论文部分内容阅读
数学中的转化与化归思想方法，指在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题，最终求得问题的解答的一种手段和方法.转化与化归的思想方法的特点是实现问题的规范化，模式化，以便应用已知的理论，方法和技巧达到问题的解决.在化归思维过程中，我们对原来问题中的条件进行了简化，分化，转化，特殊化的变形，最后将原问题归结为简单的，熟悉的问题而得到解决.下面结合实例介绍转化与化归思想的应用与常用的转化方法.
一、高维与低维的转化与化归
在数学解题中，对立体几何问题（三维）常常需要化归到熟知的平面几何问题（二维），化归的手段主要有平移、旋转、展开、射影和截面等；对于高次方程或不等式常常需要化归到熟知的一次方程或不等式的求解，化归的手段是降次.
例1. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值.
解析：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD？奂平面ABCD，∴PA⊥BD.
又∵PC⊥平面BDE，BD？奂平面BDE，∴PC⊥BD，
而PA？奂平面PAC，PC？奂平面PAC，且PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC.
（2）∵BD⊥平面PAC，AC？奂平面PAC，
∴BD⊥AC，于是矩形ABCD是正方形，
AB=AD=2，AC=BD=2■=2OC=2OB.
由PC⊥平面BDE，BE，OE？奂平面BDE，
∴BE⊥PC，OE⊥PC.
于是∠BEO是二面角B-PC-A的平面角，
又BO⊥平面PAC，OE？奂平面PAC？圯BO⊥OE，
从而tan∠BEO=■.
易知PA⊥AC，在Rt？驻PAC中有：PC=■=3，
在Rt？驻OEC中，OE=OC·sin∠ACP=OC·■=■×■=■，
于是tan∠BEO=■=■=3，从而二面角B-PC-A的平面角的正切值为3.
点评：在立体几何中常将面面垂直转化为线面垂直、线面垂直转化为线线垂直，将空间中的二面角、斜线与平面所成角转化为平面上的角来求解.
变式1.“神舟六号”飞船上使用一种非常精密的滚球轴承，如图所示，该滚球轴承的内外圆的半径分别为1mm、3mm，则这个轴承里最多可放滚珠 个.
解析：如图，设两滚球P，Q相切于点，轴承中心为O，连接OT，设滚球半径为d，内、外圆半径分别为r、R，则R=3，d=r=1.
在Rt？驻OTP中，∠POT=■，OP=2，PT=1，
则有sin■=■=■，得？琢=2×■=■，即在圆心角为■的轨道内， 可放一个滚珠，故圆心角为周角（2π弧度）时可放的滚珠为■=■=6个.
点评：本题考查了球体知识的相切问题，通过作轴截面将空间立体图形问题转化为平面图形问题，利用平面几何的知识得以顺利解决.
二、数与形的相互转化与化归
在数学解题中，一方面，许多数量关系的抽象概念若能赋予几何意义，往往变得直观形象，有利于解题途径的探求；另一方面，一些涉及图形的问题如能化为数量关系的研究，又可以获得简捷而一般的解法.这就是数形结合的相互转化.数与形转换常有三条途径：（1）建系：通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解；（2）转化：通过分析数与式的结构特点，把问题转化到形的角度来考虑，如将■转化为勾股定理或平面上两点间的距离等；（3）构造：通过对数（式）与形特点的分析，联想相关知识构造图形或函数等，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等.
例2. 设函数f（x）=-a ■，g（x）=ax a，若恒有f（x）≤g（x）成立，试求实数a的取值范围.
解析：由题意得f（x）≤g（x）？圳■≤ax 2a，令 y1=■……①
y2=ax 2a ……②
①可化为（x-2）2 y21=4（0≤x≤4，y1≥0），它表示以（2，0）为圆心，2 为半径的上半圆；②表示经过定点（2，0），以a为斜率的直线，要使f（x）≤g（x）恒成立，只需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了（如图所示）. 当直线与半圆相切时就有■=2，即a=±■，由图可知，要使f（x）≤g（x）恒成立，实数a的取值范围是a≥■.
点评：本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果.
