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数学史类新题对初中教师也许既陌生又熟悉,统计北京师范大学版初中数学七年级到九年级教材可以发现,关于数学史类新题已经出现在课后练习、习题、复习等多处,但是数量非常少,在三个年级中仅有16道题,教材将古代数学问题、思想方法纳入了其中,并且基于数学史的数学教材的编写,其价值已经得到了数学教育界的认可,但是基于数学史的新题的开发尚未形成具体的方法,本文从三个方面研究了新题的开发方法,希望能够更大程度的发挥数学史在中学数学教育中的应用价值。
以数学名题——毕达哥拉斯的羊群问题为例,进行分析。内容如下:
一天,毕达哥拉斯见到一牧主赶着一群羊,便上前问道:“先生,您这群羊有多少只?”
牧主刚想回答,可一见是毕氏便说:“我的羊按单数分成数目不同的若干堆后,还剩下两只,这最多的一堆儿恰好是17只。”
毕氏脱口而出,牧主十分惊愕,你知道是多少只吗?
毕达哥拉斯是用下面的方式给牧主进行解答的:如图 1
所以答案为1 3 5 7 9 11 15 17=92,81 2=83 (只)
上面的数学史故事,是基于评价、训练学生的思维和心理表征的角度进行编制的,所以会得到不同的效果。
一、基于评价的开发方法
1.什么是基于评价的开发方法
传统数学题的主要功能是进行测量,而不是进行评价。测量强调数量化,要求把数学教育过程中的某些信息尽可能量化,以形成测量的数据和资料;评价除包括这些测定的数据和资料外,重在事实的解释、诊断和价值的判断,量与质并重,特别从质的角度考虑。例如考试分数就是测量问题,而分析、判断学生的知识、能力水平的则是评价问题。所以基于评价的开发数学史新题的方法是有别于传统的试题的,传统试题只重视测量,而忽视了在题中也可以对学生进行评价,一道题编者如果去从不同角度去进行设计,那么会体现不同的价值的。
2.用此种方法开发新题
由毕达哥拉斯的羊群问题改编,题如下:
结合图1,分析一群羊按单数分成数目不同的若干堆后,还剩下两只,这最多的一堆儿恰好是17只。
问题1.你知道总共有多少只羊吗?
问题2.请用字母n 来表示上面式子的规律,并计算共有多少只羊?
把问题1 和问题2 作如下的比较:
问题1 就是传统的问法,根据已知条件,求结论,无论学生理没理解这个规律,这个问题都能解决,也就是通过测量学生的分数这时并不能看出学生是否已经具有了某种能力;问题2,首先要求找规律,也就是对学生的几何直观能力的考察,如果规律找不到,则可以判断该同学的几何直观能力和逻辑推理能力稍弱。如果,规律挖掘是对的,而计算结果是错的,学生的运算能力有待提高。从而通过学生的分数就可分析、判断学生的知识、能力的水平。所以,我们提倡从评价的角度去编题,重视数学题的诊断功能。
二、基于训练思维的开发方法
1.什么是基于训练思维的开发方法
数学思维通常是指人们在数学活动中的思想或心理的过程与表现。数学是思维的一个展现平台,发挥平台的真正功能,需要正确的思想指导、方法运用和不折不扣的训练。数学史习题能够揭示数学知识的现实来源和应用,引导学生体会真正的数学思维过程,创造一种探索与研究的数学学习气氛,最好的体现就是在题的设计上。有人评价探究性问题、开放性问题是最富有教育价值的数学问题。它往往没有固定的、现成的模式可循,并且对于答案开放式的问题,答案并不唯一,所以仅靠死记硬背、机械模仿不可能找到问题的答案的。因而,它要求我们必须充分调动自己的知识储备,积极开展智力活动,从多角度用多种思维方法进行思考和探索。
2.用此种方法开发新题
把毕达哥拉斯的羊群问题改编如下:
结合图1,分析一群羊按单数分成数目不同的若干堆后,还剩下两只,这最多的一堆儿恰好是17只。
问题3:请你写出满足上述规律的另外一组数。并用上面的规律计算共有多少只羊?
