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摘 要：数学“第三课时”教学，是借鉴语文学科的课时划分，基于数学学科的教学特点，融入核心素养的课程思考而提出的，是基于某一个练习设定的新授课、练习课（基础性的）这两个课时之后，配合例题教学开展的相应的规律渗透、外延拓展、主题深化、综合应用、数学文化熏陶等综合性练习课。主要有规律嵌入类、外延拓展类、主题深化类、综合融通类、文化熏陶类等课型。
关键词：小学数学 第三课时 主题教学 实践策略
在小学数学教学中，人们常常会以不同的标准进行课型的划分，比如按照课的教学功能，分成新授课、练习课、复习课、测试课等；按照课的教学内容，分为概念课、计算课、解决问题课等。而在课堂教学具体落实推进时，还会牵涉课时的安排，即就一个知识点或主题的学习安排两到三课时不等，这样更利于教师整体规划课堂教学内容，也能更好地提升学生数学学习的针对性与有效性。这里的两到三个课时，不外乎人们常说的新授课、练习课（不一定是一个课时）等。那么，我们为什么要提出数学“第三课时”教学？怎么理解数学“第三课时”教学？“第三课时”教学内容有哪些方面，又相应采取哪些教学策略？这是本文基于实践探索试图回答的问题。
一、“第三课时”教学的提出
（一）借鉴语文学科的课时划分
在语文以单篇研读为主的课文教学时，常常划分这样的三个课时：第一课时认读生字词，通读课文，基本了解课文内容；第二课时精读课文，深入理解课文，完成相应练习；第三课时拓展阅读，赏读一类课文，或仿写文章等。这个“第三课时”，似主题学习，不仅有文章修辞手法的活学活用，也促使学生在更广泛的阅读中获得人文素养的提升。语文学科里这样的三个课时的规划，基本形成了备课的框架模式，对于教师深度理解教材、整体规划教学内容，尤其是关注学生素养发展，有着积极的促进作用。
（二）基于数学学科的教学特点
在数学教学中，我们可以以“一个练习”来比拟语文的单篇课文“一个课时”的教学，“一个练习”的内容往往也是由一个知识点的教学决定的。教学时既要重视学生对于知识点的理解掌握，也要重视让学生经历知识规律的探索与发现过程，由此感悟数学思想方法，积累数学活动经验。其中，知识点的学习是主线也是明线，教师顺着这条明线进行课时整体规划。因此，课时的编排划分不是停留于某一节课（如新授课）上，而是要很好地安排三个课时尤其是“第三课时”的教学内容，让其既有知识点的基础聚焦，又有知识点的凝练升华。
（三）融入核心素养的课程思考
在当前课程改革深入推进的背景下，发展学生核心素养被提到了重要位置。“第三课时”的提出正是顺应了这样的时代发展需求。每一个数学知识点的教学，不再只观照一节节孤立的课堂，而是统观基于核心素养发展的学科课程背景。因此，每一节数学课的教学要有整体性、系统性，要指向课程实施要义，指向学生素养发展。由此，在最常见的第一课时新授课、第二课时练习课的基础上，特别提出基于练习课又超越练习课的“第三课时”概念。
二、“第三课时”教学的概念解读
依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》设定的小学数学教学的年段目标、学期目标、单元目标乃至课时目标，我们对小学数学“第三课时”的定义有了这样的假设：基于某一个练习设定的新授课、练习课（基础性的）这两个课时之后，配合例题教学开展的相应的规律渗透、外延拓展、主题深化、综合应用、数学文化熏陶等综合性练习课。这样的“第三课时”教学，能比较好地促进教材（本文所指均是苏教版小学数学教材）中的规律探究、变式拓展题、思考题以及《动手做》《你知道吗》等相关教学内容的落实，提升学生的数学思维与实践创新能力，有效地促进其基本思想方法的感悟与基本活动经验的积累。
当然，有时候教材一个练习可能规划了几个课时的例题新授，再跟进几个课时的练习。所以，这里的“第三课时”是虚指，并不一定就是按一个练习的时序正好排在第三课时，有时可能排在第四、第五課时等，但其教学功能或教学目标定位是一致的。
数学“第三课时”教学的提出，如语文“第三课时”一样，是对小学数学主题学习的一种新的演绎，即让学生围绕一个或多个经过结构化的主题进行学习。主题是“第三课时”学习的核心，而围绕该主题的结构化内容与方法是学习的主要对象。正如杜威强调的以活动、专题及解决问题等方式作为学习主轴的“做中学”学习方式，这样的主题性、整体化的课时设置，不仅利于教师课程力的提升，也是提高学生学习力的有效路径。