变式2.（衡水中学2017届高三上学期一调理科）若实数a，b，c，d满足（b a2-3lna）2 （c-d 2）2=0，则（a-c）2 （b-d）2的最小值为（ ）
A. ■ B. 2 C. 2■ D. 8
解析：因为（b a2-3lna）2 （c-d 2）2=0，所以b=3lna-a2，且d=c 2，设b=y，a=x，则有y=3lnx-x2，由d=c 2，设d=y，c=x，则有y=x 2，所以（a-c）2 （b-d）2表示曲线y=3lnx-x2与直线y=x 2上两点间距离的平方值. 求（a-c）2 （b-d）2的最小值即曲线上一点到直线距离最小值的平方.
对y=3lnx-x2求导，得y′=■-2x，與直线y=x 2平行的切线斜率k=■-2x=1，解得x=1或x=-■（舍去），故切点坐标为（1，-1），则切点到直线y=x 2的距离为L=■=2■，所以L2=8，即（a-c）2 （b-d）2最小值为8. 故选D. 点评：因为所求（a-c）2 （b-d）2有明显的几何意义，所以将条件转化为两曲线上的点的坐标间的关系，从而问题转化为求两曲线上动点间距离的最小值，考察了利用导数研究曲线在某点的切线方程及其应用.
三、一般与特殊的相互转化与化归
在数学解题中，一方面，一般成立，特殊必成立，因此解决一些一般性问题时，赋予某些特殊求解，可以起到事半功倍的作用.另一方面，从特殊可以探索到一般性的规律.这种辩证思想在高中数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.
例3. 設等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn 1、Sn、Sn 2成等差数列，则q= __________.
解析：不妨设n=1，则S2=a1 a1q，S1=a1，S3=a1 a1q a1q2.
∵S2 S3=2S1，∴2a1 2a1q a1q2=2a1（a1≠0），
∴q=-2或q=0（舍去）.
点评：由于该题为填空题，我们可以用特殊情况来求q的值，这样就避免了一般性的复杂运算.
变式3.（河南省2017届高三天一大联考（一））已知函数f（x ■）=■，则f（■） f（■） … f（■）=（ ）
A. 2017 B. 2016 C. 4034 D. 4032
解析：先化简f（x ■） = ■，得到f（x ■） =■=2 ■，注意到g（x）=■为奇函数，故f（x ■）关于（0，2）对称，函数f（x）图像关于点（■，2）成中心对称图形，对称的两点的纵坐标和为4，即f（x） f（1-x）=4.
所以f（■） f（■） … f（■）
=[f（■） f（■）] [f（■） f（■）] … [f（■） f（■）]
=4×■=4032，
故选D.
点评：本题从所求式子中自变量的特点：■ ■=■ ■=…=■ ■=1，容易联想到倒序相加法，从而寻求一般性结论即f（x）与f（1-x）的关系. 即将特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果.
四、正与反的相互转化与化归
一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，运用补集思想，迂回地得到解题思路，从而使正面得以解决.如含有“至多”“至少”及否定性命题、对立事件的概率、间接法求解排列组合问题等，举不胜举. “正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题和生活中的问题获得巧解.
例4. 若对于任意t∈[1，2]，函数f（x）=x3 （■ 2）x2-2x在区间（t，3）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是__________.
解析：f′（x）=3x2 （m 4）x-2，若f（x）在区间（t，3）上总为单调函数，则①f′（x）≥0在（t，3）上恒成立，或②f′（x）≤0在（t，3）在上恒成立.
由①得3x2 （m 4）x-2≥0，即m 4≥■-3x在x∈（t，3）上恒成立，
所以m 4≥■-3t恒成立，则m 4≥-1，即m≥-5.
由②得m 4≤■-3x在x∈（t，3）上恒成立，所以m 4≤■-9恒成立，则m≥-■.
所以，函数f（x）在区间（t，3）上总不为单调函数的的取值范围为（-■，-5）.
点评：否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可.
变式4. 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个.
解析：所有四位数有A15 ·A35=300个，末位为0时有A35=60个，末位为5时有个A14 ·A24=48个，
∴满足题意的数共有300-60-48=192个.
