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一、从人们如何认识数学的角度看
1 演绎推理，是从一般到特殊的推理，只要前提为真，符合逻辑规则，那么结论就可靠。它通常包括直接演绎（由一个前提直接推出结论）和间接演绎（由两个或两个以上前提推出结论）。
演绎推理具有“三段论”的形式，它是由大前提（一般的判断）、小前提（特殊的判断）、结论（最后的判断）这三个判断组成的。例如，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数（大前提）；258各位上的数字和15是3的倍数（小前提）；所以，258是3的倍数（结论）。
2 合情推理，是从特殊到一般的思想，通过研究一些具体、特殊的情况，达到认识一般规律的目的，它是人们认识未知的一种重要思想。归纳推理就是一种从特殊到一般的推理，它是一种合情推理，是在观察分析问题的几个简单、特殊情况，从中总结规律，发现一般问题的解答的思想方法。
例如，六年级下册第94页第3题，（1）多边形内角和与它的边数有什么关系？（2）一个九边形的内角和是多少度？通过学生思考三角形、四边形、五边形、六边形的内角和，由三角形内角和是180°×（3—2），四边形内角和是180°×（4—2），五边形内角和是180°×（5—2），从中发现多边形内角和与它边数的关系，推出规律：内角和的度数=180°×（边数—2）。这是一种不完全归纳推理，不完全归纳推理是在研究某个事物或现象的某些特殊情况所得到的共同属性的基础上，对这一事物或现象作出一般结论的。不完全归纳推理所得到的结论可能是正确的，也可能是错误的。例如，由4是偶数，4也是合数；6是偶数，6也是合数；8是偶数，8也是合数；推得一切偶数都是合数，这个结论就不正确。虽然不完全归纳推理得到的结论可能正确也可能错误，但是它能帮助人们迅速地去发现事物的规律，提供研究的线索和方向。
有时在解决问题中，从特殊到一般和从一般到特殊这两种思想方法需要结合使用。
例如，3586除以5的余数是多少？如果你一心一意想把586个3连乘，企图得到它们的积，再把积除以5求余数，尽管你的整数乘法基本功很好，也是难以求得答案的，因为这是一个天文数字。正确的思考方法是：1.先把问题一般化：问3n（n表示自然数）除以5的余数是什么？如果能够解答这个一般问题，那么当n=586时，便是本题的答案。2.使用归纳法，从n=1，2，3，……入手，探求一般问题的结论。当，n=1时，31=3，除以5的余数是3；当n=2时，32=9，除以5的余数是4；当n=3时，33=27，除以5的余数是2；当n=4时，34=81，除以5的余数是1；当n=5时，35=243，除以5的余数是3；当n=6时，36=729，除以5的余数是4……从上面可以看出，当，n从1开始按顺序取值时，3n除以5的余数依次以3、4、2、1周期反复出现。这就是上述一般问题的解答。3.使用演绎法，从一般规律求当n=586时本题的解答，因为586被4除余2，所以3586除以5的余数是4。
3 类比思想，从特殊到特殊的思想。人们研究鱼为什么在水中能自由浮沉，设计发明了潜水艇；从鸡蛋壳的结构，发明了薄壳建筑等，这些都是人类模仿生物特性创造发明的成果，使用的思想方法就是类比思想。
类比思想是小学数学常用到的思维方法。例如，由整数的运算定律迁移到小数、分数的运算定律，解决问题中数量关系相近的问题的类比等。小学数学中的类比推理除了能有效地促进知识的迁移，还能进一步加强新旧知识间的联系，引导学生从知识点形成知识链，并进一步形成知识面，完成知识的系统化。例如，整数四则运算与小数四则运算的类比，还能帮助学生有效地掌握运算法则。
类比推理并不是论证，由类比推理所引出的结论并不一定是正确的，例如由“a×3=b×3，则a=b”；类比推出“a×0=b×0，则a=b”，后者就不一定正确，但是类比思想在科学假设中常常能起到很大的作用。
二、从数学间的区别和转化的角度看
