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摘要：弹性梁是弹力力学和工程物理中一种比较常见的数学模型，为了将此模型更准确地应用于工程领域中，在对一端固定，一端滑动支撑的弹性梁方程研究的基础上，研究了此类弹性梁方程的多解性。通过将此类边值问题转化为积分方程后，进而等价于算子的不动点问题，结合其Green函数的性质与GuoKrasnoselskii锥拉伸与压缩不动点定理，讨论了此类弹性梁方程正解的存在性问题。在非线性项满足适当条件下建立参数的取值范围，获得了此类边值问题至少有1个正解，2个正解的存在性结果与正解的不存在性结果。结论上获得了关于此类问题至少有1个正解，2个正解及没有正解的存在的特征值区间。研究结果有助于弹性梁的稳定性分析，丰富了材料力学的相关理论。
关键词：非线性泛函分析；弹性梁；正解；GuoKrasnoselskii不动点定理；材料力学
中图分类号：O175.8MSC（2010）主题分类：34B05文献标志码：A
收稿日期：20160516；修回日期：20161228；责任编辑：张军基金项目：国家自然科学基金（11361047）第一作者简介：鞠梦兰（1991—），女，重庆人，硕士研究生，主要从事非线性算子方面的研究。通信作者：王文霞教授。Email：wwxgg@126.com
考察边值问题：
正解的存在性，其中： 。 由于p（t）只在（0，1）上有定义，因此式（1）中的方程在t=0，1允许有奇性。BVP（1）的正解指的是满足u（t）>0，0 1预备和记号
引理1设
的格林函数。
引理2
下面给出一些记号：
特别地，若α=14，β=34，p（t）=1，则有τ=196，A=124，B=1288。
设E=C[0，1]，其中的范数定义为 则E为一实Banach空间。令 则K为E中的锥。 记
下面定义算子Tλ： 其中G（t，s）由式（2）给出。则易知u是BVP（1）的解等价于u是Tλ的不动点。引理3Tλ是K→K全连续算子。证明设u∈K，由 及Tλ的定义知mint∈[0，1]（Tλu）（t）≥0。另一方面，
即Tλ（K）K，由f与p的连续性易得Tλ的连续性。下证Tλ是紧的。 令 ，设ΩK为有界集，显然Tλ（K）K已经保证T是有界的。由于G（t，s）的一致连续性，故对任意的ε>0，存在δ>0，当
因此，T是等度连续的。由ArzelaAscoli定理紧性得证。从而Tλ是全连续的。定理1[20]设E为实Banach空间，KE为锥，Ω1和Ω2是E中的有界开子集，并且0∈Ω1，1Ω2，若全连续算子 K满足下述条件之一：
则T在K∩（2/Ω1）中至少有1个不动点。引理4设存在c1，c2>0，且c1≠c2，使得：
则BVP（1）至少有1个正解。证明BVP（1）的有解性等价于Tλ的不动点。不失一般性，不妨设c2>c1，一方面，若u∈Kc2，则 由式（4）知f（t，u（t））≤c2λA，从而有
另一方面，若 同理由式（4）知 从而有
由定理1可知， 从而u*（t）是BVP（1）的正解。
2主要结论
记： 定理2若λ2<λ1，则对任意的λ∈（λ2，λ1），BVP（1）至少有1个正解。证明由λ∈（λ2，λ1），則存在0 从而产生矛盾。由引理4知BVP（1）至少有1个正解u1，a≤‖u1‖≤b。定理3若f0=f∞=∞，则对任意的λ∈（0，λ1），BVP（1）至少有2个正解。 证明记：
易知h 连续，且 。则存在r0∈（0，∞）使得 。对任意的λ∈（0，λ1），存在 使得
这样找到了两对数对{b1，a1}，{a2，b2}使得：
由引理4知BVP（1）至少有2个正解 。定理4若f0=f∞=0，则对任意的 BVP（1）至少有2个正解。 证明记：
易知g
由引理4知BVP（1）至少有2个正解 。定理5设0 从而产生矛盾，得证。定理6设0uτBf（t，u），从而有λτBf（t，u）>u。设u∈K是BVP（1）的解，则有
从而产生矛盾，得证。
3例子 例1考虑边值问题
由定理3可知对任意的λ∈（0，24），BVP（1）至少有2个正解。例2考虑边值问题
。经计算M=276 480，由定理6知对任意的 不存在正解。
参考文献/References：
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[14]陸海霞，孙经先.一类四阶非线性微分方程两点边值问题的正解[J].数学的实践与认识，2014，44（8）：229235.