点评：不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑.注意到不能被5整除实质上是末位数字不是0，也不是5.用间接法.一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单.
五、整体与部分的相互转化与化归
在一个数学问题中，整体和部分不可分割.整体是由部分构成，离开了部分，整体就不复存在.一方面将问题的局部分析清楚后，再整合成一个整体；另一方面也可以将问题放在一个更大范围内研究，当成它的局部，将大问题研究清楚了，原问题也就得到解决.如分类与讨论问题、分段函数问题、立体几何中的分割与补体等.
例5.（河北石家庄二中2017届高三联考试题节选） 设f（x）=ax2 2ax-ln（x 1），若f（x） e-a>■在区间（0， ∞）内恒成立（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围.
解析：令g（x）=■-■，则g（x）=■>0（易证）.
当a≤0，x>0时，f（x）=a（x2 2x）-ln（x 1）<0.
故当f（x）>g（x）在区间（0， ∞）内恒成立时，必有a>0.
当00. 由（1）可知函数f（x）在（0，-1 ■）上单调递减，即x∈（0，-1 ■）时，f（x） 当a≥■时，令h（x）=f（x）-g（x），x>0，则h′（x）=2ax 2a-■ ■-■≥2ax 2a-■-■=■≥■>0.
所以h（x）在x>0时单调递增，所以h（x）>h（0）=0恒成立，即f（x）>g（x）恒成立，满足题意。 综上所述，实数a的取值范围为[■， ∞）.
点评：先将问题分类为三种不同情况下的局部讨论，最后再回到整体，得到整体结论.将一个大问题转化成三个小问题并加以解决，体现了整体与局部的转化.
变式5. 已知三棱锥A-BCD的四个点均在球心为O的球面上，且AB=CD=BC=DA=■，AC=BD=2■，则球O的表面积为（ ）
A. 6？仔 B. 8？仔 C. 9？仔 D. 12？仔
解析：因为三棱锥的对棱相等，所以可将三棱锥补成一个长方体，则其外接球的直径等于长方体的体对角线长.设长方体的长宽高分别为x，y，z，外接球的半径为R，
則■=2■，■=■，■=■，解得x2 y2 z2=9，
所以4R2=x2 y2 z2=9，从而S球=4？仔R2=9？仔，故选C.
点评：本题把四面体相等的对棱看作是长方体的面对角线，将四面体补成长方体，巧妙地借助长方体确定其外接球，从整体上求出直径的平方，利用整体与部分的关系，充分体现补体的作用.
六、函数、方程与不等式的相互转化与化归
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”， 在函数中可将变量取不同的值，使它变成一元方程或不等式来计算；一元方程又可以作为函数值等于零的特殊情况，不等式则是函数值大于或小于零时的情况. 解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值（值域）问题，而函数的零点等问题或方程的实根问题可借助数形结合的办法列出相应的不等式（组），从而求出参变量的范围.
例6.（2016年湖北八校联考文科节选）已知函数f（x）=2x-lnx-4，若存在区间[m，x]？哿[■， ∞），使f（x）在[m，x]上的值域是[■，■]，求k的取值范围.
解析：由f（x）=2x-lnx-4，f′（x）=2-■=■，当x≥■时，f′（x）≥0，f（x）在（■， ∞）上为增函数，而[m，n]？哿[■， ∞），∴f（x）在[m，n]上为增函数，结合f（x）在[m，n]上的值域是[■，■]知：f（m）=■，f（n）=■，其中■≤m 记？渍（x）=2x2-2x-（x 1）lnx-4，x∈[■， ∞），则？渍′（x）=4x-■-lnx-3，
记F（x）=？渍′（x）=4x-■-lnx-3，则F′（x）=■=■>0，
∴F（x）在[■， ∞）上为增函数，即？渍′（x）在[■， ∞）上为增函数，
而？渍′（1）=0，∴当x∈（■，1）时，？渍′（x）<0，当x∈（1， ∞）时，？渍′（x）>0，
∴？渍（x）在（■，1）上为减函数，在（1， ∞）上为增函数，
而？渍（■）=■，？渍（1）=-4，当x→ ∞时，？渍（x）→ ∞，故结合图像得：？渍（1） 点评：本题中将f（x）在[m，n]上的值域是[■，■]转化为m，n是方程f（x）=■在[■， ∞）上的两个不同的实数根，一方面将减少了变量个数（将含m，n，x，k的问题转化为只含x，k的问题），同时先将函数f（x）=2x-lnx-4的值域问题转化为方程f（x）=■的解的问题，然后通过等价变形成为方程k=2x2-2x-（x 1）lnx-4有两解，进而转化为函数y = k与函数 ？渍（ x ） =2x2-2x-（x 1）lnx-4图像交点个数问题，最后通过数形结合加以解决，整个过程不断将问题转化化归简单的、熟悉的问题.