问题3是在毕达哥拉斯的羊群问题上,把毕氏的分析过程作为题干的一部分,问题是写出满足上述规律的另外一组数,明显答案是不唯一的,所以问题3 是一道结论开放的开放性问题。开放性问题是培养学生探索能力和创造能力,达到发展思维能力、增加思维弹性、训练正确思维的有效工具。本道开放性练习题的优点是帮助学生学会适当的将问题情境数学化,充分调动学生生活中的表象储备和生活积累的经验,激活学生的想象力,让学生的思维在训练中得到提高和发展,有助于增加学生的思维弹性,促使学生运用自己的知识和技能寻找数学规律或关系,发展学生创新意识和创造能力。
三、基于学生心理表征的开发方法
1.什么是基于学生心理表征的开发方法
学生对课程内容的认知历程包含感知、记忆、想象、思维等一系列的认知活动。如何根据学生的心理特点将知识有效地传授给学生,使学生的学习达到事半功倍的效果是教育者共同关注的问题。20世纪70年代,数学史对数学教育的价值在西方数学教育界达成共识:利用数学史可以激发学生的学习兴趣,培养学生的数学精神,启发学生的人格成长,预见学生的认知发展,指导并丰富教师的课堂教学,促进学生对数学的理解和对数学价值的认识。
2.用此种方法开发新题
故事改编如下:一天,毕达哥拉斯见到一牧主赶着一群羊,上前问道: “先生,您这群羊有多少只?”
牧主刚想回答,可一见是毕氏便说:“我的羊按单数分成数目不同的若干堆后,还剩下两只,这最多的一堆儿恰好是17只。”毕达哥拉斯思考了一下就回答出来了。你知道他是怎样又快有准的计算出来的吗?
本道题的特点是摘录了故事的全部内容,而没有单独地只抽象出数学题,所以一定要注意,从在数学史料中找来有趣的故事作为问题情境,必须在符合初中学生身心成长的特点和接受能力的基础上。本题展现出如下的优势:毕达哥拉斯的羊群问题的情境本身对学生而言比较新奇,容易调动学生学习的积极性;并且这种新奇激发了学生的认知冲突,也能激发学生巨大的求知欲和学习内驱力,激发学生解决问题的欲望,从而形成学习的内在动机。
结语
总之,基于数学史开发的数学题一改以往枯燥单调的形式,学生在解题的过程中理解了公式的作用,巩固了公式;并有利于学生对数学知识的掌握和数学能力的提高,有利于学生对教学产生积极的思考,有利于辩证唯物主义世界观的形成,有利于学生了解数学的应用价值和文化价值,有利于培养学生为真理而献身的伟大人格和崇高精神。它们使学生意识到,数学是整个人类的财富。
(责任编辑:张华伟)
以数学名题——毕达哥拉斯的羊群问题为例,进行分析。内容如下:
一天,毕达哥拉斯见到一牧主赶着一群羊,便上前问道:“先生,您这群羊有多少只?”
牧主刚想回答,可一见是毕氏便说:“我的羊按单数分成数目不同的若干堆后,还剩下两只,这最多的一堆儿恰好是17只。”
毕氏脱口而出,牧主十分惊愕,你知道是多少只吗?
毕达哥拉斯是用下面的方式给牧主进行解答的:如图 1
所以答案为1 3 5 7 9 11 15 17=92,81 2=83 (只)
上面的数学史故事,是基于评价、训练学生的思维和心理表征的角度进行编制的,所以会得到不同的效果。
一、基于评价的开发方法
1.什么是基于评价的开发方法
传统数学题的主要功能是进行测量,而不是进行评价。测量强调数量化,要求把数学教育过程中的某些信息尽可能量化,以形成测量的数据和资料;评价除包括这些测定的数据和资料外,重在事实的解释、诊断和价值的判断,量与质并重,特别从质的角度考虑。例如考试分数就是测量问题,而分析、判断学生的知识、能力水平的则是评价问题。所以基于评价的开发数学史新题的方法是有别于传统的试题的,传统试题只重视测量,而忽视了在题中也可以对学生进行评价,一道题编者如果去从不同角度去进行设计,那么会体现不同的价值的。
2.用此种方法开发新题
由毕达哥拉斯的羊群问题改编,题如下:
结合图1,分析一群羊按单数分成数目不同的若干堆后,还剩下两只,这最多的一堆儿恰好是17只。
问题1.你知道总共有多少只羊吗?
问题2.请用字母n 来表示上面式子的规律,并计算共有多少只羊?
