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勾股定理揭示了直角三角形中三边之间的数量关系,是历年中考热点之一. 考查的主要内容由勾股定理的基本知识和简单运用,逐步发展到与勾股定理相联系的形式新颖、视点独特、内容丰富的创新型试题,巧妙地应用勾股定理在解题过程中显得尤为重要. 以下总结巧用勾股定理解题的例子,供同学们参考.
一、巧解折叠问题
例1如图1,沿折痕AE叠长方形ABCD的一边,使点D落在BC边上点F处,若AB=8,且△ABF的面积为24,求EC的长.
解析:因为△ABF的面积为24,AB=8,可知BF=6.在Rt△ABF中,由勾股定理得,AF==10 .由对称的性质可知,AD=AF=10.连接EF,显然EF=DE.设EC=x,则DE=EF=8-x.又因为BC=AD=10,所以FC=10-6=4.在Rt△EFC中,有x2+42=(8-x)2,解得x=3,故EC的长为3.
点拨:在解决折叠问题时,隐含的条件容易被忽略(如重合的线段,重合的角),因此应对题目仔细分析,充分挖掘有关的信息.
二、巧求最小值
例2如图2,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值是_______.
解析:如图3,作点D关于直线AB的对称点D′,连接CD′交AB于点E,则此时EC+ED的值最小.由轴对称性质可知,ED=ED′,BD′=BD=1,∠D′BE=∠ABC=45°,所以∠CBD′=90°.所以EC+ED=EC+ED′=CD′= =.即EC+ED的最小值是.
点拨:求最值问题一般用到的知识点较多,如本题中就用到了对称、两点之间线段最短、勾股定理等知识.
三、巧求度数
例3如图4,P是等边△ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.
解析:题设中有勾股数,但它们不在一个三角形中,可以考虑将他们转移到一个三角形中.因为BC=BA,绕B点将△BCP旋转60°到达△BAD的位置,连接PD,则DA=PC=5,因为∠PBD=60°,BD=BP,所以△BPD为等边三角形,BD=BP=4.在△APD中,易知PA2+PD2=AD2,由勾股定理的逆定理可知∠APD=90°,所以∠APB=∠APD+∠BPD=90°+60°=150°.
点拨:如果在题中有勾股数出现且它们不在同一个三角形中,通常要把它们集中到一个三角形中,借助勾股定理的逆定理,使问题得到解决.
四、巧解台风问题
例4如图5,据气象观察,距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力会减弱一级,该台风中心现在以每小时15千米的速度沿北偏东30°方向往C移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超过四级就算受到台风影响.
(1)该城市是否会受台风影响?请说明理由.
(2)若会受到台风影响,那么台风影响在该城市持续时间有多长?
解析:(1)该城市将受到台风影响.理由:如图6,过A点作AD⊥BC交于D点,则AD就为城市A距台风中心的最短距离.在Rt△ABD中,∠B=30°,AB=220千米,所以AD=AB=×220千米=110千米.而110÷20=5.5(级)12-5.5=6.5(级)>4(级),所以该城市会受到台风影响.
(2)根据题意得,20×(12-4)=160(千米).设台风中心到达E点时,A城市会受台风影响,到达点F处时脱离台风影响,则AE=AF=160(千米).由勾股定理得,AD2+DE2=AE2,也就是1102+DE2=1602,所以DE=30 千米,所以EF=2DE=60千米.因为台风速度是每小时15千米,所以台风影响该城市持续时间为60÷15=4(小时).
点拨:解此题的关键是把实际问题转移到直角三角形中,再利用勾股定理求解.
五、巧解探索规律
例5 在直线l上依次摆放着七个正方形.如图7,已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,求S1+S2+S3+S4的值.
解析:由题意可证△CAB≌△EDC,从而DE=AC,而AB2=S1,AC2=DE2=S2,由勾股定理得,AB2+AC2=BC2,所以,S1+S2=1,同理,S2+S3=2,S3+S4=3.
所以S1+S2+S3+S4=(S1+S2)+(S2+S3)+(S3+S4)-(S2+S3)=1+2+3-2=4.
