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摘 要：应用题是初中数学教学的重要组成部分，也是当前实施素质教育、培养学生思维应用能力的重要途径之一，这就要求老师在教学中要注重方法的指导。
关键词：应用题;审题;等量关系;建模
初中数学新教材在每章开头的序言、问题引入、例题、习题中都编排了大量的应用问题。数学应用题的教育教学是提高学生分析问题、解决问题能力的好途径。我国《初中数学新课标》中也明确提出要“切实培养学生解决实际问题的能力”要求增强用数学的知识，能初步运用数学模型解决实际问题，逐步学会把实际问题归结为数学模型，运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验使问题得到解决。在初中阶段，对数学应用题的教学主要是让学生能阅读、理解对问题进行陈述的材料;能综合运用所学数学知识、思想和方法解决在生活中的数学问题，并能用数学语言正确的加以表述出来。现把自己从教多年的教授数学应用题的方法与同僚们共勉。
一、 培养学生的审题阅读能力
在解答应用题前，审题很重要。一方面由于应用题涉及的信息量比较大，如果学生没有较强的审题阅读能力，即使知道解题的方法和步骤，但不能准确理解每个已知条件背后的目的，也是无从下手，所以要培养学生的审题阅读能力。另一方面要培养学生的审题细心习惯，有些学生阅读理解能力很强，但就是粗心看错题，解题方向错了导致失分。一般学生由于审题出错而导致答案错误或者解题方向错误，主要有三种原因：（1）由于粗心，看错题目，如把“积”看成“和”;（2）不能正确理解题目要求的问题是什么，有些问题比较长或者涉及的信息量比较大，导致问题看起来非常复杂，不知所云;例如，某应用题，最后要求甲，乙两人的速度各是多少？就发现审题不清的学生就是设甲，乙的速度为X而导致下面列式全错。（3）审清题意最好的解决方法是教师平时多鼓励学生用铅笔圈出重要的词，待解题完毕再把这些标记的痕迹擦掉。另外，可以把应用题的图表或文字进行相互转化，能更好理解，更加直观。例如，在学习二元一次方程时，有这样的一道应用题：有两个班集体去划船，门票为每人10元，一次性购买40～99张打8折，一次性购买100张或以上打7折，一班学生人数有56人，二班人数有54人，但两个班的实际总人数多于30个且少于100个，那么至少要多少人才能够按照7折购买100张门票比实际人数按照8折购买门票要便宜？这道题看似很复杂，特别是最后的问题，第一遍看过去不知道所云，这时候学生需要多读几遍，读到顺为止，然后给这个长句进行断句和补词，即可明白问题的真正意思：在“比”字前面为前半句，剩下的为后半句，这句话意思就是问这两个班至少要去多少个人划船，然后按照7折购买100张的门票，比实际人数按照8折购买对应人数的门票要少钱。解：设有x人前去划船，根据题意得30100×0.7×10，解得87.5 二、 培养学生寻找等量关系的能力
列方程解应用题是初中数学教学中的重点和难点，而列方程解应用题的关键是寻找等量关系，分析数量关系是列方程解应用题的关键，着重培养学生寻找等量关系的能力是教学的重点。如何寻找等量关系，下面列举几种方法：
利息问题：利息=本金×利率
销售问题：商品利润=商品售价-商品进价
商品利润=利润率×商品进价
行程问题：路程=速度×时间
工程问题：工作量=工作时间×工作效率
寻找等量关系方法主要有四种：（1）根据题目中的关键句找等量关系;如“飞机的速度是汽车的35倍”，可以转化为飞机的速度=汽车的速度×35;“用一根长20cm的铁丝围成一个正方形”，可以转化为正方形周长为20cm，4x=20（边长乘4等于周长）;也有一些关键词没有给出直接的相等关系，但应用题的文字阐明了整个事件的发生过程和操作过程。
（2）用常见数量关系式作等量关系;如“把AB两种溶液混合得到C溶液”，学生可以通过这个操作过程发现其中的等量关系C溶液=A溶液 B溶液。从事件发生过程找出等量关系，也是将实际问题数学化的重要途径。
（3）把公式作为等量关系;在解答一些几何形体的应用题时，我们可以把有关的公式作为等量关系。
（4）画出线段图找等量关系。“利达农场计划耕6000公顷耕地，已经耕了5天，平均每天耕720公顷，剩下的要3天耕完，平均每天要耕多少公顷？”可以根据题意画出线段图：从图中我们可以看出等量关系是：“已耕的公顷数 剩下的公顷数=6000”列出方程，设：平均每天要耕x公顷，720×5 3x=6000。例2：甲、乙两人都以不变的速度在400米环形跑道上跑步。已知甲比乙每分多跑2米。相向而行，甲，乙二人4分首次相遇;同向而行，求甲，乙二人多少分首次相遇？本题如果不画出图形学生很难理，也就列不出方程了。
三、 培养学生的建模能力