把问题1 和问题2 作如下的比较:
问题1 就是传统的问法,根据已知条件,求结论,无论学生理没理解这个规律,这个问题都能解决,也就是通过测量学生的分数这时并不能看出学生是否已经具有了某种能力;问题2,首先要求找规律,也就是对学生的几何直观能力的考察,如果规律找不到,则可以判断该同学的几何直观能力和逻辑推理能力稍弱。如果,规律挖掘是对的,而计算结果是错的,学生的运算能力有待提高。从而通过学生的分数就可分析、判断学生的知识、能力的水平。所以,我们提倡从评价的角度去编题,重视数学题的诊断功能。
二、基于训练思维的开发方法
1.什么是基于训练思维的开发方法
数学思维通常是指人们在数学活动中的思想或心理的过程与表现。数学是思维的一个展现平台,发挥平台的真正功能,需要正确的思想指导、方法运用和不折不扣的训练。数学史习题能够揭示数学知识的现实来源和应用,引导学生体会真正的数学思维过程,创造一种探索与研究的数学学习气氛,最好的体现就是在题的设计上。有人评价探究性问题、开放性问题是最富有教育价值的数学问题。它往往没有固定的、现成的模式可循,并且对于答案开放式的问题,答案并不唯一,所以仅靠死记硬背、机械模仿不可能找到问题的答案的。因而,它要求我们必须充分调动自己的知识储备,积极开展智力活动,从多角度用多种思维方法进行思考和探索。
2.用此种方法开发新题
把毕达哥拉斯的羊群问题改编如下:
结合图1,分析一群羊按单数分成数目不同的若干堆后,还剩下两只,这最多的一堆儿恰好是17只。
问题3:请你写出满足上述规律的另外一组数。并用上面的规律计算共有多少只羊?
问题3是在毕达哥拉斯的羊群问题上,把毕氏的分析过程作为题干的一部分,问题是写出满足上述规律的另外一组数,明显答案是不唯一的,所以问题3 是一道结论开放的开放性问题。开放性问题是培养学生探索能力和创造能力,达到发展思维能力、增加思维弹性、训练正确思维的有效工具。本道开放性练习题的优点是帮助学生学会适当的将问题情境数学化,充分调动学生生活中的表象储备和生活积累的经验,激活学生的想象力,让学生的思维在训练中得到提高和发展,有助于增加学生的思维弹性,促使学生运用自己的知识和技能寻找数学规律或关系,发展学生创新意识和创造能力。
三、基于学生心理表征的开发方法
1.什么是基于学生心理表征的开发方法
学生对课程内容的认知历程包含感知、记忆、想象、思维等一系列的认知活动。如何根据学生的心理特点将知识有效地传授给学生,使学生的学习达到事半功倍的效果是教育者共同关注的问题。20世纪70年代,数学史对数学教育的价值在西方数学教育界达成共识:利用数学史可以激发学生的学习兴趣,培养学生的数学精神,启发学生的人格成长,预见学生的认知发展,指导并丰富教师的课堂教学,促进学生对数学的理解和对数学价值的认识。
2.用此种方法开发新题
故事改编如下:一天,毕达哥拉斯见到一牧主赶着一群羊,上前问道: “先生,您这群羊有多少只?”
牧主刚想回答,可一见是毕氏便说:“我的羊按单数分成数目不同的若干堆后,还剩下两只,这最多的一堆儿恰好是17只。”毕达哥拉斯思考了一下就回答出来了。你知道他是怎样又快有准的计算出来的吗?
本道题的特点是摘录了故事的全部内容,而没有单独地只抽象出数学题,所以一定要注意,从在数学史料中找来有趣的故事作为问题情境,必须在符合初中学生身心成长的特点和接受能力的基础上。本题展现出如下的优势:毕达哥拉斯的羊群问题的情境本身对学生而言比较新奇,容易调动学生学习的积极性;并且这种新奇激发了学生的认知冲突,也能激发学生巨大的求知欲和学习内驱力,激发学生解决问题的欲望,从而形成学习的内在动机。
结语
总之,基于数学史开发的数学题一改以往枯燥单调的形式,学生在解题的过程中理解了公式的作用,巩固了公式;并有利于学生对数学知识的掌握和数学能力的提高,有利于学生对教学产生积极的思考,有利于辩证唯物主义世界观的形成,有利于学生了解数学的应用价值和文化价值,有利于培养学生为真理而献身的伟大人格和崇高精神。它们使学生意识到,数学是整个人类的财富。
(责任编辑:张华伟)