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（浏阳市第九中学 湖南 浏阳420300）
摘要：高中数学教育是以培养学生的数学基本能力为核心的，要求学生学会将实际问题转化为数学问题，然后进行理论分析和优化处理，以培养他们的数学学习、探索和建模能力而不是“死记硬背”公式和定理。
关键词：建构 概率运算 探究
建构主义的教学思想是着重培养学生的科学探究能力，其教学模式是“研究型”教学。在这种模式中，学生是教学的主体，是知识的主动建构者和探索者，而教师则是学生学习环境的组织者和协调者，同时也是学生学习的促进者。数学学习的基本能力是指逻辑推理能力、空间想像能力、数学应用以及建模能力等。高中数学教育是以培养学生的数学基本能力为核心的，要求学生学会将实际问题转化为数学问题，然后进行理论分析和优化处理，以培养他们的数学学习、探索和建模能力而不是“死记硬背”公式和定理。为了实现这一目标，在高中概率论的运算教学过程中，笔者积累了一些以实践建构主义为基础的经验与方法，以供参考和讨论。
1 注重典型问题的教学
由于概率中遇到的是来自各个领域、五花八门的问题，因而决定了问题的多样性、复杂性，解题时灵活性很大，学生难以掌握，容易混淆，所以在教学中讲清它的一些概念、公式是如何产生之后，就应指出这些知识的主要应用，并从实际问题中提炼出一些代表性的典型例题，建构相应的概率模型，引导学生如何运用这些模型去解决实际问题。
教学中，笔者通过典型题目，充分展示推理过程，降低思维起点，缩小思维跨度，创设思维情境，使学生对于随机性数学思维的推理特点看得清楚，想得明白。例如:袋中有a只黑球，b只白球，它们除颜色不同外，其他方面没有差别，现把球随机地一只只摸出来，求第k ( )次摸出的是黑球的概率。
显然，每一只球在第k次被摸出的可能性均相等。按照教材中的合情推理我们知道，对于此试验中的某事件A，均有 ，其中n为基本事件总数， 为事件A所包含的基本事件数。
与 怎么求，用排列或组合都可以求得，譬如用组合方法:把a只黑球看作是没有区别的，把b只白球也看作是没有区别的，若把摸出的球，依次放在排列成一直线的a+b个位置上，只要把a只黑球的位置固定下来，其他位置必然放白球，而黑球的位置可以有 种放法，即基本事件总数n= ，由于第k次摸到黑球，故第k个位置必须放黑球，剩下的黑球可以在a+b-1个位置上任选a-1个，即m= 。所以所求的概率 .
从此可以启发学生，这个结果与k无关，说明抽取结果不受抽取次序的影响。当然，上述问题的“球”也可以是实际问题中的“人”“产品”“物品”等。如果把抽球变成抽签，黑球变成获奖，当a=1,b=4时由此就可回答人教版数学第二册(下B)第145页“抽签有先有后，对个各人公平吗?”的问题。
值得注意的是，教学中在结合典型例题，讲述方法，介绍规律时也要防止产生思维定势，譬如说，排列组合是计算等可能性事件的概率的常用工具，但并非必用工具。在有些场合下，倘若能抓住所研究问题的本质属性，也可避开排列组合运算，使得计算简捷。前面所举摸球问题就可以如此。
显然，只考虑第k次抽球， 个球中任何一个都有可能在第k次被抽到，故基本事件总数n= ,抽到黑球仅有a种可能，即m=a，所以所求概率
通过这种从多渠道、多角度、多方位探索解题途径，可促使学生拓宽思维领域;沟通知识结构存在的纵横联系，从而培养思维的广阔性。
2 归并典型模型，提高随机性数学思维能力
建构主义者认为数学的实际应用对于理解数学是非常重要的.通过对实际问题情景的深入理解,再构造出一个相应的数学模型,通过这个模型反映出要解决的问题,这是数学应用的常规之路.通过这种活动,可以使学生逐渐看出所学数学知识的相互联系,这是学生获得数学学习动力的源泉.因此,教师应该注意开发、收集和创造一些实际问题情景来为教学服务,使学生有机会应用学过的概念和技能.这种做法可以消除传统教学中应用知识的“假象”—在学生刚学完某一知识就给一个“应用题”,要求学生予以解答,而所谓应用,只不过是机械的辨别、模仿和重复. 在概率的教学过程中,教师可以让学生解决某个实际问题,随着知识学习的深入,学生会对所学知识与这个实际问题之间的关系有逐渐深入的认识,并逐渐理解问题的本质以及解决问题所需要的条件,达到所学知识与解决问题的条件之间的匹配.在这个过程中,学生的思维就能够经历创造性应用知识的全过程,理解概率与生活实际的关系,形成数学的思维方式.