点拨:本题借助三角形全等和勾股定理知识得到相邻的正放的正方形的面积的和,进一步求出所要求的面积的和.这种规律性问题,同学们在学习中要注意观察.
一、巧解折叠问题
例1如图1,沿折痕AE叠长方形ABCD的一边,使点D落在BC边上点F处,若AB=8,且△ABF的面积为24,求EC的长.
解析:因为△ABF的面积为24,AB=8,可知BF=6.在Rt△ABF中,由勾股定理得,AF==10 .由对称的性质可知,AD=AF=10.连接EF,显然EF=DE.设EC=x,则DE=EF=8-x.又因为BC=AD=10,所以FC=10-6=4.在Rt△EFC中,有x2+42=(8-x)2,解得x=3,故EC的长为3.
点拨:在解决折叠问题时,隐含的条件容易被忽略(如重合的线段,重合的角),因此应对题目仔细分析,充分挖掘有关的信息.
二、巧求最小值
例2如图2,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,则EC+ED的最小值是_______.
解析:如图3,作点D关于直线AB的对称点D′,连接CD′交AB于点E,则此时EC+ED的值最小.由轴对称性质可知,ED=ED′,BD′=BD=1,∠D′BE=∠ABC=45°,所以∠CBD′=90°.所以EC+ED=EC+ED′=CD′= =.即EC+ED的最小值是.
点拨:求最值问题一般用到的知识点较多,如本题中就用到了对称、两点之间线段最短、勾股定理等知识.
三、巧求度数
例3如图4,P是等边△ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度数.
解析:题设中有勾股数,但它们不在一个三角形中,可以考虑将他们转移到一个三角形中.因为BC=BA,绕B点将△BCP旋转60°到达△BAD的位置,连接PD,则DA=PC=5,因为∠PBD=60°,BD=BP,所以△BPD为等边三角形,BD=BP=4.在△APD中,易知PA2+PD2=AD2,由勾股定理的逆定理可知∠APD=90°,所以∠APB=∠APD+∠BPD=90°+60°=150°.
点拨:如果在题中有勾股数出现且它们不在同一个三角形中,通常要把它们集中到一个三角形中,借助勾股定理的逆定理,使问题得到解决.
四、巧解台风问题
例4如图5,据气象观察,距沿海某城市A的正南方向220千米的B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,风力会减弱一级,该台风中心现在以每小时15千米的速度沿北偏东30°方向往C移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或超过四级就算受到台风影响.
(1)该城市是否会受台风影响?请说明理由.
(2)若会受到台风影响,那么台风影响在该城市持续时间有多长?
解析:(1)该城市将受到台风影响.理由:如图6,过A点作AD⊥BC交于D点,则AD就为城市A距台风中心的最短距离.在Rt△ABD中,∠B=30°,AB=220千米,所以AD=AB=×220千米=110千米.而110÷20=5.5(级)12-5.5=6.5(级)>4(级),所以该城市会受到台风影响.
(2)根据题意得,20×(12-4)=160(千米).设台风中心到达E点时,A城市会受台风影响,到达点F处时脱离台风影响,则AE=AF=160(千米).由勾股定理得,AD2+DE2=AE2,也就是1102+DE2=1602,所以DE=30 千米,所以EF=2DE=60千米.因为台风速度是每小时15千米,所以台风影响该城市持续时间为60÷15=4(小时).
点拨:解此题的关键是把实际问题转移到直角三角形中,再利用勾股定理求解.
五、巧解探索规律
例5 在直线l上依次摆放着七个正方形.如图7,已知斜放置的三个正方形的面积分别是1,2,3,正放的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4,求S1+S2+S3+S4的值.
解析:由题意可证△CAB≌△EDC,从而DE=AC,而AB2=S1,AC2=DE2=S2,由勾股定理得,AB2+AC2=BC2,所以,S1+S2=1,同理,S2+S3=2,S3+S4=3.
所以S1+S2+S3+S4=(S1+S2)+(S2+S3)+(S3+S4)-(S2+S3)=1+2+3-2=4.
点拨:本题借助三角形全等和勾股定理知识得到相邻的正放的正方形的面积的和,进一步求出所要求的面积的和.这种规律性问题,同学们在学习中要注意观察.