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[摘 要]通过变式教学有目的、有意识地引导学生从“变”中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，可以帮助学生沟通各知识点间的联系，从而更深刻地理解所学知识。在“搭配问题”的教学中，教师应引导学生在熟悉的情境变换、层层递进的变式学习、符号化的呈现形式和数学模型的逐步构建中，经历知识的形成过程，使思维活动逐步走向深入，凸显有序、全面的思维，并积累丰富的数学活动经验。
[关键词]变式教学；有序；数学思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）35-0041-02
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出 “数学课程内容，它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法”。数学课程标准的表述很清晰地表明，数学学习的根本目的是发展学生的思维，数学教学不仅要引导学生“知其然”（结果），更要引导学生“知其所以然”（原因与过程）；不仅要引导学生学习数学知识，更要发展学生的数学思维。
“搭配问题”是三年级下册“数学广角”的内容，属于排列与组合类的数学知识范畴。这部分内容的学习要求较二年级有明显提高，不仅内容复杂了，还需要学生通过操作实践、观察思考、交流讨论等活动探究事物的排列与组合，学会用符号表示事物，感受数学思想方法在现实生活中的应用，并发展有序地、全面地思考问题的意识。下面，笔者以“搭配问题”为例谈谈如何在有序的变式教学中发展学生的数学思维。
一、在熟悉的情境变换中，经历知识的形成过程
【情境一】六一儿童节到了，丽丽想穿着漂亮的衣服去参加儿童节活动，她的衣柜里有 件上装，
件下装，一共有几种搭配方法？
【情境二】丽丽穿好衣服后，准备吃早餐，早餐中饮料有 种，点心有 种，饮料和点心各选一种，一共有多少种不同的搭配方法？要想一周（7天）早餐的搭配都不一样，怎么办？
【情境三】吃完早餐，丽丽准备出门。她从家到学校必须经过邮局，从家到邮局有4条路可以走，从邮局到学校有3条路可以走，丽丽从家到学校有几种走法？
情境四：丽丽的好朋友明明从家到学校要经过公园，一共有8条路可以走，那么从家到公园，从公园到学校各有几条路？你能表示出来吗？
“数学教学要让学生经历知识的形成过程”是课程标准所倡导的理念之一。学生在教师创设的衣服搭配、早餐搭配、路线选择等熟悉的情境中，从已有的知识经验出发，进行自主探究、合作交流，经历探索数学思想方法的过程，把知识与方法用于解决实际的生活问题，加深了对数学知识的理解，切实体会到生活中处处有数学，感受到了“用数学”的快乐。
二、 在层层递进的变式学习中，思维活动逐步走向深入
情境一中的问题变式：
问题一：一件上装、两件下装，有几种搭配方法？（通过提问和操作板演，给出搭配的定义，强调搭配要一一对应）
问题二：两件上装、两件下装，有几种搭配方法？（以此引导学生找到解决问题的思考方向，为下面的活动做铺垫）
问题三：两件上装、三件下装，有几种搭配方法？（通过探究活动找到表示搭配方法的多种形式，并比较得出最优方法）
问题四：三件上装、三件下装，有几种搭配方法？（巩固、运用最优方法）
情境二中的问题变式：
问题一：饮料和点心各选一种，共有多少种不同的搭配方法？（先分类，再搭配，渗透分类的数学思想）
问题二：要想一周（7天）早餐的搭配都不一样，怎么办？（理解乘法算式的算理，拓宽学生思维的深度）
问题三：饮料和点心各增加一样后共有几种搭配方法？（提炼最优方法）
整个教学过程中，问题由易到难，逐层递进。在探究环节中，由简单的一配多问题情境变式为二配多问题情境，再提升为多配多问题情境。通过问题情境复杂化的变式，培养学生思维的深刻性。在搭配衣服时，由先确定上装变式为先确定下装，培养学生思维的灵活性。在巩固练习环节，由“3种点心和2种饮料，有几种搭配方法？”变式为“饮料和点心各增加一样后共有几种搭配方法？”拓宽了学生思维的广度。而后将“丽丽从家到邮局有4条路，从邮局到学校有3条路，丽丽从家到学校有几种不同的走法？”逆向变式为“明明从家到学校要经过公园，一共有8条路可以走，明明从家到公园，再从公园到学校各有几条路？”，培养了学生思维的创造性。