应用题教学的主要目的是对学生解决实际问题的能力进行培养。数学模型便是一个对问题进行分析、解决的动态过程。因此，将建模具体理论和相关方法渗透到应用题教学中，可促进教学效果得到有效提升。在初中阶段，学生的基础知识、学习能力等均存在一定局限性，其数学建模能力还处于较低水平。而在这个阶段开始重视对学生建模能力的培养，对学生今后的学习和成长均具有重要意义。在课堂教学中，教师需高度重视解题过程，积极引导学生进行有效思考和探索，使学生的主体性地位得到充分体现，教学生学会应用数学知识来表达并解决实际问题，学会通过数学模型的建立来分析和探讨实际问题，促进其分析问题、解决问题的能力得到不断提升。
初中数学应用题类型比较多，解决这些应用题类型常用的方法就是建立数学模型：方程组模型、不等式模型、几何模型、函数模型等，模型对于初中生来说可能是个复杂的思想，因为词汇听起来比较专业。实际上，初中数学应用题离不开数学模型的恰当应用，很多复杂的问题通过建立模型反而变得更加简单。例如，用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米。
（1）求y关于x的函数关系式;
（2）当x为何值时，围成的养鸡场面積为60平方米？
（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长;如果不能，请说明理由。
分析：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟悉矩形的周长与面积的求法，以及一元二次方程的根的判别式。（1）小题，根据矩形的面积公式进行列式;（2）把y的值代入（1）中的函数关系式，求得相应的x值即可;（3）把y的值代入（1）中的函数关系式，若方程有解，则能围成;若方程无解，则不能围成。
通过以上例子可以看出，学生通过利用建模方法可以把复杂的应用题以最简单的方法来解决，提高了解题的效率、降低了解题的难度。另外，教师有时也可以利用多媒体技术展示模型，对于抽象问题，学生更能直观地通过模型看出其中的关系。
总之数学应用题是培养学生分析问题、解决问题能力的重要载体。初中数学应用题作为数学教学的难点，因此需要教师根据实际情况调整合适的教学方法，不被固定的教学方法所限制。教师应注重培养学生解决实际问题的能力，让学生的思维得到锻炼，从而促进学生数学学习能力的提升。
参考文献：
[1]冯永明.中学数学建模的数学构想与实践[J].数学通讯，2000.7.
[2]顾继玲，章飞.初中数学新课程教学方法[M].北京：开明出版社，2003.11.
[3]汪永梅.数学建模思想在初中数学中运用[J].青海师范大学民族师范学院学报，2011.1.
作者简介：
李玉鲜，广西壮族自治区河池市，广西河池市罗城仫佬族自治县德山中学。
关键词：应用题;审题;等量关系;建模
初中数学新教材在每章开头的序言、问题引入、例题、习题中都编排了大量的应用问题。数学应用题的教育教学是提高学生分析问题、解决问题能力的好途径。我国《初中数学新课标》中也明确提出要“切实培养学生解决实际问题的能力”要求增强用数学的知识，能初步运用数学模型解决实际问题，逐步学会把实际问题归结为数学模型，运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、运算、检验使问题得到解决。在初中阶段，对数学应用题的教学主要是让学生能阅读、理解对问题进行陈述的材料;能综合运用所学数学知识、思想和方法解决在生活中的数学问题，并能用数学语言正确的加以表述出来。现把自己从教多年的教授数学应用题的方法与同僚们共勉。
一、 培养学生的审题阅读能力
在解答应用题前，审题很重要。一方面由于应用题涉及的信息量比较大，如果学生没有较强的审题阅读能力，即使知道解题的方法和步骤，但不能准确理解每个已知条件背后的目的，也是无从下手，所以要培养学生的审题阅读能力。另一方面要培养学生的审题细心习惯，有些学生阅读理解能力很强，但就是粗心看错题，解题方向错了导致失分。一般学生由于审题出错而导致答案错误或者解题方向错误，主要有三种原因：（1）由于粗心，看错题目，如把“积”看成“和”;（2）不能正确理解题目要求的问题是什么，有些问题比较长或者涉及的信息量比较大，导致问题看起来非常复杂，不知所云;例如，某应用题，最后要求甲，乙两人的速度各是多少？就发现审题不清的学生就是设甲，乙的速度为X而导致下面列式全错。（3）审清题意最好的解决方法是教师平时多鼓励学生用铅笔圈出重要的词，待解题完毕再把这些标记的痕迹擦掉。另外，可以把应用题的图表或文字进行相互转化，能更好理解，更加直观。例如，在学习二元一次方程时，有这样的一道应用题：有两个班集体去划船，门票为每人10元，一次性购买40～99张打8折，一次性购买100张或以上打7折，一班学生人数有56人，二班人数有54人，但两个班的实际总人数多于30个且少于100个，那么至少要多少人才能够按照7折购买100张门票比实际人数按照8折购买门票要便宜？这道题看似很复杂，特别是最后的问题，第一遍看过去不知道所云，这时候学生需要多读几遍，读到顺为止，然后给这个长句进行断句和补词，即可明白问题的真正意思：在“比”字前面为前半句，剩下的为后半句，这句话意思就是问这两个班至少要去多少个人划船，然后按照7折购买100张的门票，比实际人数按照8折购买对应人数的门票要少钱。解：设有x人前去划船，根据题意得30