3 密切联系知识发生过程，激活学生思维
课堂教学中学生的思维过程，实际上是知识发生的过程，也是揭示和建立新旧知识联系的过程。因此，加强知识发生过程的教学，是形成程序性知识，建立良好的知识结构的需要.也是领略思维，体会数学基本方法的需要，更是建立思维场，大面积、高效率地激发思维活动的需要。概率统计的各个组成部分不是孤立存在而是互为因果的。在教学中，教师应注重问题解决的思维过程，使“静态”知识内化到“动态”的数学思维中去思考和认识。比如，一个事件的出现是随机的，但一个事件发生可能性的大小是可以度量的，如袋中装有100只球，其中5只红球，其余是白球，现从袋中任取一球，“出现白球”比“出现红球”的可能性大，这是人们根据各自的实践经验得出的共同结论，可见人们对事件发生可能性的大小是可以作出判断的。只是这种判断是建立在经验基础上的，在有些场合下不易作出正确的判断。
教学中，教师要善于结合教学内容，巧妙设置问题串，有意识地营造使学生不断取得思维成就的环境，师生互动。例如在进行等可能性事件概率的教学中，教师可首先提问:“咱们班同学有生日相同的吗?”不等学生回答，教师可故设悬念说:“咱们班55名同学，我不用查同学们的档案，可以有把握地说，咱们班至少有两人生日相同。”然后让同学做题目:某班有n 个人，问至少有两个人的生日在同一天的概率(一年按365天算)。
学生根据对立事件的概率计算公式，很容易求得概率
然后把， =55代入利用计算器算得
这的确使学生感到意外(按常理，366个人才能肯定必有两人生日相同)。这样既提高了他们的学习兴趣，又锻炼了他们的思维品质—凡事不能想当然。对问题的结果要注重引导学生进行再思考，如对教材中储蓄卡加密的例题，在不知道密码的情况下，随机按四位数字，按对的概率仅有 ，学生可以从中体会到加密的重要性，从而在日后生活中会科学地应用所学的知识，自觉加强自我保护意识。针对前面提到的“求随机抛掷100次均匀硬币正好出现50次正面的概率”的问题，当学习了独立重复试验后，我引导学生利用利用独立重复试验公式和计算器计算得 ，这说明了随机抛掷100次均匀硬币正好出现50次正面的概率很小，同时也纠正了学生脑海中固有的错误经验。一位诗人说，“幸福的日子使人聪明”。让学生不断在思维成功的幸福中取得良性循环，越学越想学，越思越灵活，就能使得他们随机性数学思维的能力不断得到培养。
4 组织课堂讨论和学习交流
在建构主义教学理念中，课堂的讨论和交流学习是一个必不可少的重要环节，它有很大的主观能动性。课堂讨论一般由教师组织，提前给出问题让学生做好充分的准备，讨论内容和方式可以灵活多样。例如在讲互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率时，构建一个摸球模型：在一个袋子中装有7个红球，2个黑球，1个黄球。问题一：从中任取一个球，则摸出红球的概率是多少？摸出黑球的概率是多少？摸出红球或黑球的概率是多少？摸出的不是红球的概率是多少？问题二：从口袋中有放回地摸两次，则摸出都是红球的概率是多少？摸出都是黑球的概率是多少？摸出一个红球和一个黑球的概率是多少？摸出的都不是红球的概率是多少？让学生对上述问题进行讨论，在教师的引导下探究其反映的结论。这样，不仅加深了学生对互斥事件和独立事件的辨析，同时也知晓了对立事件与互斥事件之间的关系，而且还推导出了互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率运算公式，并把它们推广到一般情形。
参考文献：
[1](美)波利亚著.李志尧等译.数学与猜想[M].北京:科学出版社.2002.62.
[2]李树臣.培养教学交流能力.提高国民数学素质[J].中学数学教学研究.2005(4).3.