三、在符号化的呈现形式中凸显有序、全面的思考
[教学片段]
师：若现有两件上装和三件下装，共有几种搭配方法？
生1（数字与字母连线，如图1）：1代表白色上衣，2代表外套，A代表花裙子，B代表裤子，C代表短裙。有6种搭配方法。
生2（文字连线，如图2）：衣、衣分别表示白色上衣、外套；裙、裤、裙分别表示花裙子、裤子、短裙。有6种搭配方法。
生3（数字序号连线，如图3）：①②③④⑤分别表示白色上衣、外套、花裙子、裤子、短裙。有6种搭配方法。
生4（文字表述）：上衣—花裙子，上衣—裤子，上衣—短裙；外套—花裙子，外套—裤子，外套—短裙，共6种搭配方法。
……
本节课呈现了多种解决问题的方法和策略，体现了数形结合、分类讨论、有序等数学思想。学生通过写一写、画一画找到搭配方法并表示出来，生成丰富的教学资源，又通过不同的表达形式（文字、图画、图形、字母、数字等），展示思维过程和思考結果。一方面，学生学会了用更简洁的方式表示结果，体会并理解抽象的数学思想方法；另一方面，学生在活动中体会有序、全面地思考问题的方法，进而培养有序、全面思考问题的能力。
四、在数学模型的逐步构建中，积累数学活动经验
课程标准指出“数学教学要在呈现数学结果的同时注重学生已有经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、得到结果、解决问题的过程”。由此可见，数学模型是数学学习中不可或缺的元素。本节课，笔者首先创设“丽丽怎样搭配衣服”的问题情境，激活学生穿衣搭配的生活经验，让学生感受数学与生活的紧密联系，感知数学建模的重要性。其次，让学生在最简单的“一配多”到“二配多”再到“多配多”的操作、观察、分析、交流活动中，归纳提炼出搭配方法，初步构建数学模型，并通过练习，拓宽数学模型的外延，得到稳固的模型。
总的来说，教师要有实施变式教学的意识，并把握变式教学的实质。接近学生生活的问题情境创设，有梯度的问题设计，方法与规律的归纳，假设之后的新问题挑战，这些教学环节都是帮助学生在实践操作中去观察和思考，在交流讨论中有条理地说出自己的思考过程。教师的教学应以培养学生的数学兴趣、发展学生的数学思维为主线，让学生在多角度、全方位的学习活动中养成良好的思维习惯。
（责编 黄春香）
[关键词]变式教学；有序；数学思维
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2017）35-0041-02
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出 “数学课程内容，它不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想方法”。数学课程标准的表述很清晰地表明，数学学习的根本目的是发展学生的思维，数学教学不仅要引导学生“知其然”（结果），更要引导学生“知其所以然”（原因与过程）；不仅要引导学生学习数学知识，更要发展学生的数学思维。
“搭配问题”是三年级下册“数学广角”的内容，属于排列与组合类的数学知识范畴。这部分内容的学习要求较二年级有明显提高，不仅内容复杂了，还需要学生通过操作实践、观察思考、交流讨论等活动探究事物的排列与组合，学会用符号表示事物，感受数学思想方法在现实生活中的应用，并发展有序地、全面地思考问题的意识。下面，笔者以“搭配问题”为例谈谈如何在有序的变式教学中发展学生的数学思维。
一、在熟悉的情境变换中，经历知识的形成过程
【情境一】六一儿童节到了，丽丽想穿着漂亮的衣服去参加儿童节活动，她的衣柜里有 件上装，
件下装，一共有几种搭配方法？
【情境二】丽丽穿好衣服后，准备吃早餐，早餐中饮料有 种，点心有 种，饮料和点心各选一种，一共有多少种不同的搭配方法？要想一周（7天）早餐的搭配都不一样，怎么办？
【情境三】吃完早餐，丽丽准备出门。她从家到学校必须经过邮局，从家到邮局有4条路可以走，从邮局到学校有3条路可以走，丽丽从家到学校有几种走法？
情境四：丽丽的好朋友明明从家到学校要经过公园，一共有8条路可以走，那么从家到公园，从公园到学校各有几条路？你能表示出来吗？
