构起（7n 1）的实际意义。
方法一：根据题中的图，形成下列表格。
观察表格中上下两行数据之间的关系：8=7 1，15=7×2 1，22=7×3 1，……从而得到：n个八边形，小棒的根数是（7n 1）根。
方法二：将题中的图分解如下，并逐一动态呈现。
引导学生发现：1个八边形，小棒根数是（1 7）根，2个八边形，小棒根数是（1 7×2）根，3个八边形，小棒根数是（1 7×3）根，……从而得到：n个八边形，小棒的根数是（1 7n）根。
从更高的层次来看，坚持数量关系原生态表征与精致化表征并重、横向数学化与纵向数学化结合，不仅仅是为了学生认知结构的完善，更重要的是为了学生智慧的生成与发展。学生可以从多种角度去思考问题，其思维视角是多向的而不是单向的，其思维方式是多样的而不是单一的。如此的数学教学才能真正“使人具有活跃的智慧”，数学学习才能真正成为“智慧之学”。
（江苏省宝应县实验小学 225800）