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摘 要：本年金业务的教学在财务管理教学占有较重要的地位。文章介绍普通年金、预付年金、递延年金和永续年金这四大年金形式，对这四种年金的教学过程中重在对公式的推演以帮助学生理解记忆;同时在四大年金的计算方面，尽可能地运用一题多解法。
关键词：财务管理学;年金;公式推演;一题多解
在日常生活中，一次性收付款项业务很常见，但也存在大量的分期收付款的业务，特别是年金业务在财务管理中很普遍。笔者不揣浅陋，就高职财务管理中的年金教学来谈一谈自己的体会。
年金一般指在一定时期内，每隔相等的时间收入或支出相等金额的款项，这种一定时期内的系列收付款，以时间间隔相等、金额相等为特征。年金根据收付款时点的不同可以分为普通年金（又称后付年金）、预付年金（又称先付年金或即付年金）、递延年金和永续年金四种形式。其中普通年金在现实生活中是最为常见最为普遍的年金形式，其他年金的计算都是在普通年金的基础上推算出来的。
普通年金是从第一期开始每期期末等额收付款的年金，它遵循时间间隔相等、金额相等的特征，只不过每次收付款都在每期期末。普通年金的计算包括现值和终值的计算，其他年金的计算都是在普通年金的基础上推算出来的。普通年金终值和现值的计算，在笔者的教学实践中，把公式的推演放在重要的地位。在普通年金终值和现值公式推演过程中如果辅之以数轴图示更为直观，运用数轴图示时，一般0表示为第一期期初，1、2、3表示为第一、二、三期末，依此类推。
普通年金终值是每期收入或支出“等额款项”的复利终值之和，设每期的等额款项为A，利率为i，期数为n，通过画出数轴求出各个A的复利终值再连加可得到：
在教学过程中演示相关公式的推导过程，可以起到帮助学
生理解、记忆的目的，普通年金的终值系数是，也就是，这个值可以查普通年金终值系数表获得。普通年金现值是每期收入或支出“等额款项”的复利现值之和，类似地，普通年金现值公式可以画数轴推导演示的。
预付年金是指在一定时期内，各期期初等额的系列收付款项的年金。预付年金的计算公式，教材一般都会直接给出公式：预付F =A×[（F/A，i，n+1）-1]，预付P=A×[（P/A，i，n-1）+1]。另外，“计算预付年金终值或现值，要比计算同期普通年金终值或现值多计一期利息，即在普通年金终值或现值公式基础上乘以（1+i）”，这些公式和结论在教学过程中都可以画数轴来演示、推导其过程的。
递延年金是指首次收付款发生在第二期期末或者第二期以后某期期末的年金。我们把递延年金中不发生收付款的空窗时期叫做递延期，把有收付款的时期叫发生期，假设有（m+n）期递延年金，那么m是递延期数，n是发生期数。递延年金终值只与等额款项A的个数有关而与递延期数无关。即递延Fm+n= Fn= A（F/A，i，n）。类似的，递延年金的现值，一般教材都会列示递延年金的现值的三个公式，公式一：P=A（P/A，i，n）×（P/F，i，m）;公式二：P=A×[（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）];公式三：P=A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m+n）。虽然不要求我们能证明这三个公式，但是也需要推演、解释这三个公式的来由的。公式一是分步法;公式二是扣减法;第三个公式是逆推法。
永续年金是无限期定额收付的年金。令n趋近于无穷大，
我们对普通年金系数求极限，会发现这个值也是无穷大，是不收敛的，即永续年金没有终值。永续年金的现值，类似
地，运用求极限的办法，可得永续年金的现值为。
在年金教学实践中，把对公式的推演放在重要地位，有助于同学们熟练地掌握四大年金的公式。同时，在年金教学中如涉及到计算内容时尽可能地运用一题多解法，通过一题多解的讲解和训练，有利于培养学生思维的广阔性、深刻性，也有利于培养学生思维的灵活性，避免思维定势产生的负效应，也有利于创新精神的培养。
例如：甲打算购置一套住房，有两种付款方式可供选择：（1）从现在起，每年年初支付3万元，连续支付15年，共45万元;（2）从第五年起，每年年初支付3.2万元，连续支付15年，共48万元。假设银行利率是10%，则甲应选择哪种付款方式比较合适？