1 分类的思想。分类是一种重要的数学思想，分类思想是根据对象本质属性的共同点和差异点，将属性对象按一定的秩序区分为不同种类的思想，它以比较为基础，能够揭示数学对象之间的联系与区别，有助于更准确完整地认识事物。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类（整数、小数、分数：奇数、偶数；质数、合数、1等）、图形的分类（角的分类、三角形的分类等）。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在教学中渗透分类思想时，应让学生了解分类标准是多样的，不同的分类标准会有不同的分类结果。例如，《三角形的分类》一课。制定教学目标时，一方面要求让学生牢固掌握三角形角的特征，另一方面还应重点让学生去感悟抽象或分类的数学思想。教学的具体实施，更要时刻围绕着这样的目标去展开。比如，当学生不能正确分类时，可以引导学生去观察角的特征，使分类得以进行：当学生出现将三角形按角分成直角三角形和没有直角的三角形（斜三角形）两类或直角三角形、钝角三角形、锐角三角形三类时，则可以引导学生去对比其中的联系，使学生认识钝角三角形、锐角三角形都是在斜三角形基础上的细化分类，都完全符合概念分类的原则，都完整地展现了分类的结果。这样不仅直观体现了分类的思想，还能够有效地支撑学生进一步明确概念之间的逻辑关系。
学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决数学问题。例如，等腰三角形中有一个角是80°，它的另外两个角分别是多少度？就要将问题分两类未思考：①当顶角为80°时，另外两个角分别为50°，50°。（②当底角为80°时，另外两个角分别为80°，20°。
2 化归的思想。在许多情况中，我们遇到的数学问题所蕴含的模式难以检索到相关的数学知识，就常常需要将原有的数学问题进行一定的转化，这在数学上称为化归，化归也是普遍使用的一种数学思想。其基本思想就是：把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。其基本方法是：在考察待解决的问题时，能意识到与对象有内在联系的其他诸多对象，将原对象化归为一个较为熟悉的另一个对象，最终达到对原问题的解答。 化归思想作为最基本的数学思想之一，在学习数学和解决数学问题的过程中无所不在。例如，六年级上册的“鸡兔同笼”的教学。由于“鸡兔同笼”问题解决的特殊性，许多问题都可以化归为“鸡兔同笼”问题。人教版教材“做一做”和练习中安排了类似的一些习题，让学生拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用。同时这些问题通过转化，都可以将其归结为已经解决的“鸡兔同笼”问题类型，从而进一步求解，这就是化归。
在计算以及解决问题时，有时就需要把条件进行变更、化归，使原问题变更为一个更容易解决的问题。例如，解决问题，某纺织厂甲、乙两个车间去年共织布520千米，今年共织布680千米，其中甲车间比去年增产48%，乙车间比去年增产20%。今年甲、乙两个车间各织布多少千米？这道题中两个百分率所表示的单位1不同，难以下手进行直接转化。但我们可以将原问题进行非等价变形，使它变成一个比较简单的问题，某纺织厂甲、乙两个车间去年共织布520千米，今年甲、乙两个车间都比去年增产20%。今年共织布多少千米？先解化归后的问题，今年共织布520×（1+20%）=624（千米）。现在将结果与原问题进行比较，发现比原问题中少织布680—624=56（千米）。而这56千米的差是由于甲车间增产的48%变为20%所致，所以甲车间今年的织布数为56÷（48%—20%）×（148%）=296（千米），乙车间今年织布数为680—296=384（千米）。非等价变形指化归前后两个问题并不等价。但是，当解决了化归问题之后，就能为解决问题提供解题线索和程序。解题思路是：假设两个车间多织的百分率相同一找出织布千米数的差与对应百分数的差一求出对应百分数所在单位1的千米数。
尽管化归方法在具体运用过程中有各种形式，但它的目标都指向一个，即使原问题化归为一个容易解决的问题，而化归后的问题解答目标又尽可能接近原问题解答的目标，这就是化归法的本质所在。
基本思想这一层面是数学思想的最高以及最核心的层面。处于下一层次的还有与具体内容紧密结合的具体思想，如：数形结合思想、符号思想、方程思想、代换思想、对应思想（含量量对应、量率对应、数形对应、函数对应）、结构思想、模型思想、极限思想、统计思想、集合思想和数学美（对称与和谐、简单与明快、严谨与统一、奇异与突变）的思想等，以及数学思想之下统领的一些具体的方法。