摘要：高中数学教育是以培养学生的数学基本能力为核心的，要求学生学会将实际问题转化为数学问题，然后进行理论分析和优化处理，以培养他们的数学学习、探索和建模能力而不是“死记硬背”公式和定理。
关键词：建构 概率运算 探究
建构主义的教学思想是着重培养学生的科学探究能力，其教学模式是“研究型”教学。在这种模式中，学生是教学的主体，是知识的主动建构者和探索者，而教师则是学生学习环境的组织者和协调者，同时也是学生学习的促进者。数学学习的基本能力是指逻辑推理能力、空间想像能力、数学应用以及建模能力等。高中数学教育是以培养学生的数学基本能力为核心的，要求学生学会将实际问题转化为数学问题，然后进行理论分析和优化处理，以培养他们的数学学习、探索和建模能力而不是“死记硬背”公式和定理。为了实现这一目标，在高中概率论的运算教学过程中，笔者积累了一些以实践建构主义为基础的经验与方法，以供参考和讨论。
1 注重典型问题的教学
由于概率中遇到的是来自各个领域、五花八门的问题，因而决定了问题的多样性、复杂性，解题时灵活性很大，学生难以掌握，容易混淆，所以在教学中讲清它的一些概念、公式是如何产生之后，就应指出这些知识的主要应用，并从实际问题中提炼出一些代表性的典型例题，建构相应的概率模型，引导学生如何运用这些模型去解决实际问题。
教学中，笔者通过典型题目，充分展示推理过程，降低思维起点，缩小思维跨度，创设思维情境，使学生对于随机性数学思维的推理特点看得清楚，想得明白。例如:袋中有a只黑球，b只白球，它们除颜色不同外，其他方面没有差别，现把球随机地一只只摸出来，求第k ( )次摸出的是黑球的概率。
显然，每一只球在第k次被摸出的可能性均相等。按照教材中的合情推理我们知道，对于此试验中的某事件A，均有 ，其中n为基本事件总数， 为事件A所包含的基本事件数。
与 怎么求，用排列或组合都可以求得，譬如用组合方法:把a只黑球看作是没有区别的，把b只白球也看作是没有区别的，若把摸出的球，依次放在排列成一直线的a+b个位置上，只要把a只黑球的位置固定下来，其他位置必然放白球，而黑球的位置可以有 种放法，即基本事件总数n= ，由于第k次摸到黑球，故第k个位置必须放黑球，剩下的黑球可以在a+b-1个位置上任选a-1个，即m= 。所以所求的概率 .
从此可以启发学生，这个结果与k无关，说明抽取结果不受抽取次序的影响。当然，上述问题的“球”也可以是实际问题中的“人”“产品”“物品”等。如果把抽球变成抽签，黑球变成获奖，当a=1,b=4时由此就可回答人教版数学第二册(下B)第145页“抽签有先有后，对个各人公平吗?”的问题。
值得注意的是，教学中在结合典型例题，讲述方法，介绍规律时也要防止产生思维定势，譬如说，排列组合是计算等可能性事件的概率的常用工具，但并非必用工具。在有些场合下，倘若能抓住所研究问题的本质属性，也可避开排列组合运算，使得计算简捷。前面所举摸球问题就可以如此。
显然，只考虑第k次抽球， 个球中任何一个都有可能在第k次被抽到，故基本事件总数n= ,抽到黑球仅有a种可能，即m=a，所以所求概率
通过这种从多渠道、多角度、多方位探索解题途径，可促使学生拓宽思维领域;沟通知识结构存在的纵横联系，从而培养思维的广阔性。
2 归并典型模型，提高随机性数学思维能力
建构主义者认为数学的实际应用对于理解数学是非常重要的.通过对实际问题情景的深入理解,再构造出一个相应的数学模型,通过这个模型反映出要解决的问题,这是数学应用的常规之路.通过这种活动,可以使学生逐渐看出所学数学知识的相互联系,这是学生获得数学学习动力的源泉.因此,教师应该注意开发、收集和创造一些实际问题情景来为教学服务,使学生有机会应用学过的概念和技能.这种做法可以消除传统教学中应用知识的“假象”—在学生刚学完某一知识就给一个“应用题”,要求学生予以解答,而所谓应用,只不过是机械的辨别、模仿和重复. 在概率的教学过程中,教师可以让学生解决某个实际问题,随着知识学习的深入,学生会对所学知识与这个实际问题之间的关系有逐渐深入的认识,并逐渐理解问题的本质以及解决问题所需要的条件,达到所学知识与解决问题的条件之间的匹配.在这个过程中,学生的思维就能够经历创造性应用知识的全过程,理解概率与生活实际的关系,形成数学的思维方式.