变式6. 若函数f（x）=x-■sin2x asinx在（-∞， ∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）
（A）[-1，1] （B）[-1，■] （C）[-■，■] （D）[-1，-■]
解析： 解法1：用特殊值法：取a=-1，f（x）=x-■sin2x-sinx，f′（x）=1-■cos2x-cosx，但f′（0）=1-■-1=-■<0，不具备在（-∞， ∞）单调递增，排除A，B，D，故选C.
解法2：f′（x）=1-■cos2x acosx=-■cos2x acosx ■，根据题意，f′（x）≥0恒成立，因为f′（x）是偶函数，从而f′（x）=0两根一定是互为相反数，即可知a的值也关于原点对称，排除B，D，当a=-1时，f′（0）=1-■-1=-■<0，说明函数f（x）不是恒单调递增的，排除A，故选C.
解法3：由题意，得f′（x）=-■cos2x acosx ■≥0恒成立，又因为cosx≤1，设t=cosx，则-■t2 at ■≥0在t∈[-1，1]上恒成立. 设g（t）=-■t2 at ■，
则作出函数g（t）=-■t2 at ■在t∈[-1，1]的图像可知：
g（t）=-■t2 at ■≥0？圳g（1）≥0，g（-1）≥0？圳-■ a ■≥0，-■-a ■≥0，
解得-■≤a≤■，故选C.
点评：解法1是特殊值法，体现了特殊与一般的转化思想；解法2是先将函数单调性问题转化为不等式恒成立问题，再用特殊值法，是函数与不等式的转化及特殊与一般的转化.解法3是先将函数单调性问题转化为不等式恒成立问题，再用函数图像特征等价转化为不等式组，体现了函数与不等式的转化思想及数形结合思想.
七、多元与二元、一元的转化与化归
当问题中含有多个变量时处理起来会很麻烦，解决的思路是将问题转化为二元问题或一元问题.因此如何减少变量的个数就成为解题的关键.常用的减元方法有：换元法，固定变量法. 例7. 已知△ABC的三边长a，b，c，满足b c≤2a，a c≤2b，求■的取值范围.
解析：由题可得a0，b>0，c>0，令x=■，y=■，
则原问题可转化为：已知10，y>0，求x的范围.
作出可行域，易得■ 点评：本题中有三个变量，通过换元转化成二元变量问题，利用线性规划思路顺利解决问题.体现了减元的思想.本题还可以c将看成常数，a，b看成变量，也可以转化为二元问题作出可行域后，将■看成斜率的几何意义来解.本题还要注意隐含条件：三角形中任意两边之和大于第三边，以及三边都是正数.
变式7.（广州市2017届高三模拟考试题节选）已知函数f（x）=xlnx，若a，b∈R ，试比较■与f（■）的大小，并予以证明.
解析：当a，b∈R 时，■≥f（■）等价于■≥■ln■，也等价于■ln■-（1 ■）ln（1 ■） ln2≥0. 不妨设a≥b，设g（x）=xln（2x）-（1 x）ln（1 x） ln2（x∈[1， ∞））， 则g′（x）=ln（2x）-ln（1 x）. 当x∈[1， ∞）时，g′（x）≥0，
所以函数g（x）在[1， ∞）上为增函数，即g（x）=xln（2x）-（1 x）ln（1 x） ln2≥g（1）=0，
故当x∈[1， ∞）时，g（x）=xln2x-（1 x）ln（1 x） ln2≥0（当且仅当x=1时取等号）.