列方程解应用题是初中数学教学中的重点和难点，而列方程解应用题的关键是寻找等量关系，分析数量关系是列方程解应用题的关键，着重培养学生寻找等量关系的能力是教学的重点。如何寻找等量关系，下面列举几种方法：
利息问题：利息=本金×利率
销售问题：商品利润=商品售价-商品进价
商品利润=利润率×商品进价
行程问题：路程=速度×时间
工程问题：工作量=工作时间×工作效率
寻找等量关系方法主要有四种：（1）根据题目中的关键句找等量关系;如“飞机的速度是汽车的35倍”，可以转化为飞机的速度=汽车的速度×35;“用一根长20cm的铁丝围成一个正方形”，可以转化为正方形周长为20cm，4x=20（边长乘4等于周长）;也有一些关键词没有给出直接的相等关系，但应用题的文字阐明了整个事件的发生过程和操作过程。
（2）用常见数量关系式作等量关系;如“把AB两种溶液混合得到C溶液”，学生可以通过这个操作过程发现其中的等量关系C溶液=A溶液 B溶液。从事件发生过程找出等量关系，也是将实际问题数学化的重要途径。
（3）把公式作为等量关系;在解答一些几何形体的应用题时，我们可以把有关的公式作为等量关系。
（4）画出线段图找等量关系。“利达农场计划耕6000公顷耕地，已经耕了5天，平均每天耕720公顷，剩下的要3天耕完，平均每天要耕多少公顷？”可以根据题意画出线段图：从图中我们可以看出等量关系是：“已耕的公顷数 剩下的公顷数=6000”列出方程，设：平均每天要耕x公顷，720×5 3x=6000。例2：甲、乙两人都以不变的速度在400米环形跑道上跑步。已知甲比乙每分多跑2米。相向而行，甲，乙二人4分首次相遇;同向而行，求甲，乙二人多少分首次相遇？本题如果不画出图形学生很难理，也就列不出方程了。
三、 培养学生的建模能力
应用题教学的主要目的是对学生解决实际问题的能力进行培养。数学模型便是一个对问题进行分析、解决的动态过程。因此，将建模具体理论和相关方法渗透到应用题教学中，可促进教学效果得到有效提升。在初中阶段，学生的基础知识、学习能力等均存在一定局限性，其数学建模能力还处于较低水平。而在这个阶段开始重视对学生建模能力的培养，对学生今后的学习和成长均具有重要意义。在课堂教学中，教师需高度重视解题过程，积极引导学生进行有效思考和探索，使学生的主体性地位得到充分体现，教学生学会应用数学知识来表达并解决实际问题，学会通过数学模型的建立来分析和探讨实际问题，促进其分析问题、解决问题的能力得到不断提升。
初中数学应用题类型比较多，解决这些应用题类型常用的方法就是建立数学模型：方程组模型、不等式模型、几何模型、函数模型等，模型对于初中生来说可能是个复杂的思想，因为词汇听起来比较专业。实际上，初中数学应用题离不开数学模型的恰当应用，很多复杂的问题通过建立模型反而变得更加简单。例如，用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米。
（1）求y关于x的函数关系式;
（2）当x为何值时，围成的养鸡场面積为60平方米？
（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长;如果不能，请说明理由。
分析：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟悉矩形的周长与面积的求法，以及一元二次方程的根的判别式。（1）小题，根据矩形的面积公式进行列式;（2）把y的值代入（1）中的函数关系式，求得相应的x值即可;（3）把y的值代入（1）中的函数关系式，若方程有解，则能围成;若方程无解，则不能围成。
通过以上例子可以看出，学生通过利用建模方法可以把复杂的应用题以最简单的方法来解决，提高了解题的效率、降低了解题的难度。另外，教师有时也可以利用多媒体技术展示模型，对于抽象问题，学生更能直观地通过模型看出其中的关系。
总之数学应用题是培养学生分析问题、解决问题能力的重要载体。初中数学应用题作为数学教学的难点，因此需要教师根据实际情况调整合适的教学方法，不被固定的教学方法所限制。教师应注重培养学生解决实际问题的能力，让学生的思维得到锻炼，从而促进学生数学学习能力的提升。
参考文献：
[1]冯永明.中学数学建模的数学构想与实践[J].数学通讯，2000.7.
[2]顾继玲，章飞.初中数学新课程教学方法[M].北京：开明出版社，2003.11.
[3]汪永梅.数学建模思想在初中数学中运用[J].青海师范大学民族师范学院学报，2011.1.
作者简介：
李玉鲜，广西壮族自治区河池市，广西河池市罗城仫佬族自治县德山中学。