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【中图分类号】G623.5 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）16-0146-02
据说，唐朝诗人贾岛喜欢骑驴做诗。一日，偶得“鸟宿池边树，僧敲（推）月下门”两句，甚为自得。然而，后一句是用“僧敲月下门”，还是用“僧推月下门”却颇费思量，苦吟良久，仍不能做出选择。于是，此后便有了“推敲”一说。推敲是一种严谨的态度，因为需要推敲的往往不是泾渭分明的对与错，而是属于两可之间，所谓“增一分则白，减一分则黑”，追求的是一种更合理、更完美的境界；推敲也是一个智慧参与和生成的过程，其中固然有“心求通而未达，口欲言而不能”的焦灼，但更有字斟句酌后的认识升华和反复琢磨后的豁然开朗。对于小学数学教师来说，这样的过程能使我们更加全面地了解相关知识的背景，更加透彻地领会教材编写的意图，更加准确地把握数学问题的实质，进而使我们的教学更加富有灵气和深度。
一、为什么要在具体情境中比较大小
新课程标准数学实验教材把分数的认识分三次安排。第一次安排在三年级（上册），侧重于帮助学生通过操作和观察，认识到“把一个物体或一个图形平均分成若干份，这样的一份或几份可以用几分之一或几分之几来表示”；第二次安排在三年级（下册），侧重于帮助学生通过操作和观察，认识到“把一些物体组成的整体平均分成若干份，这样的一份或几份也可以用几分之一或几分之几来表示”；第三次安排在五年级（下册），引导学生把一个物体、一个图形、一个计量单位或一些物体组成的整体抽象为自然数1（也就是单位“1”），从而建立更具数学意义的分数概念。其中，三年级（上册）还安排比较两个分子是1或分母相同的分数的大小。然而，问题是：这里的分数大小的比较能否脱离具体的情境？答案当然是否定的。不妨推敲一下：如果都以自然数1作标准，也就是从抽象的数的层面来看，1/2当然大于1/4，这是毫无疑问的。但如果每个分数都是把某个具体对象平均分后得到的，则其大小就难说了。比如一个1平方厘米正方形的1/2就小于一个1平方分米正方形的1/4。而学生初步认识分数时，只是结合具体的物体或图形进行的，还没有建立单位“1”的概念，因此，比较相应分数的大小时是不能脱离具体情境的。事实上，三年级（上册）教材在让学生比较分数大小时，也都提供了相应的图形或现实情境。数学知识具有严密的逻辑性，但小学数学的内容却往往具有接受的阶段性。这种严密性和阶段性之间合适的结合点，需要我们在推敲中细心寻找。
二、用商不变的规律推导整数除以分数的算法是否合理
新课程标准数学实验教材六年级（上册）教学整数除以分数的计算时，一共安排了两道例题。第一道例题让学生借助直观操作分别探索4 ÷1/2、4 ÷ 1/3和4 ÷ 1/4的计算结果，并在探索中初步感知：一个整数除以几分之一，就等于这个数乘几分之一的倒数。第二道例题让学生继续借助直观操作探索4 ÷ 2/3的计算结果，进一步丰富对整数除以分数计算方法的感知。由此，引导学生比较得到的几组等式，归纳出整数除以分数的计算方法。实际教学时，有的教师却抛开上述思路，而改用商不变的规律推导算法，如4 ÷ 2/3 = （4 × 3/2） ÷ （2/3 × 3/2） = 4 × 3/2 ÷ 1= 4 × 3/2。那么，后一种思路是否合理呢？如果单从“便于学生理解”这个角度来看，似乎无可挑剔。但仔细推敲便可发现破绽：上述推理的大前提是“分数除法运算中是存在商不变规律的”，然而，分数除法运算中是否存在商不变的规律，却需要在分数除法的运算中归纳。再则，用运算的规律去推导相应的运算方法，这是逻辑上的一种因果倒置，是不合理的。学生探索计算方法的思路往往是多样的，但教师应该引领学生结合已有的知识经验合乎逻辑地展开思考，而这种“逻辑线索”则需要我们在推敲中梳理、领悟。
三、由三条线段围成的图形一定是三角形吗
