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学习导数后使解决函数问题又有了新的工具，对于有些用传统方法求解有困难的问题，利用导数进行求解会变得简单、明了.因此我们要充分地利用导数这一功能，提高解题的速度与技巧.下面举例分析，相信对同学们定会有所启迪.
一、求数列或级数的和
用常规方法求数列或级数的和，有时需要很强的技巧性或计算很复杂，此时若能够灵活地利用导数求解，常会化繁为简、化难为易，简捷、快速获解.
例1 求和
3C0n+4C1n+5C2n+…+（n+3）Cnn.
解析：若采用常规方法求解技巧性太强，为此可考虑构造二项式后再求导数求解.
由x3（1+x）n=x3（C0n+C1nx+C2nx2+C3nx3+…+Cnnxn），即
x3（1+x）n=C0nx3+C1nx4+C2nx5+C3nx3+…+Cnnxn+3）.
对上面恒等式两边取x的导数，得：
3x2·（1+x）n+x3·n·（1+x）n-1=3C0nx2+4C1nx3+5C2nx4+
…+（n+3）Cnnxn+2
，即所求的和
3C0n+4C1n+5C2n+…+（n+3）Cnn=（n+6）·2n-1
.
点评：通过联想并合理地运用了逆向思维，其关键是抓住了通项的构成形式，在一个已知恒等式两边取导再赋值而求得.
二、证明不等式
利用导数可用较为简单地证明一些很复杂的不等式.
例2 已知0 < a < b < e，其中e为自然对数的底，求证：ab < ba.
证明：要证：ab < ba，只要证blna < alnb （0 < a < b < e），即证
lnaa f （x） =lnxx （0 < x < e），则f ′（x） =
1-lnxx2>0，所以函数f （x）在（0， e）上是增函数.
又0 < a < b < e，所以f （a） < f （b），解
lnaa 点评：证明f （x） > g（x），x ∈ （a， b）可等价转换为证明f （x） - g （x） > 0；如果（f （x） - g （x） ）′> 0，说明函数f （x） - g （x） 在（a， b）上是增函数，如果f （a） - g （a） ≥ 0，由增函数的定义可知：x ∈ （a， b）时，f （x） - g （x） > 0，即f （x） > g （x）.
三、求与方程的实根有关的问题
利用导数可判别与方程的实根有关的问题.
例3 证明方程sinx2 = sin2x在[0， 1）上仅有一个实根.
证明：令f （x） = sinx2 - sin2x x∈[0， 1），因为f ′（x） = 2xcosx2 - 2sinxcosx，
当x∈[0， 1）时，sinx > 0，cosx > 0，cos2x > 0，x2 < x，所以cos2x > cosx.
又x >sinx，所以xcosx2 > sinxcosx，即f ′（x） > 0，于是f （x）在x∈[0， 1）上为增函数，f （0） = 0，当x∈[0， 1）时，f （x） > f （0） = 0，
所以方程sinx2 =sin2x在[0， 1）上仅有一个实根.
四、求函数的单调区间
例4 证明函数f （x） =-x3 + 1在（ -∞， 0）上是减函数.
证明： f ′（x） = - 3x2，因为x∈（-∞， 0），所以f ′（x） < 0，所以f （x） = - x3 + 1在（ -∞， 0）上是减函数.
点评：通过对上述两例的求解可见，利用求导法可以大大地简化解题过程，提高解题技巧.
五、探讨切线问题
利用导数探讨与切线有关的问题，方法独特，过程简捷，令人称道.
例5 求曲线y = lnx的平行于直线2x + 2y + 3 = 0的法线方程.
解析：直线2x + 2y + 3 = 0的斜率为k = - 1，曲线y = lnx在点（x， y）处的切线斜率为k1=1x，法线斜率为k2 = - x.
由题意可得：- x = - 1，即x = 1，而f （1） = ln1 = 0，故所求法线方程为：y - 0 = - （x - 1），即y + x - 1 = 0.
六、求解最值问题
对于一些函数极值问题，利用导数求解常常显得快捷、方便.
图1
例6 将一块长为2a、宽为2b （a > b）的白铁皮四个角各剪去一块小正方形，折成一个无盖的盒子，问要使盒子容积最大，剪去的小正方形边长应为多少？
解析：设四个角上剪去的小正方形边长为x cm，则折成盒子的容积V = x（2a - 2x）（2b - 2x） （0 < x < b）.