令x=■≥1，则g（■）≥0，即■ln■-（1 ■）ln（1 ■） ln2≥0（当且仅当a=b时取等号），综上所述，当a，b∈R 时，■≥f（■）（当且仅当a=b时取等号）.
点评：本题首先通过换元将两个变量a，b减元成一个变量x，从而将原不等式轉化为一元不等式问题，再构造一个一元函数g（x），利用导数求其最小值，使问题顺利得证. 其过程不仅体现了多元与一元的转化与化归，也有不等式与函数的转化与化归.
总之，转化与化归是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题.历年高考，转化与化归的数学思想无处不见，因此我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧.
责任编辑 徐国坚
一、高维与低维的转化与化归
在数学解题中，对立体几何问题（三维）常常需要化归到熟知的平面几何问题（二维），化归的手段主要有平移、旋转、展开、射影和截面等；对于高次方程或不等式常常需要化归到熟知的一次方程或不等式的求解，化归的手段是降次.
例1. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.
（1）证明：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值.
解析：（1）∵PA⊥平面ABCD，BD？奂平面ABCD，∴PA⊥BD.
又∵PC⊥平面BDE，BD？奂平面BDE，∴PC⊥BD，
而PA？奂平面PAC，PC？奂平面PAC，且PA∩PC=P，
∴BD⊥平面PAC.
（2）∵BD⊥平面PAC，AC？奂平面PAC，
∴BD⊥AC，于是矩形ABCD是正方形，
AB=AD=2，AC=BD=2■=2OC=2OB.
由PC⊥平面BDE，BE，OE？奂平面BDE，
∴BE⊥PC，OE⊥PC.
于是∠BEO是二面角B-PC-A的平面角，
又BO⊥平面PAC，OE？奂平面PAC？圯BO⊥OE，
从而tan∠BEO=■.
易知PA⊥AC，在Rt？驻PAC中有：PC=■=3，
在Rt？驻OEC中，OE=OC·sin∠ACP=OC·■=■×■=■，
于是tan∠BEO=■=■=3，从而二面角B-PC-A的平面角的正切值为3.
点评：在立体几何中常将面面垂直转化为线面垂直、线面垂直转化为线线垂直，将空间中的二面角、斜线与平面所成角转化为平面上的角来求解.
变式1.“神舟六号”飞船上使用一种非常精密的滚球轴承，如图所示，该滚球轴承的内外圆的半径分别为1mm、3mm，则这个轴承里最多可放滚珠 个.
解析：如图，设两滚球P，Q相切于点，轴承中心为O，连接OT，设滚球半径为d，内、外圆半径分别为r、R，则R=3，d=r=1.
在Rt？驻OTP中，∠POT=■，OP=2，PT=1，
则有sin■=■=■，得？琢=2×■=■，即在圆心角为■的轨道内， 可放一个滚珠，故圆心角为周角（2π弧度）时可放的滚珠为■=■=6个.
点评：本题考查了球体知识的相切问题，通过作轴截面将空间立体图形问题转化为平面图形问题，利用平面几何的知识得以顺利解决.
二、数与形的相互转化与化归
在数学解题中，一方面，许多数量关系的抽象概念若能赋予几何意义，往往变得直观形象，有利于解题途径的探求；另一方面，一些涉及图形的问题如能化为数量关系的研究，又可以获得简捷而一般的解法.这就是数形结合的相互转化.数与形转换常有三条途径：（1）建系：通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解；（2）转化：通过分析数与式的结构特点，把问题转化到形的角度来考虑，如将■转化为勾股定理或平面上两点间的距离等；（3）构造：通过对数（式）与形特点的分析，联想相关知识构造图形或函数等，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等.
例2. 设函数f（x）=-a ■，g（x）=ax a，若恒有f（x）≤g（x）成立，试求实数a的取值范围.
解析：由题意得f（x）≤g（x）？圳■≤ax 2a，令 y1=■……①
y2=ax 2a ……②
①可化为（x-2）2 y21=4（0≤x≤4，y1≥0），它表示以（2，0）为圆心，2 为半径的上半圆；②表示经过定点（2，0），以a为斜率的直线，要使f（x）≤g（x）恒成立，只需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了（如图所示）. 当直线与半圆相切时就有■=2，即a=±■，由图可知，要使f（x）≤g（x）恒成立，实数a的取值范围是a≥■.
