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摘要：本文借助史宁中教授的课程难度量化分析模型N=αG/T （1-α）S/T（注：N表示课程难度， G表示课程广度，S表示课程深度，T表示课程实施时间），对我国2011年颁布的《义务教育数学课程标准》（以下简称“《标准》”）与2000年《全日制九年义务教育初中数学教学大纲（试用修订版）》（以下简称“《大纲》”）中“相似三角形”的内容难度进行对比分析，以此考察初中几何课程、教学内容的发展变化，希望对我国初中几何基础教育课程改革提供一些启示。
关键词：课程难度；课程深度；课程广度；相似三角形；教学指导
文章编号：1674-120X（2016）05-0025-02收稿日期：2015-12-09
基金项目：2015年度广东大学生科技创新培育专项资金项目“基于课程难度定量分析模型下的初中几何课程难度研究”（201410578047）。
作者简介：陈剑涛（1995—），男，广东揭阳人，韩山师范学院数学与统计学院数学与应用数学专业学生。
一、背景
对于初中生尚未发展成熟的思维观念来说，初中几何是比较容易接受的教学体系，同时也能发展学生在思维和逻辑上的能力。其中，关于“相似三角形”这一内容，从新课程改革前就一直是中学数学的重要内容，不仅借用了前面学习的全等三角形的相关思路，也为接下来解答某一些特殊几何图形的线段、面积等之间的关系提供了思路和方法。
二、难度量化比较
1课程广度
对比《大纲》，《标准》中相似三角形删除了“相似比”的内容。通过查阅得出《标准》和《大纲》的知识点数可得出相应的广度系数，取《标准》综合的课程广度系数G1=3，取《大纲》综合的课程广度系数为G2=4。
2课程深度
对比《大纲》，《标准》中相似三角形有所降低，具体如下：①对于相似三角形的概念，从理解降低为了解；②对于相似三角形的判定定理、性质定理，从灵活运用，理解均降低为了解。综合深度赋值表，取《标准》的课程深度S1=3，《大纲》的课程深度S2=9。
3课程时间
分析《标准》《大纲》中相似三角形知识点的课程实施时间得知，两者基本相同。查阅两者中相似三角形的课程内容完成的所需时间可知，取《标准》的课程实施时间T1=7，《大纲》的课程实施时间T2=9。
4难度比较
基于前面三个方面得出的数据，代入课程难度模型N=αG/T （1-α）S/T，可以得到《标准》《大纲》的课程难度分别为N1=043，N2=067（取α=06），显然，在这个模型下，“相似三角形”《标准》比《大纲》的课程难度降低了024。
三、教学启发
通过分析上述数据，可以发现，《标准》和《大纲》中相似三角形的课程广度、课程实施时间基本一致，但总体的难度降低。显然影响该知识点难度变化的主要因素是课程深度。下面将具体分析课程广度、课程深度、课程实施时间、课程难度四方面对教师实际教学过程的启发和指导。
1课程广度变化对教学实践的指导
基于上述分析可知，相对比《大纲》，《标准》中对相似三角形的内容减少了一个“相似比”的内容。《标准》中只要求学生知道“相似多边形对应边的比称为相似比”这一定义即可。当今的时代在不断发展，教学内容也要不断考虑学生可持续发展的需求。因此教师在具体实践教学中，要注意严格按照《标准》的教学要求，不要顺着《大纲》的老思路继续讲解已经删除的知识点，更不要讲怪题、难题，从而影响学生对初中几何的思维。应当把时间用在“相似三角形”所要求的知识点上。
如《大纲》中课本有一道例题：证明重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的23。
要证明重心定理，不仅要让学生能够找出在三角形内部的三角形之间的相似关系，并灵活运用相似三角形的性质定理，还要通过线段关系证出相似比。这与《标准》的广度和深度要求均不一致，不应继续进行讲解。
2课程深度变化对教学实践的指导
基于以上对“相似三角形”课程深度变化分析可知，《标准》中保留下来的“相似三角形的判定定理”和“相似三角形的性质定理”的赋值比《大纲》深度降低，只要求学生理解即可。《标准》中是结合以前所学习的“三线八角”中和全等三角形中的相关定理对判定定理进行相关证明，学生在之前学习中就已经有了深刻的认识，因此对此“相似三角形”内容都能快速掌握，不必再多加一些综合题型进行思考。所以教师在教学的过程中应当针对之前所学习的相关知识和保留下来的知识点，在课堂上让学生动手、动口、动脑，加深学生对知识点的理解并快速掌握，从而培养学生对三角形以及其他几何图形的敏感度和相关的几何发散思维能力。
