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1 问题提出
一位初中数学教师通过QQ向笔者提出了这样一个问题：
图1如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上.
（1）计算AC2 BC2的值等于 ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2 BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）.
图6问题又来了：因画图工具的限制，如何将线段AF上长为17-617的线段FY“变成以A为端点的线段”成了问题的焦点，假设图形已经作出，如图6，要得到AT的长与FY的长相等，联想到T与Y关于线段AF的中点对称，根据AF与MR在网格中的位置关系，取格点G、P，连接GP交AF于点T，则有AT=FY=1117，问题得以解决.
3.3 思维的优化
3.3.1 图形画法的优化
反思条件、结论及上述思维过程发现：题目只要求画出图形（即只要结果），并未要求体现探究及证明过程，因此，解答时只要取格点G、P，作直线GP交AF、BH于点T、S即可（如图2），图5中的线段MR、CW都不必画出，这比画法二更具有可操作性.
3.3.2 探究思路的优化
画法一只是解决了问题，但从思维上看明显冗繁、复杂，而画法二相对画法一在一定程度上有所优化，但总有美中不足之感，似乎还应有一条绿色通道.进一步反思后发现：问题的条件本来就是以面积形式出现的，思维还是应该紧扣条件，从面积转换的角度出发，或许会收获意外的惊喜.
图7如图7，将条件“以AB为一边、面积为11的矩形”分解为两点：一是“以AB为一边的矩形”，容易想到将AB分别绕点A、B旋转90°（即取图中格点F、H）得到面积为17的正方形ABHF；二是“矩形面积为11”，联想到17-6=11，将正方形ABHF的面积截去一个面积为6的矩形，这个矩形以FH为一边，但要想直接作出这个矩形比较困难，再考虑可否作出与这个矩形等积的其他特殊图形？通过尝试发现：（画法三）取格点G、P，由图容易得到GPHF为平行四边形且面积为6.设直线GP交AF、BH于点T、N，则四边形TNHF为矩形，S矩形TNHF=SHFGP=6，问题迎刃而解. 3.3.3 问题及策略的再优化
再进一步反思发现：我们可以将问题推广到一般化，并得到更具一般性的方法与策略.
原题推广：
如图8，在网格中A、B为格点，画出以AB为一边、面积为有理数的矩形ABCD.
分析 如图8，假设矩形ABCD已经作画出，过点A、B的竖直线与直线CD分别相交于点E、F，关键是画出线段BE，即确定点E的位置.
由画图知：矩形ABCD面积等于ABEF的面积，设过点A的水平线交BE于点H，由于A、B为格点，所以AH的长为整数.又矩形ABCD面积为有理数，BE=SABEFAH，故BE的长为有理数.
图8 图9（1）如果BE的长恰好为整数，则点E、F为格点，即可直接画出直线EF，从而画出矩形ABCD；
（2）如果BE的长为分数，总可以化为整数与一个真分数和的形式，图9中的BG长为整数值.设这个真分数为mn（m
4 教学思考
近年来，网格问题成为及教学的热点之一，不少文章也有专门论述.其实，网格只是提供了问题及研究的背景，其真正的价值在于：通过网格问题的教学，充分展示探究与反思过程，引导学生既关注数学结果，也关注探究过程；既注重探究发现，也重视演绎推理；既学会数学直观，又形成理性精神，并通过反思优化数学思维.
4.1 探究重于演绎推理
本题画法三的证明如下：AC2 BC2=11，AB=17，由图形可知：S△AGP=12-32-2-3=112，因为GP由AB平移而得，AF、BH由AB旋转90°而得，故AF=GP=BH=17，GP∥AB、AF⊥AB，所以GP⊥AF，S△AGP=1217·AT=112，所以AT=1117，S矩形ABNP=17·1117=11.审视本题，如果仅仅从推理的角度证明画法的正确性，则失去了问题的探究价值和教学价值，因为如何探寻到画法是问题的核心与难点.
我国传统的数学教育过分强调问题的分析与解决，《义务教育课程标准·数学》[1]（2011版，以下简称课程标准）将实验稿中课程目标之一的“解决问题”变为“问题解决”，其意义远不是两个词位置的交换，而在于课程理念的变化.试问：如果没有问题的发现与提出，那么又分析什么、解决什么？没有探究到正确的画法，又证明什么？因此，从某种意义上说，探究发现重于演绎推理.