三、“第三课时”教学的实践类型
关于“第三课时”教学的实践类型，主要有以下几类：
（一）规律嵌入类
在各个学段的教材编排中，我们常常看到与知识点相关联又具有生长性的规律探究内容嵌入习题之中。这里嵌入的规律探究，不仅可启动学生的数学思考，也丰厚了数学学习的内涵本质。
例如四年级上册第二单元《两、三位数除以两位数》例4（如图1）的教学后，安排了相应4个课时的练习三，其中第四课时（第15～20题）中的第16、17题（如图2）嵌入了“除法的性质”的相关练习。这一课时就是“第三课时”，这一课时的学习原本有着如例题教学一样的价值意义，可以按“观察比较，引发猜想”“计算验证，拓展举例”“归纳提炼，得出结论”“灵活运用，解决问题”这样的程序推进对除法规律的研究。基于学生已经能用不同方法（即一个数连除两个数与一个数除以这两个数之积）去解答连除问题，大多数学生对除法规律已有了模糊感受。因此，教学第16题时，首先引导观察比较两组算式的数式特征，学生很快就有了初步的发现，并自然而然地引发了对每组算式结果相等的猜想，继而进行计算验证。此时，启发学生举出更多组算式来进行验证，进而归纳提炼，得出结论。而第17题的教学，属于灵活运用规律进行简便计算的环节。这个环节不能一带而过，像其中的210÷35，需要引导学生将除数拆成7和5，方能转化为连除，还要关注除数书写顺序，先除以7再除以5。同时，还可通过设计变式题组（如420÷4÷5、420÷4×5），让学生去比较鉴别，不断激活思维，更好地理解除法的性质，也从数学内涵本质的层面为解决实际问题的一题多解提供科学依据。 （二）外延拓展类
现今使用的小学数学教材有个显著特点，就是计算教学的内容大多融入解决实际问题的情境之中，不再单独编排计算题进行算理算法的教学。教学时，既要重视解决问题的数量关系的分析，也要注重算理算法的理解。观照苏教版小学数学教材，我们发现也有个别关于混合运算顺序教学的例题是纯计算的，如四年级上册第七单元《整数四则混合运算》，第71页的例2和第74页的例3就是纯计算的例题。第七单元规划了5个课时，练习十一有3个课时，练习十二有2个课时。练习十一的3个课时中，例1（不含括号的三步混合运算）与试一试、练一练及练习十一的第1～4题是第一课时；例2（如图3，含有小括号的三步混合运算）、练一练与练习十一的第5～7题是第二课时；练习十一的第8～14题是第三课时，其中第11～14题（如图4）是相应不同类型的较复杂的解决实际问题。与第74页例3（如图5，含有中括号的三步混合运算）配套的练习十二的2个课时，第一课时是例3、练一练与练习十二的第1～3题；第二课时是练习十二的第4～9题，其中第6～9题（如图6）是相应不同类型的较复杂的解决实际问题。这里，我们可以把练习十一的第三课时与练习十二的第二课时都看作“第三课时”。
为什么强调将这两个课时作为“第三课时”？因为与以往混合运算单一的目标指向不同，两个练习中的习题编排，不完全是为了巩固四则混合运算的运算顺序的计算题，而是更多比例地渗透了多步较复杂的解决实际问题，这些类型的解决实际问题在以往教材中是作为例题重点教学的。将这两个课时作为“第三课时”，意味着我们不能将练习中的解决实际问题仅仅看作一般的巩固性的解决问题，让学生直接练一练、议一议，再稍作分析。而是要突出重点，选择其中一两个典型题目，如练习十一中的第11、12题，练习十二中的第6、7题等，让学生充分经历解决实际问题的一般步骤：理解题意—分析数量关系—列式解答—检验反思，并通过过程与方法的提炼促进活动经验的积累，以便运用到后续其他问题的解决之中，彰显数学思想、方法结构的整体有效迁移。也就是说，这一类的“第三课时”目标指向不只是运算顺序这一知识点，更要拓展其作用于较复杂的解决实际问题的丰富外延，并着力于对数量关系的分析与蕴含的方法结构的感悟，在变与不变中追寻数学思考的本质。正如现代学习理论所倡导的，结构化才是学生可持续学习力的本质凸显。
（三）主题深化类
在数学教学中，要关注教材内容的前沿后续，合理定位不同课时的教学目标指向与重点聚焦。