（作者单位：福建省福州市鼓楼区教师进修学校本专辑责任编辑：辛铭 王彬）
1 演绎推理，是从一般到特殊的推理，只要前提为真，符合逻辑规则，那么结论就可靠。它通常包括直接演绎（由一个前提直接推出结论）和间接演绎（由两个或两个以上前提推出结论）。
演绎推理具有“三段论”的形式，它是由大前提（一般的判断）、小前提（特殊的判断）、结论（最后的判断）这三个判断组成的。例如，一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数（大前提）；258各位上的数字和15是3的倍数（小前提）；所以，258是3的倍数（结论）。
2 合情推理，是从特殊到一般的思想，通过研究一些具体、特殊的情况，达到认识一般规律的目的，它是人们认识未知的一种重要思想。归纳推理就是一种从特殊到一般的推理，它是一种合情推理，是在观察分析问题的几个简单、特殊情况，从中总结规律，发现一般问题的解答的思想方法。
例如，六年级下册第94页第3题，（1）多边形内角和与它的边数有什么关系？（2）一个九边形的内角和是多少度？通过学生思考三角形、四边形、五边形、六边形的内角和，由三角形内角和是180°×（3—2），四边形内角和是180°×（4—2），五边形内角和是180°×（5—2），从中发现多边形内角和与它边数的关系，推出规律：内角和的度数=180°×（边数—2）。这是一种不完全归纳推理，不完全归纳推理是在研究某个事物或现象的某些特殊情况所得到的共同属性的基础上，对这一事物或现象作出一般结论的。不完全归纳推理所得到的结论可能是正确的，也可能是错误的。例如，由4是偶数，4也是合数；6是偶数，6也是合数；8是偶数，8也是合数；推得一切偶数都是合数，这个结论就不正确。虽然不完全归纳推理得到的结论可能正确也可能错误，但是它能帮助人们迅速地去发现事物的规律，提供研究的线索和方向。
有时在解决问题中，从特殊到一般和从一般到特殊这两种思想方法需要结合使用。
例如，3586除以5的余数是多少？如果你一心一意想把586个3连乘，企图得到它们的积，再把积除以5求余数，尽管你的整数乘法基本功很好，也是难以求得答案的，因为这是一个天文数字。正确的思考方法是：1.先把问题一般化：问3n（n表示自然数）除以5的余数是什么？如果能够解答这个一般问题，那么当n=586时，便是本题的答案。2.使用归纳法，从n=1，2，3，……入手，探求一般问题的结论。当，n=1时，31=3，除以5的余数是3；当n=2时，32=9，除以5的余数是4；当n=3时，33=27，除以5的余数是2；当n=4时，34=81，除以5的余数是1；当n=5时，35=243，除以5的余数是3；当n=6时，36=729，除以5的余数是4……从上面可以看出，当，n从1开始按顺序取值时，3n除以5的余数依次以3、4、2、1周期反复出现。这就是上述一般问题的解答。3.使用演绎法，从一般规律求当n=586时本题的解答，因为586被4除余2，所以3586除以5的余数是4。
3 类比思想，从特殊到特殊的思想。人们研究鱼为什么在水中能自由浮沉，设计发明了潜水艇；从鸡蛋壳的结构，发明了薄壳建筑等，这些都是人类模仿生物特性创造发明的成果，使用的思想方法就是类比思想。
类比思想是小学数学常用到的思维方法。例如，由整数的运算定律迁移到小数、分数的运算定律，解决问题中数量关系相近的问题的类比等。小学数学中的类比推理除了能有效地促进知识的迁移，还能进一步加强新旧知识间的联系，引导学生从知识点形成知识链，并进一步形成知识面，完成知识的系统化。例如，整数四则运算与小数四则运算的类比，还能帮助学生有效地掌握运算法则。
类比推理并不是论证，由类比推理所引出的结论并不一定是正确的，例如由“a×3=b×3，则a=b”；类比推出“a×0=b×0，则a=b”，后者就不一定正确，但是类比思想在科学假设中常常能起到很大的作用。
二、从数学间的区别和转化的角度看