点评：本题通过对已知不等式变形处理后，挖掘不等式两边式子的几何意义，通过构造函数，运用数形结合的思想来求参数的取值范围，不仅能使问题变得直观，同时也起到了化繁为简的效果.
变式2.（衡水中学2017届高三上学期一调理科）若实数a，b，c，d满足（b a2-3lna）2 （c-d 2）2=0，则（a-c）2 （b-d）2的最小值为（ ）
A. ■ B. 2 C. 2■ D. 8
解析：因为（b a2-3lna）2 （c-d 2）2=0，所以b=3lna-a2，且d=c 2，设b=y，a=x，则有y=3lnx-x2，由d=c 2，设d=y，c=x，则有y=x 2，所以（a-c）2 （b-d）2表示曲线y=3lnx-x2与直线y=x 2上两点间距离的平方值. 求（a-c）2 （b-d）2的最小值即曲线上一点到直线距离最小值的平方.
对y=3lnx-x2求导，得y′=■-2x，與直线y=x 2平行的切线斜率k=■-2x=1，解得x=1或x=-■（舍去），故切点坐标为（1，-1），则切点到直线y=x 2的距离为L=■=2■，所以L2=8，即（a-c）2 （b-d）2最小值为8. 故选D. 点评：因为所求（a-c）2 （b-d）2有明显的几何意义，所以将条件转化为两曲线上的点的坐标间的关系，从而问题转化为求两曲线上动点间距离的最小值，考察了利用导数研究曲线在某点的切线方程及其应用.
三、一般与特殊的相互转化与化归
在数学解题中，一方面，一般成立，特殊必成立，因此解决一些一般性问题时，赋予某些特殊求解，可以起到事半功倍的作用.另一方面，从特殊可以探索到一般性的规律.这种辩证思想在高中数学中普遍存在，经常运用，这也是化归思想的体现.一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.
例3. 設等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn 1、Sn、Sn 2成等差数列，则q= __________.
解析：不妨设n=1，则S2=a1 a1q，S1=a1，S3=a1 a1q a1q2.
∵S2 S3=2S1，∴2a1 2a1q a1q2=2a1（a1≠0），
∴q=-2或q=0（舍去）.
点评：由于该题为填空题，我们可以用特殊情况来求q的值，这样就避免了一般性的复杂运算.
变式3.（河南省2017届高三天一大联考（一））已知函数f（x ■）=■，则f（■） f（■） … f（■）=（ ）
A. 2017 B. 2016 C. 4034 D. 4032
解析：先化简f（x ■） = ■，得到f（x ■） =■=2 ■，注意到g（x）=■为奇函数，故f（x ■）关于（0，2）对称，函数f（x）图像关于点（■，2）成中心对称图形，对称的两点的纵坐标和为4，即f（x） f（1-x）=4.
所以f（■） f（■） … f（■）
=[f（■） f（■）] [f（■） f（■）] … [f（■） f（■）]
=4×■=4032，
故选D.
点评：本题从所求式子中自变量的特点：■ ■=■ ■=…=■ ■=1，容易联想到倒序相加法，从而寻求一般性结论即f（x）与f（1-x）的关系. 即将特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果.
四、正与反的相互转化与化归
一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，运用补集思想，迂回地得到解题思路，从而使正面得以解决.如含有“至多”“至少”及否定性命题、对立事件的概率、间接法求解排列组合问题等，举不胜举. “正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题和生活中的问题获得巧解.
例4. 若对于任意t∈[1，2]，函数f（x）=x3 （■ 2）x2-2x在区间（t，3）上总不为单调函数，则实数m的取值范围是__________.
解析：f′（x）=3x2 （m 4）x-2，若f（x）在区间（t，3）上总为单调函数，则①f′（x）≥0在（t，3）上恒成立，或②f′（x）≤0在（t，3）在上恒成立.
由①得3x2 （m 4）x-2≥0，即m 4≥■-3x在x∈（t，3）上恒成立，
所以m 4≥■-3t恒成立，则m 4≥-1，即m≥-5.