同时，教师应当积极引导学生运用学过的知识，看到题目，会想到什么样的知识点，应该运用什么定理，从而培养学生对几何图形的惯性思维和空间发散思维，符合学生的可持续发展。
3课程实施时间变化对教学实践的指导
《标准》和《大纲》中相似三角形的课程实施时间只相差了两个课时，但由于课程广度与课程深度的减小，使得教师有足够的时间去讲解和分析所留下的知识点，不要浪费时间去讲解已被删除的知识点。相似三角形方面注重图形的空间想象能力和实际生活中的问题，如测量河宽、楼层高度等实际问题。这些知识都是直接运用相似三角形的相关定理，难度中等偏下，学生理解起来不会特别困难。同时启发教师要认真分析教学内容和目标，结合以前学过的相关几何定理和类比全等三角形的相关定理，来思考整个教学的流程应当如何实施。
4课程难度变化对教师教学实践的指导
基于以上的探究，课程广度、课程深度、课程实施时间的变化，其实反映的是课程难度的变化。本文中，《标准》对比《大纲》，“相似三角形”课程难度降低。根据上述分析，删除了一个对现在不实际的知识点，减少了课程广度，也降低了对两个知识点的理解程度，从而大大减少了课程深度，而课程实施时间基本不变，最终使得课程难度降低了。这对于新时代的教师来说，是一种新的体验和新的起点，同时也面临着一种挑战。如在课程时间方面，要正确地理解新课标的理念，贯穿新课标的思想。在面对不同程度的学生时因材施教，并在规定时间里让学生理解知识点，同时要能激发学生主动学习的兴趣，从而逐步培养现代社会学生对数学的思考和逻辑思维。在课程广度方面，新课程要求在教学过程中更加注重数学思维、思想、方法的结合，不再讲一些《大纲》老思想的题目，要时刻结合《标准》的规定，并联系以前学习过的知识点，使得课本知识的逻辑性、连贯性得以保障。在课程深度方面，教师要注意知识点对学生掌握的要求和不同程度的学生对知识点理解的不同，从而因材施教。如对相似三角形判定定理和性质定理，都可联系以前学习过的全等三角形的判定定理和性质定理，并结合一开始所学习的有关基础几何的思想，将其运用到相似三角形中，从而使学生掌握知识点的来源，并理解知识点之间的关系，培养对几何思维的敏感度。
初中几何是初中数学中的重要内容，也是培养学生几何思维能力的一个重要部分。随着新课程的不断推广和深入，教师要不断地关注知识点难度的变化，这也是课程难度的变化的意义——在知识点难度有所变化时，教师要适应这种变化，让学生能够真正地掌握该知识点，从而完成课程所要求的内容。
关键词：课程难度；课程深度；课程广度；相似三角形；教学指导
文章编号：1674-120X（2016）05-0025-02收稿日期：2015-12-09
基金项目：2015年度广东大学生科技创新培育专项资金项目“基于课程难度定量分析模型下的初中几何课程难度研究”（201410578047）。
作者简介：陈剑涛（1995—），男，广东揭阳人，韩山师范学院数学与统计学院数学与应用数学专业学生。
一、背景
对于初中生尚未发展成熟的思维观念来说，初中几何是比较容易接受的教学体系，同时也能发展学生在思维和逻辑上的能力。其中，关于“相似三角形”这一内容，从新课程改革前就一直是中学数学的重要内容，不仅借用了前面学习的全等三角形的相关思路，也为接下来解答某一些特殊几何图形的线段、面积等之间的关系提供了思路和方法。
二、难度量化比较
1课程广度
对比《大纲》，《标准》中相似三角形删除了“相似比”的内容。通过查阅得出《标准》和《大纲》的知识点数可得出相应的广度系数，取《标准》综合的课程广度系数G1=3，取《大纲》综合的课程广度系数为G2=4。
2课程深度
对比《大纲》，《标准》中相似三角形有所降低，具体如下：①对于相似三角形的概念，从理解降低为了解；②对于相似三角形的判定定理、性质定理，从灵活运用，理解均降低为了解。综合深度赋值表，取《标准》的课程深度S1=3，《大纲》的课程深度S2=9。
3课程时间
分析《标准》《大纲》中相似三角形知识点的课程实施时间得知，两者基本相同。查阅两者中相似三角形的课程内容完成的所需时间可知，取《标准》的课程实施时间T1=7，《大纲》的课程实施时间T2=9。
4难度比较
基于前面三个方面得出的数据，代入课程难度模型N=αG/T （1-α）S/T，可以得到《标准》《大纲》的课程难度分别为N1=043，N2=067（取α=06），显然，在这个模型下，“相似三角形”《标准》比《大纲》的课程难度降低了024。