如果让学生从一组平面图形中找出三角形，哪怕是小学低年级的学生，这也是一件很容易完成的事情；如果让学生用小棒摆一个三角形、用纸折一个三角形，或用笔画一个三角形，相信也并非难事；进而，让学生稍加观察，归纳出“三角形有3条边、3个角”之类的基本特征，估计也不会有什么困难。但是，如果我们试图要求学生自主地说出“由三条线段围成的图形叫三角形”这样的数学语言来，恐怕就不那么简单了。很长一段时间里，教师们都在想办法努力破解这一难点，然而大都无功而返。上学期，我们使用新课程标准数学实验教材四年级（下册）教学三角形的认识时，却发现教材居然没有这个结论，而是在学生动手操作的基础上，给出了如下描述：“像这样的图形叫做三角形。”这不仅引发了教材是否需要呈现这一结论的争议，也引发了大家对上述结论自身准确性的推敲。这不，一经推敲，便有人举出了反例：如下的图形是否也是由三条线段围成的？但它却不是三角形。那么，三角形的定义究竟是怎样的呢？查阅相关资料，终于找到了答案：在同一平面内，由不在同一条直线上的几条线段顺次首尾相接，所得到的图形叫折线；如果一条折线的首尾两个端点正好重合，这样的折线叫封闭折线；封闭折线所围成的图形叫多边形；只有三条边的多边形叫三角形。显然，上述这一串定义不便于向小学生传授，更不便于让小学生自主发现。由此看来，当某个数学结论过于抽象，不便于下定义，也不便于描述时，采用“像……叫（是）……”的方式引导学生体会，倒不失为一种智慧的选择。
四、依据什么判断一个数是不是3的倍数
教学3的倍数的特征时，教材提供了一张1～100的数表，先让学生在表中圈出3的倍数，初步感知3的倍数的特征；再让学生任意写出一个3的倍数，并在计数器上拨出来，通过观察每个数所用算珠的个数，归纳出：如果一个数是3的倍数，那么这个数各个数位上的数相加的和一定是3的倍数。但这个结论却不能作为判断一个数是不是3的倍数的依据，因为判断时，需要先看一个数各个数位上的数相加的和是不是3的倍数，如果是，则可判定这个数是3的倍数。很显然，这里依据的是上述结论的逆命题。然而，原命题真，逆命题未必真，这是一个逻辑常识。换句话说，我们需要引导学生在上述结论的基础上，进一步延伸思考，以确认原命题的逆命题也是正确的。如此一来，教材中随例题安排的“试一试”，其意图就清楚了：引导学生通过对原命题的否命题的讨论，由对否命题的确认，体会原命题的逆命题也是正确的。
小学数学中的很多内容是互相联系的有机整体，对整体中各部分之间所存在的联系进行仔细推敲和深入思考，既有助于充分发挥整体所应有的各种功能，也有助于我们正确把握相关数学问题的拓展方向，从而收到事半功倍的教学效果。
据说，唐朝诗人贾岛喜欢骑驴做诗。一日，偶得“鸟宿池边树，僧敲（推）月下门”两句，甚为自得。然而，后一句是用“僧敲月下门”，还是用“僧推月下门”却颇费思量，苦吟良久，仍不能做出选择。于是，此后便有了“推敲”一说。推敲是一种严谨的态度，因为需要推敲的往往不是泾渭分明的对与错，而是属于两可之间，所谓“增一分则白，减一分则黑”，追求的是一种更合理、更完美的境界；推敲也是一个智慧参与和生成的过程，其中固然有“心求通而未达，口欲言而不能”的焦灼，但更有字斟句酌后的认识升华和反复琢磨后的豁然开朗。对于小学数学教师来说，这样的过程能使我们更加全面地了解相关知识的背景，更加透彻地领会教材编写的意图，更加准确地把握数学问题的实质，进而使我们的教学更加富有灵气和深度。
一、为什么要在具体情境中比较大小
新课程标准数学实验教材把分数的认识分三次安排。第一次安排在三年级（上册），侧重于帮助学生通过操作和观察，认识到“把一个物体或一个图形平均分成若干份，这样的一份或几份可以用几分之一或几分之几来表示”；第二次安排在三年级（下册），侧重于帮助学生通过操作和观察，认识到“把一些物体组成的整体平均分成若干份，这样的一份或几份也可以用几分之一或几分之几来表示”；第三次安排在五年级（下册），引导学生把一个物体、一个图形、一个计量单位或一些物体组成的整体抽象为自然数1（也就是单位“1”），从而建立更具数学意义的分数概念。其中，三年级（上册）还安排比较两个分子是1或分母相同的分数的大小。然而，问题是：这里的分数大小的比较能否脱离具体的情境？答案当然是否定的。不妨推敲一下：如果都以自然数1作标准，也就是从抽象的数的层面来看，1/2当然大于1/4，这是毫无疑问的。但如果每个分数都是把某个具体对象平均分后得到的，则其大小就难说了。比如一个1平方厘米正方形的1/2就小于一个1平方分米正方形的1/4。而学生初步认识分数时，只是结合具体的物体或图形进行的，还没有建立单位“1”的概念，因此，比较相应分数的大小时是不能脱离具体情境的。事实上，三年级（上册）教材在让学生比较分数大小时，也都提供了相应的图形或现实情境。数学知识具有严密的逻辑性，但小学数学的内容却往往具有接受的阶段性。这种严密性和阶段性之间合适的结合点，需要我们在推敲中细心寻找。