由②得m 4≤■-3x在x∈（t，3）上恒成立，所以m 4≤■-9恒成立，则m≥-■.
所以，函数f（x）在区间（t，3）上总不为单调函数的的取值范围为（-■，-5）.
点评：否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可.
变式4. 在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有________个.
解析：所有四位数有A15 ·A35=300个，末位为0时有A35=60个，末位为5时有个A14 ·A24=48个，
∴满足题意的数共有300-60-48=192个.
点评：不能被5整除的数要分类讨论，情况较多，这时我们不妨换一个角度，从反面入手考虑.注意到不能被5整除实质上是末位数字不是0，也不是5.用间接法.一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单.
五、整体与部分的相互转化与化归
在一个数学问题中，整体和部分不可分割.整体是由部分构成，离开了部分，整体就不复存在.一方面将问题的局部分析清楚后，再整合成一个整体；另一方面也可以将问题放在一个更大范围内研究，当成它的局部，将大问题研究清楚了，原问题也就得到解决.如分类与讨论问题、分段函数问题、立体几何中的分割与补体等.
例5.（河北石家庄二中2017届高三联考试题节选） 设f（x）=ax2 2ax-ln（x 1），若f（x） e-a>■在区间（0， ∞）内恒成立（e为自然对数的底数），求实数a的取值范围.
解析：令g（x）=■-■，则g（x）=■>0（易证）.
当a≤0，x>0时，f（x）=a（x2 2x）-ln（x 1）<0.
故当f（x）>g（x）在区间（0， ∞）内恒成立时，必有a>0.
当0
所以h（x）在x>0时单调递增，所以h（x）>h（0）=0恒成立，即f（x）>g（x）恒成立，满足题意。 综上所述，实数a的取值范围为[■， ∞）.
点评：先将问题分类为三种不同情况下的局部讨论，最后再回到整体，得到整体结论.将一个大问题转化成三个小问题并加以解决，体现了整体与局部的转化.
变式5. 已知三棱锥A-BCD的四个点均在球心为O的球面上，且AB=CD=BC=DA=■，AC=BD=2■，则球O的表面积为（ ）
A. 6？仔 B. 8？仔 C. 9？仔 D. 12？仔
解析：因为三棱锥的对棱相等，所以可将三棱锥补成一个长方体，则其外接球的直径等于长方体的体对角线长.设长方体的长宽高分别为x，y，z，外接球的半径为R，
則■=2■，■=■，■=■，解得x2 y2 z2=9，
所以4R2=x2 y2 z2=9，从而S球=4？仔R2=9？仔，故选C.
点评：本题把四面体相等的对棱看作是长方体的面对角线，将四面体补成长方体，巧妙地借助长方体确定其外接球，从整体上求出直径的平方，利用整体与部分的关系，充分体现补体的作用.
六、函数、方程与不等式的相互转化与化归
函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”， 在函数中可将变量取不同的值，使它变成一元方程或不等式来计算；一元方程又可以作为函数值等于零的特殊情况，不等式则是函数值大于或小于零时的情况. 解决方程、不等式的问题需要函数的帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等关系转化为最值（值域）问题，而函数的零点等问题或方程的实根问题可借助数形结合的办法列出相应的不等式（组），从而求出参变量的范围.
例6.（2016年湖北八校联考文科节选）已知函数f（x）=2x-lnx-4，若存在区间[m，x]？哿[■， ∞），使f（x）在[m，x]上的值域是[■，■]，求k的取值范围.
