二面角问题因其需要充分运用立体几何第一章的线线、线面、面面关系，具有综合性强、灵活性大的特点，因此一直成为高考、会考的热点。本文结合一些典型的例题介绍了一些求二面角问题的方法。
　　
　　一、直接法
　　
　　直接法就是根据已知条件，首先作出二面角的平面角，再求平面角的方法，求作二面角平面角要用到两个半平面的公共棱，因此，求作二面角平面角又可分为有棱和未知棱两类。
　　1．求有公共棱二面角平面角的方法主要有
　　①利用定义，即在二面角€%Z-l-€%[的棱l上任取一点，然后在两个半平面内分别作棱的垂线a，b，则这两条垂线a，b所成的角即为二面角的平面角。（如图1）
　　
　　
　　例1．在三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=60°，求二面角A-PB-C的余弦值。
　　分析：如图2，所求二面角与底面ABC所在的位置无关，故不妨利用定义求解。
　　
　　
　　略解：在二面角的棱PB上任取一点Q，在半平面PBA和半平面PBC上作QM⊥PB，QN⊥PB，则由定义可得∠MQN即为二面角的平面角。设PM=a，则在Rt△PQM和Rt△PQN中可求得QM=QN=a；又由△PQN≌△PQM得PN=a,故在正△PMN中MN=a，在△MQN中由余弦定理得cos∠MQN=1/3，即二面角的余弦值为1/3。
　　②利用三垂线定理，即从半平面€%Z内的任一点A出发向另一个半平面€%[引一条直线AH，过H作棱l的垂线HG，垂足为G，连AG，则由三垂线定理可证l⊥AG，故∠AGH就是二面角€%Z-l-€%[的平面角。
　　三垂线定理是求解二面角问题的最常用的方法，其关键是寻找或求作一条垂线，即从第一个半平面内的某一个点出发，且垂直于另一个半平面。（如图3）
　　
　　
　　例2．如图4，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E是C C1的中点，求二面角B-B1E-D的余弦值。
　　分析：图中二面角的二个半平面分别为△DE B1所在的半平面和BE B1所在的半平面，它们的交线即二面角的棱B1E。不难找到DC即为从其中一个半平面出发，并且垂直于另一个半平面的直线。
　　
　　注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。