很显然，第一种付款方式是预付年金，第二种付款方式是递延年金。但是需要注意这题目有陷阱，第二种付款方式是从第五年起，不是每年年末支付，第五年年初付款，相当于第四年年末付款，紧扣递延年金的定义，递延期数是3而不是4，所以第二种付款方式是（3+15）的递延年金。比较这两种付款方式的现值，哪个值小，甲就选择哪个。
付款方式一的值可以用三种方法算：
法一：直接套公式，P=A×[（P/A，i，n-1）+1]
=3×[（P /A，10%，14）+1]
=25.1001（万元）
法二：P=A×（P/A，i，n）（1+i）
=3×[（P /A，10%，15）（1+10%）
=25.10013（万元）
法三：此题还可以画数轴，求出这15次付款的复利现值之和。
第一种付款方式的三种计算方法所得结果有些差异，是合理的误差。
付款方式二的值也可以用三种方法算：
法一：P=A（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
=3.2×（P /A，10%，15）（P/F，10%，3）
=18.2863（万元）
法二：P=A×[（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）]
=3.2×[（P /A，10%，18）-（P/A，10%，3）]
=18.2864（万元）
法三：P=A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m+n）。
=3.2×（F/A，10%，15）×（P/F，10%，18）
=3.2×31.7725×0.1799=18.2908（万元）
第二种付款方式的三种计算方法所得结果有些差异，是合理的误差。
甲应该选择第二种付款方式。
年金业务的教学在财务管理教学中占有較重要的地位，基于高职学生数学基础较为薄弱的现实，笔者在教学中一方面注重年金计算公式的推导与演示，一方面在年金的计算教学中积极地尝试一题多解，取得较好的效果。
参考文献
[1]梁宗平、谭促伦、娄亮华.高职财务管理教学中数形结合运用举隅.消费
导刊[J].2009年9月
[2] 乔宏，财务管理 [M].西南财经大学出版社，2018年2月
[3]娄亮华，例谈专本衔接财务管理教学的一题多解法[J].企业科技与发展，2015年12月.
作者简介：
娄亮华（1973--），工商管理硕士，广西职业师范学院副教授，主要研究工商管理和财务管理。
关键词：财务管理学;年金;公式推演;一题多解
在日常生活中，一次性收付款项业务很常见，但也存在大量的分期收付款的业务，特别是年金业务在财务管理中很普遍。笔者不揣浅陋，就高职财务管理中的年金教学来谈一谈自己的体会。
年金一般指在一定时期内，每隔相等的时间收入或支出相等金额的款项，这种一定时期内的系列收付款，以时间间隔相等、金额相等为特征。年金根据收付款时点的不同可以分为普通年金（又称后付年金）、预付年金（又称先付年金或即付年金）、递延年金和永续年金四种形式。其中普通年金在现实生活中是最为常见最为普遍的年金形式，其他年金的计算都是在普通年金的基础上推算出来的。
普通年金是从第一期开始每期期末等额收付款的年金，它遵循时间间隔相等、金额相等的特征，只不过每次收付款都在每期期末。普通年金的计算包括现值和终值的计算，其他年金的计算都是在普通年金的基础上推算出来的。普通年金终值和现值的计算，在笔者的教学实践中，把公式的推演放在重要的地位。在普通年金终值和现值公式推演过程中如果辅之以数轴图示更为直观，运用数轴图示时，一般0表示为第一期期初，1、2、3表示为第一、二、三期末，依此类推。
普通年金终值是每期收入或支出“等额款项”的复利终值之和，设每期的等额款项为A，利率为i，期数为n，通过画出数轴求出各个A的复利终值再连加可得到：
在教学过程中演示相关公式的推导过程，可以起到帮助学
生理解、记忆的目的，普通年金的终值系数是，也就是，这个值可以查普通年金终值系数表获得。普通年金现值是每期收入或支出“等额款项”的复利现值之和，类似地，普通年金现值公式可以画数轴推导演示的。
预付年金是指在一定时期内，各期期初等额的系列收付款项的年金。预付年金的计算公式，教材一般都会直接给出公式：预付F =A×[（F/A，i，n+1）-1]，预付P=A×[（P/A，i，n-1）+1]。另外，“计算预付年金终值或现值，要比计算同期普通年金终值或现值多计一期利息，即在普通年金终值或现值公式基础上乘以（1+i）”，这些公式和结论在教学过程中都可以画数轴来演示、推导其过程的。