三、教学启发
通过分析上述数据，可以发现，《标准》和《大纲》中相似三角形的课程广度、课程实施时间基本一致，但总体的难度降低。显然影响该知识点难度变化的主要因素是课程深度。下面将具体分析课程广度、课程深度、课程实施时间、课程难度四方面对教师实际教学过程的启发和指导。
1课程广度变化对教学实践的指导
基于上述分析可知，相对比《大纲》，《标准》中对相似三角形的内容减少了一个“相似比”的内容。《标准》中只要求学生知道“相似多边形对应边的比称为相似比”这一定义即可。当今的时代在不断发展，教学内容也要不断考虑学生可持续发展的需求。因此教师在具体实践教学中，要注意严格按照《标准》的教学要求，不要顺着《大纲》的老思路继续讲解已经删除的知识点，更不要讲怪题、难题，从而影响学生对初中几何的思维。应当把时间用在“相似三角形”所要求的知识点上。
如《大纲》中课本有一道例题：证明重心定理：三角形顶点到重心的距离等于该顶点对边上中线长的23。
要证明重心定理，不仅要让学生能够找出在三角形内部的三角形之间的相似关系，并灵活运用相似三角形的性质定理，还要通过线段关系证出相似比。这与《标准》的广度和深度要求均不一致，不应继续进行讲解。
2课程深度变化对教学实践的指导
基于以上对“相似三角形”课程深度变化分析可知，《标准》中保留下来的“相似三角形的判定定理”和“相似三角形的性质定理”的赋值比《大纲》深度降低，只要求学生理解即可。《标准》中是结合以前所学习的“三线八角”中和全等三角形中的相关定理对判定定理进行相关证明，学生在之前学习中就已经有了深刻的认识，因此对此“相似三角形”内容都能快速掌握，不必再多加一些综合题型进行思考。所以教师在教学的过程中应当针对之前所学习的相关知识和保留下来的知识点，在课堂上让学生动手、动口、动脑，加深学生对知识点的理解并快速掌握，从而培养学生对三角形以及其他几何图形的敏感度和相关的几何发散思维能力。
同时，教师应当积极引导学生运用学过的知识，看到题目，会想到什么样的知识点，应该运用什么定理，从而培养学生对几何图形的惯性思维和空间发散思维，符合学生的可持续发展。
3课程实施时间变化对教学实践的指导
《标准》和《大纲》中相似三角形的课程实施时间只相差了两个课时，但由于课程广度与课程深度的减小，使得教师有足够的时间去讲解和分析所留下的知识点，不要浪费时间去讲解已被删除的知识点。相似三角形方面注重图形的空间想象能力和实际生活中的问题，如测量河宽、楼层高度等实际问题。这些知识都是直接运用相似三角形的相关定理，难度中等偏下，学生理解起来不会特别困难。同时启发教师要认真分析教学内容和目标，结合以前学过的相关几何定理和类比全等三角形的相关定理，来思考整个教学的流程应当如何实施。
4课程难度变化对教师教学实践的指导
基于以上的探究，课程广度、课程深度、课程实施时间的变化，其实反映的是课程难度的变化。本文中，《标准》对比《大纲》，“相似三角形”课程难度降低。根据上述分析，删除了一个对现在不实际的知识点，减少了课程广度，也降低了对两个知识点的理解程度，从而大大减少了课程深度，而课程实施时间基本不变，最终使得课程难度降低了。这对于新时代的教师来说，是一种新的体验和新的起点，同时也面临着一种挑战。如在课程时间方面，要正确地理解新课标的理念，贯穿新课标的思想。在面对不同程度的学生时因材施教，并在规定时间里让学生理解知识点，同时要能激发学生主动学习的兴趣，从而逐步培养现代社会学生对数学的思考和逻辑思维。在课程广度方面，新课程要求在教学过程中更加注重数学思维、思想、方法的结合，不再讲一些《大纲》老思想的题目，要时刻结合《标准》的规定，并联系以前学习过的知识点，使得课本知识的逻辑性、连贯性得以保障。在课程深度方面，教师要注意知识点对学生掌握的要求和不同程度的学生对知识点理解的不同，从而因材施教。如对相似三角形判定定理和性质定理，都可联系以前学习过的全等三角形的判定定理和性质定理，并结合一开始所学习的有关基础几何的思想，将其运用到相似三角形中，从而使学生掌握知识点的来源，并理解知识点之间的关系，培养对几何思维的敏感度。
初中几何是初中数学中的重要内容，也是培养学生几何思维能力的一个重要部分。随着新课程的不断推广和深入，教师要不断地关注知识点难度的变化，这也是课程难度的变化的意义——在知识点难度有所变化时，教师要适应这种变化，让学生能够真正地掌握该知识点，从而完成课程所要求的内容。