二、用商不变的规律推导整数除以分数的算法是否合理
新课程标准数学实验教材六年级（上册）教学整数除以分数的计算时，一共安排了两道例题。第一道例题让学生借助直观操作分别探索4 ÷1/2、4 ÷ 1/3和4 ÷ 1/4的计算结果，并在探索中初步感知：一个整数除以几分之一，就等于这个数乘几分之一的倒数。第二道例题让学生继续借助直观操作探索4 ÷ 2/3的计算结果，进一步丰富对整数除以分数计算方法的感知。由此，引导学生比较得到的几组等式，归纳出整数除以分数的计算方法。实际教学时，有的教师却抛开上述思路，而改用商不变的规律推导算法，如4 ÷ 2/3 = （4 × 3/2） ÷ （2/3 × 3/2） = 4 × 3/2 ÷ 1= 4 × 3/2。那么，后一种思路是否合理呢？如果单从“便于学生理解”这个角度来看，似乎无可挑剔。但仔细推敲便可发现破绽：上述推理的大前提是“分数除法运算中是存在商不变规律的”，然而，分数除法运算中是否存在商不变的规律，却需要在分数除法的运算中归纳。再则，用运算的规律去推导相应的运算方法，这是逻辑上的一种因果倒置，是不合理的。学生探索计算方法的思路往往是多样的，但教师应该引领学生结合已有的知识经验合乎逻辑地展开思考，而这种“逻辑线索”则需要我们在推敲中梳理、领悟。
三、由三条线段围成的图形一定是三角形吗
如果让学生从一组平面图形中找出三角形，哪怕是小学低年级的学生，这也是一件很容易完成的事情；如果让学生用小棒摆一个三角形、用纸折一个三角形，或用笔画一个三角形，相信也并非难事；进而，让学生稍加观察，归纳出“三角形有3条边、3个角”之类的基本特征，估计也不会有什么困难。但是，如果我们试图要求学生自主地说出“由三条线段围成的图形叫三角形”这样的数学语言来，恐怕就不那么简单了。很长一段时间里，教师们都在想办法努力破解这一难点，然而大都无功而返。上学期，我们使用新课程标准数学实验教材四年级（下册）教学三角形的认识时，却发现教材居然没有这个结论，而是在学生动手操作的基础上，给出了如下描述：“像这样的图形叫做三角形。”这不仅引发了教材是否需要呈现这一结论的争议，也引发了大家对上述结论自身准确性的推敲。这不，一经推敲，便有人举出了反例：如下的图形是否也是由三条线段围成的？但它却不是三角形。那么，三角形的定义究竟是怎样的呢？查阅相关资料，终于找到了答案：在同一平面内，由不在同一条直线上的几条线段顺次首尾相接，所得到的图形叫折线；如果一条折线的首尾两个端点正好重合，这样的折线叫封闭折线；封闭折线所围成的图形叫多边形；只有三条边的多边形叫三角形。显然，上述这一串定义不便于向小学生传授，更不便于让小学生自主发现。由此看来，当某个数学结论过于抽象，不便于下定义，也不便于描述时，采用“像……叫（是）……”的方式引导学生体会，倒不失为一种智慧的选择。
四、依据什么判断一个数是不是3的倍数
教学3的倍数的特征时，教材提供了一张1～100的数表，先让学生在表中圈出3的倍数，初步感知3的倍数的特征；再让学生任意写出一个3的倍数，并在计数器上拨出来，通过观察每个数所用算珠的个数，归纳出：如果一个数是3的倍数，那么这个数各个数位上的数相加的和一定是3的倍数。但这个结论却不能作为判断一个数是不是3的倍数的依据，因为判断时，需要先看一个数各个数位上的数相加的和是不是3的倍数，如果是，则可判定这个数是3的倍数。很显然，这里依据的是上述结论的逆命题。然而，原命题真，逆命题未必真，这是一个逻辑常识。换句话说，我们需要引导学生在上述结论的基础上，进一步延伸思考，以确认原命题的逆命题也是正确的。如此一来，教材中随例题安排的“试一试”，其意图就清楚了：引导学生通过对原命题的否命题的讨论，由对否命题的确认，体会原命题的逆命题也是正确的。
小学数学中的很多内容是互相联系的有机整体，对整体中各部分之间所存在的联系进行仔细推敲和深入思考，既有助于充分发挥整体所应有的各种功能，也有助于我们正确把握相关数学问题的拓展方向，从而收到事半功倍的教学效果。