递延年金是指首次收付款发生在第二期期末或者第二期以后某期期末的年金。我们把递延年金中不发生收付款的空窗时期叫做递延期，把有收付款的时期叫发生期，假设有（m+n）期递延年金，那么m是递延期数，n是发生期数。递延年金终值只与等额款项A的个数有关而与递延期数无关。即递延Fm+n= Fn= A（F/A，i，n）。类似的，递延年金的现值，一般教材都会列示递延年金的现值的三个公式，公式一：P=A（P/A，i，n）×（P/F，i，m）;公式二：P=A×[（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）];公式三：P=A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m+n）。虽然不要求我们能证明这三个公式，但是也需要推演、解释这三个公式的来由的。公式一是分步法;公式二是扣减法;第三个公式是逆推法。
永续年金是无限期定额收付的年金。令n趋近于无穷大，
我们对普通年金系数求极限，会发现这个值也是无穷大，是不收敛的，即永续年金没有终值。永续年金的现值，类似
地，运用求极限的办法，可得永续年金的现值为。
在年金教学实践中，把对公式的推演放在重要地位，有助于同学们熟练地掌握四大年金的公式。同时，在年金教学中如涉及到计算内容时尽可能地运用一题多解法，通过一题多解的讲解和训练，有利于培养学生思维的广阔性、深刻性，也有利于培养学生思维的灵活性，避免思维定势产生的负效应，也有利于创新精神的培养。
例如：甲打算购置一套住房，有两种付款方式可供选择：（1）从现在起，每年年初支付3万元，连续支付15年，共45万元;（2）从第五年起，每年年初支付3.2万元，连续支付15年，共48万元。假设银行利率是10%，则甲应选择哪种付款方式比较合适？
很显然，第一种付款方式是预付年金，第二种付款方式是递延年金。但是需要注意这题目有陷阱，第二种付款方式是从第五年起，不是每年年末支付，第五年年初付款，相当于第四年年末付款，紧扣递延年金的定义，递延期数是3而不是4，所以第二种付款方式是（3+15）的递延年金。比较这两种付款方式的现值，哪个值小，甲就选择哪个。
付款方式一的值可以用三种方法算：
法一：直接套公式，P=A×[（P/A，i，n-1）+1]
=3×[（P /A，10%，14）+1]
=25.1001（万元）
法二：P=A×（P/A，i，n）（1+i）
=3×[（P /A，10%，15）（1+10%）
=25.10013（万元）
法三：此题还可以画数轴，求出这15次付款的复利现值之和。
第一种付款方式的三种计算方法所得结果有些差异，是合理的误差。
付款方式二的值也可以用三种方法算：
法一：P=A（P/A，i，n）×（P/F，i，m）
=3.2×（P /A，10%，15）（P/F，10%，3）
=18.2863（万元）
法二：P=A×[（P/A，i，m+n）-（P/A，i，m）]
=3.2×[（P /A，10%，18）-（P/A，10%，3）]
=18.2864（万元）
法三：P=A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m+n）。
=3.2×（F/A，10%，15）×（P/F，10%，18）
=3.2×31.7725×0.1799=18.2908（万元）
第二种付款方式的三种计算方法所得结果有些差异，是合理的误差。
甲应该选择第二种付款方式。
年金业务的教学在财务管理教学中占有較重要的地位，基于高职学生数学基础较为薄弱的现实，笔者在教学中一方面注重年金计算公式的推导与演示，一方面在年金的计算教学中积极地尝试一题多解，取得较好的效果。
参考文献
[1]梁宗平、谭促伦、娄亮华.高职财务管理教学中数形结合运用举隅.消费
导刊[J].2009年9月
[2] 乔宏，财务管理 [M].西南财经大学出版社，2018年2月
[3]娄亮华，例谈专本衔接财务管理教学的一题多解法[J].企业科技与发展，2015年12月.
作者简介：
娄亮华（1973--），工商管理硕士，广西职业师范学院副教授，主要研究工商管理和财务管理。