4.2 直观基于理性精神
课程标准提出了“几何直观”的要求，同时把“基本活动经验”作为课程目标之一.笔者认为有三层意思：
第一，探究发现需要直观.史宁中先生认为：“对于数学来说，几乎所有的结果是‘看’出来的，而不是‘证’出来的”[2]，“网格问题”为几何直观提供了有效载体.如本题画法中的“绕点A顺时针旋转AB到AF、绕点B逆时针旋转AB到BH”是图形变换的一种形象描述.从直观上看，通过上述的图形变换得到的点F、H恰好是格点.
第二，眼见未必为实.对于“将AB绕点A顺时针旋转90°到AF、绕点B逆时针旋转90°到BH”，自然会质疑：点F、H恰好是格点吗？很难说明.换一个角度思考：先取图中的格点F、H，连接AF、BH，反过来说明“AF⊥AB、BH⊥AB且AF=BH=AB”则容易多了，这中间就蕴含了逻辑推理.又如：取格点F、H、G、P后为什么有“AF⊥AB、GP∥AB、AF=GP=AB=17”……这些都需要质疑的精神.某种意义上说，对数学的方法、结论的质疑与理性思考是数学精神的具体化，数学精神就是理性精神.本题的“网格”背景为几何直观提供了便利，数学直观为解决本题助了一臂之力，而这种直观却又基于理性精神——数学知识与逻辑推理.
第三，数学直观基于数学知识和经验.如本题中的垂直与平行概念，三角形全等、平行四边形、矩形、正方形的判定，勾股定理、图形面积公式，数形结合思想、转化思想等知识、经验、思想、方法.“如何会‘看出’结果，需要凭借经验、凭借思维方法……”[2]这种活动经验和思维方法，就是对数学结果的预测与估计能力、对图形与数值作出迅速判断的能力、根据代数式（方程、不等式、函数）等的结构特征作出相应的决策能力、对空间图形的想象能力、对运动和变化中的某些元素不变性的洞察能力、透过数学现象洞察数学本质属性的能力、对相近或类似问题类比联想、归类与融合能力.教者只有将探究发现与演绎推理有机结合，在引导学生的探究过程中潜移默化地培养学生的质疑能力、推理能力，让学生的创新智慧在理性精神中完美升华.
4.3 思维源于问题反思
数学教育的核心是思维发展，反思是一种能力、一种习惯，更是一种思维品质.培养数学反思能力，可以提炼思想方法，理清思路脉络，优化思维结构，使数学思维得到真正发展，真正实现数学解题在学习中的价值.
一是反思使画法优化.坦率说，笔者对该问题的探究过程也是一波三折的.开始局限于计算并画出矩形另一边，出现了复杂的二次根式，思路不畅且具有偶然性.回头再来阅读题目条件“以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于11”，换一种思路，从面积变换的角度，直接将正方形ABHF的面积17减去另一个矩形TNHF的面积6，同样得到面积为11的矩形ABNT，根据图形位置发现：面积为6的矩形TNHF又可以转化为等积的GPHF，此时画法便油然而生.
二是反思使思路开阔.本问题中，从画法一到画法三，图形更加直观简洁，画法更加易于操作，思路更加流畅明快，推理更加直接清晰.然而思路是在探索和反思基础上的逐步开阔的，没有画法一、二就难有画法三.因此，引导学生对解题过程与结果进行反思是教学中不可或缺的重要环节.
三是反思使思维升华.反思的过程也是思维不断升华的过程.通过反思，不仅优化了画法、开阔了思路，还形成了解决一类问题的策略，强化了数学思想方法.如本题的解决在潜移默化中强化了数形结合的思想、化归的思想、图形变换的思想. 4.4 结果寓于过程之中
有这样一种现象：课堂上教师讲得酣畅淋漓，学生听得点头称是，可面对新问题还是一筹莫展，重要的原因还是教师的教忽视数学知识的形成过程、问题的探究过程，数学规律、结论是教师按照自己的“精心预设”单向、直线灌输，而不是学生自主探究发现.