“数学教学要让学生经历知识的形成过程”是课程标准所倡导的理念之一。学生在教师创设的衣服搭配、早餐搭配、路线选择等熟悉的情境中，从已有的知识经验出发，进行自主探究、合作交流，经历探索数学思想方法的过程，把知识与方法用于解决实际的生活问题，加深了对数学知识的理解，切实体会到生活中处处有数学，感受到了“用数学”的快乐。
二、 在层层递进的变式学习中，思维活动逐步走向深入
情境一中的问题变式：
问题一：一件上装、两件下装，有几种搭配方法？（通过提问和操作板演，给出搭配的定义，强调搭配要一一对应）
问题二：两件上装、两件下装，有几种搭配方法？（以此引导学生找到解决问题的思考方向，为下面的活动做铺垫）
问题三：两件上装、三件下装，有几种搭配方法？（通过探究活动找到表示搭配方法的多种形式，并比较得出最优方法）
问题四：三件上装、三件下装，有几种搭配方法？（巩固、运用最优方法）
情境二中的问题变式：
问题一：饮料和点心各选一种，共有多少种不同的搭配方法？（先分类，再搭配，渗透分类的数学思想）
问题二：要想一周（7天）早餐的搭配都不一样，怎么办？（理解乘法算式的算理，拓宽学生思维的深度）
问题三：饮料和点心各增加一样后共有几种搭配方法？（提炼最优方法）
整个教学过程中，问题由易到难，逐层递进。在探究环节中，由简单的一配多问题情境变式为二配多问题情境，再提升为多配多问题情境。通过问题情境复杂化的变式，培养学生思维的深刻性。在搭配衣服时，由先确定上装变式为先确定下装，培养学生思维的灵活性。在巩固练习环节，由“3种点心和2种饮料，有几种搭配方法？”变式为“饮料和点心各增加一样后共有几种搭配方法？”拓宽了学生思维的广度。而后将“丽丽从家到邮局有4条路，从邮局到学校有3条路，丽丽从家到学校有几种不同的走法？”逆向变式为“明明从家到学校要经过公园，一共有8条路可以走，明明从家到公园，再从公园到学校各有几条路？”，培养了学生思维的创造性。
三、在符号化的呈现形式中凸显有序、全面的思考
[教学片段]
师：若现有两件上装和三件下装，共有几种搭配方法？
生1（数字与字母连线，如图1）：1代表白色上衣，2代表外套，A代表花裙子，B代表裤子，C代表短裙。有6种搭配方法。
生2（文字连线，如图2）：衣、衣分别表示白色上衣、外套；裙、裤、裙分别表示花裙子、裤子、短裙。有6种搭配方法。
生3（数字序号连线，如图3）：①②③④⑤分别表示白色上衣、外套、花裙子、裤子、短裙。有6种搭配方法。
生4（文字表述）：上衣—花裙子，上衣—裤子，上衣—短裙；外套—花裙子，外套—裤子，外套—短裙，共6种搭配方法。
……
本节课呈现了多种解决问题的方法和策略，体现了数形结合、分类讨论、有序等数学思想。学生通过写一写、画一画找到搭配方法并表示出来，生成丰富的教学资源，又通过不同的表达形式（文字、图画、图形、字母、数字等），展示思维过程和思考結果。一方面，学生学会了用更简洁的方式表示结果，体会并理解抽象的数学思想方法；另一方面，学生在活动中体会有序、全面地思考问题的方法，进而培养有序、全面思考问题的能力。
四、在数学模型的逐步构建中，积累数学活动经验
课程标准指出“数学教学要在呈现数学结果的同时注重学生已有经验，让学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、得到结果、解决问题的过程”。由此可见，数学模型是数学学习中不可或缺的元素。本节课，笔者首先创设“丽丽怎样搭配衣服”的问题情境，激活学生穿衣搭配的生活经验，让学生感受数学与生活的紧密联系，感知数学建模的重要性。其次，让学生在最简单的“一配多”到“二配多”再到“多配多”的操作、观察、分析、交流活动中，归纳提炼出搭配方法，初步构建数学模型，并通过练习，拓宽数学模型的外延，得到稳固的模型。
总的来说，教师要有实施变式教学的意识，并把握变式教学的实质。接近学生生活的问题情境创设，有梯度的问题设计，方法与规律的归纳，假设之后的新问题挑战，这些教学环节都是帮助学生在实践操作中去观察和思考，在交流讨论中有条理地说出自己的思考过程。教师的教学应以培养学生的数学兴趣、发展学生的数学思维为主线，让学生在多角度、全方位的学习活动中养成良好的思维习惯。
（责编 黄春香）