对于大学数学专业的学生来说, 数学分析因其严谨的思辨性、推理性而堪称是一大难点,如何加深理解这些定理,如何寻求一些好的途径和方法,用简单通俗、直观的语言或图形,以便帮助学生解决习题。文章思考了一个定理,还给出了用多叉树方法来解决多元复合函数求偏导数的问题。
　　定理17.7 若 fxy (x,y) 和fyx(x,y) 都在点(x0,y0)连续,则fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0)
　　现将该定理的条件做变动:若fxy (x,y) 在[a ,b]上连续,则fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0)
　　知识储备:1 若二元函数在点(x0,y0)处连续,则在x=x0 ,y=y0处连续。
　　2 若二元连续函数存在重极限和累次极限,则它们必定相等。
　　3 fxy(x0,y0)=
　　
　　fyx(x0,y0 )=
　　证:不妨设(x0,y0)为(a, b)上的任意一点,令
　　F(△x, △y)=f(x0+△x ,y0+△y)- f(x0+△x ,y0)- f(x0 ,y0+△y)+f(x0+y0)
　　Φ(x)=f(x, y0+△y ) - f(x, y0)
　　于是F(△x, △y)=φ(x0+△x)-φ(x0) (1)
　　由于函数f存在关于x的偏导数,所以函数可导。应用一元函数的拉格朗日中值定理有
　　φ(x0+△x)-φ(x0)=φ’(x0+θ1 △x) △x=[fx(x0+θ1△x, y0+△y)-fx(x0+θ1△x,y0)] △x (0<1 <1)
　　又由函数存在关于y的偏导数,故对以y自变量的函数fx(x0+θ1△x,y)应用一元函数的拉格朗日中值定理,又使上式化为
　　φ(x0+△x)- φ(x0)= fxy (x0+θ1△x,y0+θ2△x)△x△y(0<1 , 2 <1)
　　由(1)则有 F(△x, △y)= fxy (x0+θ1△x,y0+θ2△x)△x△y(2)
　　将△x,△y除到左边, 可得
　　(3)式的左边= fxy(x0,y0)
　　因为fxy (x,y) 在任意点(x0,y0)处连续,则fxy (x,y)在分别在x=x0, y=y0 处连续
　　由fxy (x,y)在x=x0处连续,可知
　　lim△x→0 fxy(x0+θ1△x,y0+θ2△x)= fxy (x0,y0+θ2△x)
　　fxy (x0,y0+θ2△x)在y=y0 连续
　　lim△y→0 fxy(x0,y0+θ2△x)= fxy(x0,y0) 即有
　　lim△y→0 lim△x→0 fxy(x0+θ1△x,y0+θ2△x)= fxy(x0,y0)即
　　lim△x→0 lim△y→0 fxy(x0,y0+θ2△x)=fxy(x0,y0)(4)
　　同理可知,对于(3)式,令△y 0,△x0,可得
　　(3)式的左边= fyx(x0,y0) ,右边= fxy(x0,y0) (5)
　　由(4),(5)两个式子可知,有fxy(x0,y0)= fyx(x0,y0),命题得证。
　　说明: 1 在目前的数学分析习题当中,如果不加说明,通常认为混合偏导数在区间上连续,从而混合偏导数与求导顺序无关。
　　 2 有关多元函数的相关证明,通常将其和一元函数建立联系,从而利用一元函数的性质来证明多元函数。例如本题当中就很好的利用了一元函数中值定理及连续性的性质。
　　多叉树方法来解决多元复合函数求偏导数问题
　　例题1 设Z=f(x,x/y),求Zx, Zxy
　　解 这里z是以x和y为自变量的符合函数,它也可改写成如下形式:z=f(u,v),u=x,v=x/y
　　反馈:多元函数求偏导数,通常的做法是用链式法则进行相关求解,然而在多数计算情况下,我们经常是漏掉某个项,或缺少“交叉项”,往往是因为某个小处而造成计算结果的错误。现给大家推荐一种通俗、直观的方法,即图论中的二叉树法,来进行多元复合函数求微分或偏导数。
　　解:仍旧以上面的例题为例
　　利用换元的结果,其二叉树分布如下
　　对于上述例题,用换元的方法即可进行求解,多叉树法的优点也不是多明显,接下来的一道例题,如果用换元法,很有可能会遗漏某个环节或交叉项,而如果将其和多叉树结合起来,计算过程相对会更顺利一些。
　　例题3:Z=z(f1(f2(x,y),f3(xy,x+y)),g1(g2(x,6y),g3(x,2y)),h1(h2(x2+y,y),h3(8x,y))),求Zx,Zy
　　分析:令a= f1(f2(x,y),f3(xy,x+y)),b= g1(g2(x,6y),g3(x,2y))c= h1(h2(x2+y,y),h3(8x,y)),d= f2(x,y),e= f3(xy,x+y),
　　f= g2(x,6y),g= g3(x,2y),h= h2(x2+y,y),i= h3(8x,y)),j= xy,k= x+y,l= x2+y,则对应的多叉树为
　　由多叉树图可知,对x的一阶偏导数共有7个路径,分别是zadx,zaejx,zaekx,zbfx,zbgx,zchlx,zcix.
　　 对y的一阶偏导数共有8个路径,分别是zady,zaejy,zaeky,zbfy,zbgy,zchly,zchy,zciy.
　　 运用多叉树方法求解偏导数的一般步骤:
　　 1 运用换元的方法,有外至内依次进行换元,直至换到所要求的自变量。
　　 2画出由多个变元构成的多叉树。
　　 3依据问题,从左至右依次找出所求变量的路径。
　　 4 按照复合函数的链式法则求偏导数。多数情况下,在涉及二阶以上的偏导数时,会涉及到乘积求偏导数问题,要按照乘积求导法则进行求导。
　　多元函数运用多叉树法,为求解多元函数微分及偏导数提供了一个很好的途径,不仅有助于学生对于多元函数求偏导数有更加清楚的认识和理解,而且大大提高了学生求解多元函数偏导数的速度和质量,不失为一种好的方法。
　　数学的学习,不单纯只是接受的过程,更重要的是一个思考的过程,正是在这样的过程中,我们才会真正体会到数学所蕴藏的乐趣,望大家勤于思考,刻苦钻研,最终定能够收获丰硕的果实。
　　
　　参考文献:
　　[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].高等教育出版社.2001.
　　[2] 许绍浦.数学分析教程[M].南京大学出版社.
　　[3] 陈纪修.数学分析[M].高等教育出版社.
　　
　　(作者简介:秦登鹏,黄淮学院数学科学系教师。)