数学学习必须追求有过程的结果.课程标准强调：课程内容“不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法.”[1]“数学在其发展过程中，走过漫长而曲折的道路，它不断修正过自己的进程，避开过弯路，绕过死胡同，重新明确前进的方向”[3]，有的数学定理的发现与证明耗费了数学家一辈子的心血，甚至历经几代人的不懈努力，也有的是数学家瞬间的灵感偶得，然而人们很少了解探究过程的曲折与艰辛，因为数学家总是以最简练、逻辑、系统的数学语言（包括文字、图形、符号）呈现给人们，“好像一只狡猾的狐狸，在沙地上一面走，一面用尾巴抹掉走过的足迹”[4].
数学学习当然以间接经验为主，是一个“再发现”的过程.教学中要通过设计适当的情景，将数学家波澜曲折的历史过程“缩短、平坡、精简”，让学生经历“再创造”的过程[5].笔者曾经在九年级复习阶段对综合题解题教学有意识作这样的尝试：上课时丢开预先备好的课，随意从学生手头上的课外辅导书中选择一题即兴讲解（必须声明：这种做法仅仅是笔者的偶尔尝试，绝非为无准备上课找借口），带着学生经历题意的分析、思路的突破、思维的优化、过程的反思等过程.由于笔者没有“事先准备”，和学生是真正意义上的同步思维，一起经历“避开弯路”、“绕过死胡同”，完成“再发现”的曲折过程，学生的思路在师生互动交融中从模糊到清晰、从无序到有序、从繁琐到简洁，充分体验到了思维顿悟的愉悦.或许这个过程有些漫长，但学生在这个过程中品尝到了探索的曲折与艰辛，享受到了获得成功的喜悦，感悟到了数学的思想、方法、策略.
（江苏省江南大学附属实验中学钱云祥老师为本文提供了部分素材.）
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2] 张丹.对话史宁中教授——课标修订的几个问题[J].北京师范大学出版社基础教育教材网，2013.3.5.
[3] 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社.陈昌平，唐瑞芬译1995：3.
[4] 徐献卿，杨世明.数学知识的两种形态与数学教学[J].数学教育学报，2002（5）：71-73.
[5] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京师范大学出版社.2007：45-46.
一位初中数学教师通过QQ向笔者提出了这样一个问题：
图1如图1，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上.
（1）计算AC2 BC2的值等于 ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2 BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）.
图6问题又来了：因画图工具的限制，如何将线段AF上长为17-617的线段FY“变成以A为端点的线段”成了问题的焦点，假设图形已经作出，如图6，要得到AT的长与FY的长相等，联想到T与Y关于线段AF的中点对称，根据AF与MR在网格中的位置关系，取格点G、P，连接GP交AF于点T，则有AT=FY=1117，问题得以解决.
3.3 思维的优化
3.3.1 图形画法的优化
反思条件、结论及上述思维过程发现：题目只要求画出图形（即只要结果），并未要求体现探究及证明过程，因此，解答时只要取格点G、P，作直线GP交AF、BH于点T、S即可（如图2），图5中的线段MR、CW都不必画出，这比画法二更具有可操作性.
3.3.2 探究思路的优化
画法一只是解决了问题，但从思维上看明显冗繁、复杂，而画法二相对画法一在一定程度上有所优化，但总有美中不足之感，似乎还应有一条绿色通道.进一步反思后发现：问题的条件本来就是以面积形式出现的，思维还是应该紧扣条件，从面积转换的角度出发，或许会收获意外的惊喜.
图7如图7，将条件“以AB为一边、面积为11的矩形”分解为两点：一是“以AB为一边的矩形”，容易想到将AB分别绕点A、B旋转90°（即取图中格点F、H）得到面积为17的正方形ABHF；二是“矩形面积为11”，联想到17-6=11，将正方形ABHF的面积截去一个面积为6的矩形，这个矩形以FH为一边，但要想直接作出这个矩形比较困难，再考虑可否作出与这个矩形等积的其他特殊图形？通过尝试发现：（画法三）取格点G、P，由图容易得到GPHF为平行四边形且面积为6.设直线GP交AF、BH于点T、N，则四边形TNHF为矩形，S矩形TNHF=SHFGP=6，问题迎刃而解. 3.3.3 问题及策略的再优化
再进一步反思发现：我们可以将问题推广到一般化，并得到更具一般性的方法与策略.