解析：由f（x）=2x-lnx-4，f′（x）=2-■=■，当x≥■时，f′（x）≥0，f（x）在（■， ∞）上为增函数，而[m，n]？哿[■， ∞），∴f（x）在[m，n]上为增函数，结合f（x）在[m，n]上的值域是[■，■]知：f（m）=■，f（n）=■，其中■≤m
记F（x）=？渍′（x）=4x-■-lnx-3，则F′（x）=■=■>0，
∴F（x）在[■， ∞）上为增函数，即？渍′（x）在[■， ∞）上为增函数，
而？渍′（1）=0，∴当x∈（■，1）时，？渍′（x）<0，当x∈（1， ∞）时，？渍′（x）>0，
∴？渍（x）在（■，1）上为减函数，在（1， ∞）上为增函数，
而？渍（■）=■，？渍（1）=-4，当x→ ∞时，？渍（x）→ ∞，故结合图像得：？渍（1）
变式6. 若函数f（x）=x-■sin2x asinx在（-∞， ∞）单调递增，则a的取值范围是（ ）
（A）[-1，1] （B）[-1，■] （C）[-■，■] （D）[-1，-■]
解析： 解法1：用特殊值法：取a=-1，f（x）=x-■sin2x-sinx，f′（x）=1-■cos2x-cosx，但f′（0）=1-■-1=-■<0，不具备在（-∞， ∞）单调递增，排除A，B，D，故选C.
解法2：f′（x）=1-■cos2x acosx=-■cos2x acosx ■，根据题意，f′（x）≥0恒成立，因为f′（x）是偶函数，从而f′（x）=0两根一定是互为相反数，即可知a的值也关于原点对称，排除B，D，当a=-1时，f′（0）=1-■-1=-■<0，说明函数f（x）不是恒单调递增的，排除A，故选C.
解法3：由题意，得f′（x）=-■cos2x acosx ■≥0恒成立，又因为cosx≤1，设t=cosx，则-■t2 at ■≥0在t∈[-1，1]上恒成立. 设g（t）=-■t2 at ■，
则作出函数g（t）=-■t2 at ■在t∈[-1，1]的图像可知：
g（t）=-■t2 at ■≥0？圳g（1）≥0，g（-1）≥0？圳-■ a ■≥0，-■-a ■≥0，
解得-■≤a≤■，故选C.
点评：解法1是特殊值法，体现了特殊与一般的转化思想；解法2是先将函数单调性问题转化为不等式恒成立问题，再用特殊值法，是函数与不等式的转化及特殊与一般的转化.解法3是先将函数单调性问题转化为不等式恒成立问题，再用函数图像特征等价转化为不等式组，体现了函数与不等式的转化思想及数形结合思想.
七、多元与二元、一元的转化与化归
当问题中含有多个变量时处理起来会很麻烦，解决的思路是将问题转化为二元问题或一元问题.因此如何减少变量的个数就成为解题的关键.常用的减元方法有：换元法，固定变量法. 例7. 已知△ABC的三边长a，b，c，满足b c≤2a，a c≤2b，求■的取值范围.
解析：由题可得a0，b>0，c>0，令x=■，y=■，
则原问题可转化为：已知1
作出可行域，易得■
变式7.（广州市2017届高三模拟考试题节选）已知函数f（x）=xlnx，若a，b∈R ，试比较■与f（■）的大小，并予以证明.
解析：当a，b∈R 时，■≥f（■）等价于■≥■ln■，也等价于■ln■-（1 ■）ln（1 ■） ln2≥0. 不妨设a≥b，设g（x）=xln（2x）-（1 x）ln（1 x） ln2（x∈[1， ∞））， 则g′（x）=ln（2x）-ln（1 x）. 当x∈[1， ∞）时，g′（x）≥0，
所以函数g（x）在[1， ∞）上为增函数，即g（x）=xln（2x）-（1 x）ln（1 x） ln2≥g（1）=0，
故当x∈[1， ∞）时，g（x）=xln2x-（1 x）ln（1 x） ln2≥0（当且仅当x=1时取等号）.
令x=■≥1，则g（■）≥0，即■ln■-（1 ■）ln（1 ■） ln2≥0（当且仅当a=b时取等号），综上所述，当a，b∈R 时，■≥f（■）（当且仅当a=b时取等号）.
点评：本题首先通过换元将两个变量a，b减元成一个变量x，从而将原不等式轉化为一元不等式问题，再构造一个一元函数g（x），利用导数求其最小值，使问题顺利得证. 其过程不仅体现了多元与一元的转化与化归，也有不等式与函数的转化与化归.
总之，转化与化归是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题.历年高考，转化与化归的数学思想无处不见，因此我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧.
责任编辑 徐国坚