令Vx′ =[4x（x2 - ax - bx + ab]′=12x2 - 8ax - 8bx + 4ab = 0，即3x2 - 2（a + b）x + ab = 0.
因为0 < x < b，取最小根
x0=a+b-a2+b2-ab3
，即剪去的小正方形边长应为：
13
[a+b-a2+b2-ab]
（因为x0是（0， b）中唯一值Vx′ = 0的值，由实际可知它就是所求的值）.
一、求数列或级数的和
用常规方法求数列或级数的和，有时需要很强的技巧性或计算很复杂，此时若能够灵活地利用导数求解，常会化繁为简、化难为易，简捷、快速获解.
例1 求和
3C0n+4C1n+5C2n+…+（n+3）Cnn.
解析：若采用常规方法求解技巧性太强，为此可考虑构造二项式后再求导数求解.
由x3（1+x）n=x3（C0n+C1nx+C2nx2+C3nx3+…+Cnnxn），即
x3（1+x）n=C0nx3+C1nx4+C2nx5+C3nx3+…+Cnnxn+3）.
对上面恒等式两边取x的导数，得：
3x2·（1+x）n+x3·n·（1+x）n-1=3C0nx2+4C1nx3+5C2nx4+
…+（n+3）Cnnxn+2
，即所求的和
3C0n+4C1n+5C2n+…+（n+3）Cnn=（n+6）·2n-1
.
点评：通过联想并合理地运用了逆向思维，其关键是抓住了通项的构成形式，在一个已知恒等式两边取导再赋值而求得.
二、证明不等式
利用导数可用较为简单地证明一些很复杂的不等式.
例2 已知0 < a < b < e，其中e为自然对数的底，求证：ab < ba.
证明：要证：ab < ba，只要证blna < alnb （0 < a < b < e），即证
lnaa
1-lnxx2>0，所以函数f （x）在（0， e）上是增函数.
又0 < a < b < e，所以f （a） < f （b），解
lnaa
三、求与方程的实根有关的问题
利用导数可判别与方程的实根有关的问题.
例3 证明方程sinx2 = sin2x在[0， 1）上仅有一个实根.
证明：令f （x） = sinx2 - sin2x x∈[0， 1），因为f ′（x） = 2xcosx2 - 2sinxcosx，
当x∈[0， 1）时，sinx > 0，cosx > 0，cos2x > 0，x2 < x，所以cos2x > cosx.
又x >sinx，所以xcosx2 > sinxcosx，即f ′（x） > 0，于是f （x）在x∈[0， 1）上为增函数，f （0） = 0，当x∈[0， 1）时，f （x） > f （0） = 0，
所以方程sinx2 =sin2x在[0， 1）上仅有一个实根.
四、求函数的单调区间
例4 证明函数f （x） =-x3 + 1在（ -∞， 0）上是减函数.
证明： f ′（x） = - 3x2，因为x∈（-∞， 0），所以f ′（x） < 0，所以f （x） = - x3 + 1在（ -∞， 0）上是减函数.
点评：通过对上述两例的求解可见，利用求导法可以大大地简化解题过程，提高解题技巧.
五、探讨切线问题
利用导数探讨与切线有关的问题，方法独特，过程简捷，令人称道.
例5 求曲线y = lnx的平行于直线2x + 2y + 3 = 0的法线方程.
解析：直线2x + 2y + 3 = 0的斜率为k = - 1，曲线y = lnx在点（x， y）处的切线斜率为k1=1x，法线斜率为k2 = - x.
由题意可得：- x = - 1，即x = 1，而f （1） = ln1 = 0，故所求法线方程为：y - 0 = - （x - 1），即y + x - 1 = 0.
六、求解最值问题
对于一些函数极值问题，利用导数求解常常显得快捷、方便.
图1
例6 将一块长为2a、宽为2b （a > b）的白铁皮四个角各剪去一块小正方形，折成一个无盖的盒子，问要使盒子容积最大，剪去的小正方形边长应为多少？
解析：设四个角上剪去的小正方形边长为x cm，则折成盒子的容积V = x（2a - 2x）（2b - 2x） （0 < x < b）.
令Vx′ =[4x（x2 - ax - bx + ab]′=12x2 - 8ax - 8bx + 4ab = 0，即3x2 - 2（a + b）x + ab = 0.
因为0 < x < b，取最小根
x0=a+b-a2+b2-ab3
，即剪去的小正方形边长应为：
13
[a+b-a2+b2-ab]
（因为x0是（0， b）中唯一值Vx′ = 0的值，由实际可知它就是所求的值）.