3 密切联系知识发生过程，激活学生思维
课堂教学中学生的思维过程，实际上是知识发生的过程，也是揭示和建立新旧知识联系的过程。因此，加强知识发生过程的教学，是形成程序性知识，建立良好的知识结构的需要.也是领略思维，体会数学基本方法的需要，更是建立思维场，大面积、高效率地激发思维活动的需要。概率统计的各个组成部分不是孤立存在而是互为因果的。在教学中，教师应注重问题解决的思维过程，使“静态”知识内化到“动态”的数学思维中去思考和认识。比如，一个事件的出现是随机的，但一个事件发生可能性的大小是可以度量的，如袋中装有100只球，其中5只红球，其余是白球，现从袋中任取一球，“出现白球”比“出现红球”的可能性大，这是人们根据各自的实践经验得出的共同结论，可见人们对事件发生可能性的大小是可以作出判断的。只是这种判断是建立在经验基础上的，在有些场合下不易作出正确的判断。
教学中，教师要善于结合教学内容，巧妙设置问题串，有意识地营造使学生不断取得思维成就的环境，师生互动。例如在进行等可能性事件概率的教学中，教师可首先提问:“咱们班同学有生日相同的吗?”不等学生回答，教师可故设悬念说:“咱们班55名同学，我不用查同学们的档案，可以有把握地说，咱们班至少有两人生日相同。”然后让同学做题目:某班有n 个人，问至少有两个人的生日在同一天的概率(一年按365天算)。
学生根据对立事件的概率计算公式，很容易求得概率
然后把， =55代入利用计算器算得
这的确使学生感到意外(按常理，366个人才能肯定必有两人生日相同)。这样既提高了他们的学习兴趣，又锻炼了他们的思维品质—凡事不能想当然。对问题的结果要注重引导学生进行再思考，如对教材中储蓄卡加密的例题，在不知道密码的情况下，随机按四位数字，按对的概率仅有 ，学生可以从中体会到加密的重要性，从而在日后生活中会科学地应用所学的知识，自觉加强自我保护意识。针对前面提到的“求随机抛掷100次均匀硬币正好出现50次正面的概率”的问题，当学习了独立重复试验后，我引导学生利用利用独立重复试验公式和计算器计算得 ，这说明了随机抛掷100次均匀硬币正好出现50次正面的概率很小，同时也纠正了学生脑海中固有的错误经验。一位诗人说，“幸福的日子使人聪明”。让学生不断在思维成功的幸福中取得良性循环，越学越想学，越思越灵活，就能使得他们随机性数学思维的能力不断得到培养。
4 组织课堂讨论和学习交流
在建构主义教学理念中，课堂的讨论和交流学习是一个必不可少的重要环节，它有很大的主观能动性。课堂讨论一般由教师组织，提前给出问题让学生做好充分的准备，讨论内容和方式可以灵活多样。例如在讲互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率时，构建一个摸球模型：在一个袋子中装有7个红球，2个黑球，1个黄球。问题一：从中任取一个球，则摸出红球的概率是多少？摸出黑球的概率是多少？摸出红球或黑球的概率是多少？摸出的不是红球的概率是多少？问题二：从口袋中有放回地摸两次，则摸出都是红球的概率是多少？摸出都是黑球的概率是多少？摸出一个红球和一个黑球的概率是多少？摸出的都不是红球的概率是多少？让学生对上述问题进行讨论，在教师的引导下探究其反映的结论。这样，不仅加深了学生对互斥事件和独立事件的辨析，同时也知晓了对立事件与互斥事件之间的关系，而且还推导出了互斥事件有一个发生的概率和相互独立事件同时发生的概率运算公式，并把它们推广到一般情形。
参考文献：
[1](美)波利亚著.李志尧等译.数学与猜想[M].北京:科学出版社.2002.62.
[2]李树臣.培养教学交流能力.提高国民数学素质[J].中学数学教学研究.2005(4).3.