原题推广：
如图8，在网格中A、B为格点，画出以AB为一边、面积为有理数的矩形ABCD.
分析 如图8，假设矩形ABCD已经作画出，过点A、B的竖直线与直线CD分别相交于点E、F，关键是画出线段BE，即确定点E的位置.
由画图知：矩形ABCD面积等于ABEF的面积，设过点A的水平线交BE于点H，由于A、B为格点，所以AH的长为整数.又矩形ABCD面积为有理数，BE=SABEFAH，故BE的长为有理数.
图8 图9（1）如果BE的长恰好为整数，则点E、F为格点，即可直接画出直线EF，从而画出矩形ABCD；
（2）如果BE的长为分数，总可以化为整数与一个真分数和的形式，图9中的BG长为整数值.设这个真分数为mn（m
4 教学思考
近年来，网格问题成为及教学的热点之一，不少文章也有专门论述.其实，网格只是提供了问题及研究的背景，其真正的价值在于：通过网格问题的教学，充分展示探究与反思过程，引导学生既关注数学结果，也关注探究过程；既注重探究发现，也重视演绎推理；既学会数学直观，又形成理性精神，并通过反思优化数学思维.
4.1 探究重于演绎推理
本题画法三的证明如下：AC2 BC2=11，AB=17，由图形可知：S△AGP=12-32-2-3=112，因为GP由AB平移而得，AF、BH由AB旋转90°而得，故AF=GP=BH=17，GP∥AB、AF⊥AB，所以GP⊥AF，S△AGP=1217·AT=112，所以AT=1117，S矩形ABNP=17·1117=11.审视本题，如果仅仅从推理的角度证明画法的正确性，则失去了问题的探究价值和教学价值，因为如何探寻到画法是问题的核心与难点.
我国传统的数学教育过分强调问题的分析与解决，《义务教育课程标准·数学》[1]（2011版，以下简称课程标准）将实验稿中课程目标之一的“解决问题”变为“问题解决”，其意义远不是两个词位置的交换，而在于课程理念的变化.试问：如果没有问题的发现与提出，那么又分析什么、解决什么？没有探究到正确的画法，又证明什么？因此，从某种意义上说，探究发现重于演绎推理.
4.2 直观基于理性精神
课程标准提出了“几何直观”的要求，同时把“基本活动经验”作为课程目标之一.笔者认为有三层意思：
第一，探究发现需要直观.史宁中先生认为：“对于数学来说，几乎所有的结果是‘看’出来的，而不是‘证’出来的”[2]，“网格问题”为几何直观提供了有效载体.如本题画法中的“绕点A顺时针旋转AB到AF、绕点B逆时针旋转AB到BH”是图形变换的一种形象描述.从直观上看，通过上述的图形变换得到的点F、H恰好是格点.
第二，眼见未必为实.对于“将AB绕点A顺时针旋转90°到AF、绕点B逆时针旋转90°到BH”，自然会质疑：点F、H恰好是格点吗？很难说明.换一个角度思考：先取图中的格点F、H，连接AF、BH，反过来说明“AF⊥AB、BH⊥AB且AF=BH=AB”则容易多了，这中间就蕴含了逻辑推理.又如：取格点F、H、G、P后为什么有“AF⊥AB、GP∥AB、AF=GP=AB=17”……这些都需要质疑的精神.某种意义上说，对数学的方法、结论的质疑与理性思考是数学精神的具体化，数学精神就是理性精神.本题的“网格”背景为几何直观提供了便利，数学直观为解决本题助了一臂之力，而这种直观却又基于理性精神——数学知识与逻辑推理.
第三，数学直观基于数学知识和经验.如本题中的垂直与平行概念，三角形全等、平行四边形、矩形、正方形的判定，勾股定理、图形面积公式，数形结合思想、转化思想等知识、经验、思想、方法.“如何会‘看出’结果，需要凭借经验、凭借思维方法……”[2]这种活动经验和思维方法，就是对数学结果的预测与估计能力、对图形与数值作出迅速判断的能力、根据代数式（方程、不等式、函数）等的结构特征作出相应的决策能力、对空间图形的想象能力、对运动和变化中的某些元素不变性的洞察能力、透过数学现象洞察数学本质属性的能力、对相近或类似问题类比联想、归类与融合能力.教者只有将探究发现与演绎推理有机结合，在引导学生的探究过程中潜移默化地培养学生的质疑能力、推理能力，让学生的创新智慧在理性精神中完美升华.