LU Haixia， SUN Jingxian. Positive solution of twopoint boundary value problems for fourthorder nonlinear differential equation[J]. Mathematics in Practice and Theory， 2014， 44（8）： 229235.
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关键词：非线性泛函分析；弹性梁；正解；GuoKrasnoselskii不动点定理；材料力学
中图分类号：O175.8MSC（2010）主题分类：34B05文献标志码：A
收稿日期：20160516；修回日期：20161228；责任编辑：张军基金项目：国家自然科学基金（11361047）第一作者简介：鞠梦兰（1991—），女，重庆人，硕士研究生，主要从事非线性算子方面的研究。通信作者：王文霞教授。Email：wwxgg@126.com
考察边值问题：
正解的存在性，其中： 。 由于p（t）只在（0，1）上有定义，因此式（1）中的方程在t=0，1允许有奇性。BVP（1）的正解指的是满足u（t）>0，0
引理1设
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引理2
下面给出一些记号：
特别地，若α=14，β=34，p（t）=1，则有τ=196，A=124，B=1288。
设E=C[0，1]，其中的范数定义为 则E为一实Banach空间。令 则K为E中的锥。 记
下面定义算子Tλ： 其中G（t，s）由式（2）给出。则易知u是BVP（1）的解等价于u是Tλ的不动点。引理3Tλ是K→K全连续算子。证明设u∈K，由 及Tλ的定义知mint∈[0，1]（Tλu）（t）≥0。另一方面，
即Tλ（K）K，由f与p的连续性易得Tλ的连续性。下证Tλ是紧的。 令 ，设ΩK为有界集，显然Tλ（K）K已经保证T是有界的。由于G（t，s）的一致连续性，故对任意的ε>0，存在δ>0，当
因此，T是等度连续的。由ArzelaAscoli定理紧性得证。从而Tλ是全连续的。定理1[20]设E为实Banach空间，KE为锥，Ω1和Ω2是E中的有界开子集，并且0∈Ω1，1Ω2，若全连续算子 K满足下述条件之一：
则T在K∩（2/Ω1）中至少有1个不动点。引理4设存在c1，c2>0，且c1≠c2，使得：
则BVP（1）至少有1个正解。证明BVP（1）的有解性等价于Tλ的不动点。不失一般性，不妨设c2>c1，一方面，若u∈Kc2，则 由式（4）知f（t，u（t））≤c2λA，从而有
另一方面，若 同理由式（4）知 从而有
由定理1可知， 从而u*（t）是BVP（1）的正解。
2主要结论
记： 定理2若λ2<λ1，则对任意的λ∈（λ2，λ1），BVP（1）至少有1个正解。证明由λ∈（λ2，λ1），則存在0
易知h 连续，且 。则存在r0∈（0，∞）使得 。对任意的λ∈（0，λ1），存在 使得
这样找到了两对数对{b1，a1}，{a2，b2}使得：
由引理4知BVP（1）至少有2个正解 。定理4若f0=f∞=0，则对任意的 BVP（1）至少有2个正解。 证明记：
易知g
由引理4知BVP（1）至少有2个正解 。定理5设0
从而产生矛盾，得证。
3例子 例1考虑边值问题
由定理3可知对任意的λ∈（0，24），BVP（1）至少有2个正解。例2考虑边值问题
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