1 分类的思想。分类是一种重要的数学思想，分类思想是根据对象本质属性的共同点和差异点，将属性对象按一定的秩序区分为不同种类的思想，它以比较为基础，能够揭示数学对象之间的联系与区别，有助于更准确完整地认识事物。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类（整数、小数、分数：奇数、偶数；质数、合数、1等）、图形的分类（角的分类、三角形的分类等）。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分类的标准，在教学中渗透分类思想时，应让学生了解分类标准是多样的，不同的分类标准会有不同的分类结果。例如，《三角形的分类》一课。制定教学目标时，一方面要求让学生牢固掌握三角形角的特征，另一方面还应重点让学生去感悟抽象或分类的数学思想。教学的具体实施，更要时刻围绕着这样的目标去展开。比如，当学生不能正确分类时，可以引导学生去观察角的特征，使分类得以进行：当学生出现将三角形按角分成直角三角形和没有直角的三角形（斜三角形）两类或直角三角形、钝角三角形、锐角三角形三类时，则可以引导学生去对比其中的联系，使学生认识钝角三角形、锐角三角形都是在斜三角形基础上的细化分类，都完全符合概念分类的原则，都完整地展现了分类的结果。这样不仅直观体现了分类的思想，还能够有效地支撑学生进一步明确概念之间的逻辑关系。
学会分类，可以有助于学习新的数学知识，有助于分析和解决数学问题。例如，等腰三角形中有一个角是80°，它的另外两个角分别是多少度？就要将问题分两类未思考：①当顶角为80°时，另外两个角分别为50°，50°。（②当底角为80°时，另外两个角分别为80°，20°。
2 化归的思想。在许多情况中，我们遇到的数学问题所蕴含的模式难以检索到相关的数学知识，就常常需要将原有的数学问题进行一定的转化，这在数学上称为化归，化归也是普遍使用的一种数学思想。其基本思想就是：把甲问题的求解，化归为乙问题的求解，然后通过乙问题的解反向去获得甲问题的解。其基本方法是：在考察待解决的问题时，能意识到与对象有内在联系的其他诸多对象，将原对象化归为一个较为熟悉的另一个对象，最终达到对原问题的解答。 化归思想作为最基本的数学思想之一，在学习数学和解决数学问题的过程中无所不在。例如，六年级上册的“鸡兔同笼”的教学。由于“鸡兔同笼”问题解决的特殊性，许多问题都可以化归为“鸡兔同笼”问题。人教版教材“做一做”和练习中安排了类似的一些习题，让学生拓宽对“鸡兔同笼”问题的认识，让学生进一步体会到这类问题在日常生活中的应用。同时这些问题通过转化，都可以将其归结为已经解决的“鸡兔同笼”问题类型，从而进一步求解，这就是化归。
在计算以及解决问题时，有时就需要把条件进行变更、化归，使原问题变更为一个更容易解决的问题。例如，解决问题，某纺织厂甲、乙两个车间去年共织布520千米，今年共织布680千米，其中甲车间比去年增产48%，乙车间比去年增产20%。今年甲、乙两个车间各织布多少千米？这道题中两个百分率所表示的单位1不同，难以下手进行直接转化。但我们可以将原问题进行非等价变形，使它变成一个比较简单的问题，某纺织厂甲、乙两个车间去年共织布520千米，今年甲、乙两个车间都比去年增产20%。今年共织布多少千米？先解化归后的问题，今年共织布520×（1+20%）=624（千米）。现在将结果与原问题进行比较，发现比原问题中少织布680—624=56（千米）。而这56千米的差是由于甲车间增产的48%变为20%所致，所以甲车间今年的织布数为56÷（48%—20%）×（148%）=296（千米），乙车间今年织布数为680—296=384（千米）。非等价变形指化归前后两个问题并不等价。但是，当解决了化归问题之后，就能为解决问题提供解题线索和程序。解题思路是：假设两个车间多织的百分率相同一找出织布千米数的差与对应百分数的差一求出对应百分数所在单位1的千米数。
尽管化归方法在具体运用过程中有各种形式，但它的目标都指向一个，即使原问题化归为一个容易解决的问题，而化归后的问题解答目标又尽可能接近原问题解答的目标，这就是化归法的本质所在。
基本思想这一层面是数学思想的最高以及最核心的层面。处于下一层次的还有与具体内容紧密结合的具体思想，如：数形结合思想、符号思想、方程思想、代换思想、对应思想（含量量对应、量率对应、数形对应、函数对应）、结构思想、模型思想、极限思想、统计思想、集合思想和数学美（对称与和谐、简单与明快、严谨与统一、奇异与突变）的思想等，以及数学思想之下统领的一些具体的方法。
（作者单位：福建省福州市鼓楼区教师进修学校本专辑责任编辑：辛铭 王彬）