4.3 思维源于问题反思
数学教育的核心是思维发展，反思是一种能力、一种习惯，更是一种思维品质.培养数学反思能力，可以提炼思想方法，理清思路脉络，优化思维结构，使数学思维得到真正发展，真正实现数学解题在学习中的价值.
一是反思使画法优化.坦率说，笔者对该问题的探究过程也是一波三折的.开始局限于计算并画出矩形另一边，出现了复杂的二次根式，思路不畅且具有偶然性.回头再来阅读题目条件“以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于11”，换一种思路，从面积变换的角度，直接将正方形ABHF的面积17减去另一个矩形TNHF的面积6，同样得到面积为11的矩形ABNT，根据图形位置发现：面积为6的矩形TNHF又可以转化为等积的GPHF，此时画法便油然而生.
二是反思使思路开阔.本问题中，从画法一到画法三，图形更加直观简洁，画法更加易于操作，思路更加流畅明快，推理更加直接清晰.然而思路是在探索和反思基础上的逐步开阔的，没有画法一、二就难有画法三.因此，引导学生对解题过程与结果进行反思是教学中不可或缺的重要环节.
三是反思使思维升华.反思的过程也是思维不断升华的过程.通过反思，不仅优化了画法、开阔了思路，还形成了解决一类问题的策略，强化了数学思想方法.如本题的解决在潜移默化中强化了数形结合的思想、化归的思想、图形变换的思想. 4.4 结果寓于过程之中
有这样一种现象：课堂上教师讲得酣畅淋漓，学生听得点头称是，可面对新问题还是一筹莫展，重要的原因还是教师的教忽视数学知识的形成过程、问题的探究过程，数学规律、结论是教师按照自己的“精心预设”单向、直线灌输，而不是学生自主探究发现.
数学学习必须追求有过程的结果.课程标准强调：课程内容“不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法.”[1]“数学在其发展过程中，走过漫长而曲折的道路，它不断修正过自己的进程，避开过弯路，绕过死胡同，重新明确前进的方向”[3]，有的数学定理的发现与证明耗费了数学家一辈子的心血，甚至历经几代人的不懈努力，也有的是数学家瞬间的灵感偶得，然而人们很少了解探究过程的曲折与艰辛，因为数学家总是以最简练、逻辑、系统的数学语言（包括文字、图形、符号）呈现给人们，“好像一只狡猾的狐狸，在沙地上一面走，一面用尾巴抹掉走过的足迹”[4].
数学学习当然以间接经验为主，是一个“再发现”的过程.教学中要通过设计适当的情景，将数学家波澜曲折的历史过程“缩短、平坡、精简”，让学生经历“再创造”的过程[5].笔者曾经在九年级复习阶段对综合题解题教学有意识作这样的尝试：上课时丢开预先备好的课，随意从学生手头上的课外辅导书中选择一题即兴讲解（必须声明：这种做法仅仅是笔者的偶尔尝试，绝非为无准备上课找借口），带着学生经历题意的分析、思路的突破、思维的优化、过程的反思等过程.由于笔者没有“事先准备”，和学生是真正意义上的同步思维，一起经历“避开弯路”、“绕过死胡同”，完成“再发现”的曲折过程，学生的思路在师生互动交融中从模糊到清晰、从无序到有序、从繁琐到简洁，充分体验到了思维顿悟的愉悦.或许这个过程有些漫长，但学生在这个过程中品尝到了探索的曲折与艰辛，享受到了获得成功的喜悦，感悟到了数学的思想、方法、策略.
（江苏省江南大学附属实验中学钱云祥老师为本文提供了部分素材.）
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.
[2] 张丹.对话史宁中教授——课标修订的几个问题[J].北京师范大学出版社基础教育教材网，2013.3.5.
[3] 弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社.陈昌平，唐瑞芬译1995：3.
[4] 徐献卿，杨世明.数学知识的两种形态与数学教学[J].数学教育学报，2002（5）：71-73.
[5] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学[M].北京师范大学出版社.2007：45-46.