六年级下册第四单元《比例》的第一课时《图形的放大与缩小》，我们可以关注教材中关于图形关系表征的句子：“把长方形的每条边放大到原来的2倍，放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是2：1，就是把原来的长方形按2：1的比放大。”可以发现，它并没有就长方形的特殊性而凸显长、宽特别定位的关系描述，而只是聚焦一般化的关系描述——“每条边”与“对应边长的比”。这是为什么呢？究其原因，是因为教材站位更高，基于中小学衔接的相似图形视角来整体规划小学阶段“比例”内容的概念教学。
有了这样的认识，那么该单元配套的练习六的2个课时（第1～3题是第一课时，第4～6题是第二课时）后跟进的《动手做》栏目（如图7），就可以作为“第三课时”展开教学。基于位视图的原则，遵循从特殊到一般的认知过程：首先，观察比较，计算引发“相等”猜想。其次，实验操作，验证猜想，特别关注两轴中间形成的第三、第四条边。再次，拓展实验：“如果是一般的五边形、六边形，你也能像这样去研究它们放大后与放大前每条边的变化规律吗？试着画一画、算一算，看看你们有什么发现？”提示学生关注对角线条数的增加情况与长度关系，得出结论。这种主题深化类的“第三课时”，丰富了画图研究的方法，是对新授知识的深化拓展，是知識纵向深入的留白，为高一阶段的持续性学习做了铺垫。
（四）综合融通类
还有一些数学知识的学习，并不是单纯课堂上的观察比较或纸笔演算等学习活动可以完成的，更需要依托融合多样化知识的综合实践活动，以数学实验或回归生活实际等基于真切操作体验的学习方式展开。
较为明显的是“量的计量”相关的知识，如逐步渗透在各年段的认识人民币元、角、分，认识时间单位时、分、秒，认识质量单位克、千克、吨，认识长度单位厘米、毫米、米、千米，认识面积单位平方厘米、平方分米、平方米，认识容积单位升与毫升以及体积单位，等等。这些计量单位的认识，除了课堂上要以数学实验等学习方式，让学生有充分的时间与空间通过动手操作去体验、去感受，更要课内与课外有机结合，通过“第三课时”，让学生在更加广阔的生活场域中观察体验，丰富学习积淀。
如一年级下册第五单元《元、角、分》，“第三课时”的学习可以从“数学阅读”“数学实验”“数学游戏”“数学与生活”四个板块整体架构。
“数学阅读”板块，有五大主题的阅读活动：（1）世界上的硬币都是圆的吗？为什么大多数硬币是圆的？（2）古代的钱币；（3）外国的钱币；（4）跟着人民币去旅行；（5）人民币上的秘密（盲点、金线等）。通过阅读，拓展对古今中外钱币的认识，感知钱币的发展演变过程、设计理念及应用价值。学生还可以小报的形式将了解到的钱币知识呈现出来（图8就是一位学生的作品），以更好地分享阅读成果。
“数学实验”板块，设计了如下实验方案：（1）实验问题：怎样组成1元？（2）实验材料：若干个5角、1角的硬币和2角的纸币。（3）实验过程：自主探究，有序思考1元的组成，摆一摆钱币，填入表1中。
学生通过拿一拿、换一换、付一付等活动，自主研究及感悟元、角、分之间的进率关系，同时还探索付1元钱的多种方法。
“数学游戏”板块，开展“小小热卖会”活动，形式新颖又挑战思维。学生早就和家长一起体验过购物经历，课堂上，他们自带商品和钱，在教师的指导下定价拍卖，自由交易。 “數学与生活”板块，设计了周末实践活动“今天我当家”，要求学生和家长一起去菜场买菜、付钱、算找零。从制定购物计划到现场购物，从计算商品的总价到用现金付钱找零。图9是一位学生的活动报告单。
（五）文化熏陶类
对于数学文化的关注也是现今教材的一大特征。在新授课或练习课等内容编排中，教材通过《你知道吗》栏目，相机渗透数学知识的发展历史、相应数学家的故事或是数学问题解决的经典方法。这些内容，是“第三课时”教学的丰富资源。
如三年级下册第一单元《两位数乘两位数》，例6的连乘问题与“想想做做”的第6题为“第一课时”，练习二中的8道题为“第二课时”，练习二后的《你知道吗》（“铺地锦”的历史起源与算法理解）为“第三课时”。课堂上，共拓展了如下三种方法：
1.画线法。以计算“23×21”为例，如图10，可以通过线与线之间交点的个数得出计算结果：左边有4个交点，每个交点表示一个百；中间共有6+2=8（个）交点，每个交点表示一个十；右边的3个交点，表示3个一。可得，计算的结果是400+80+3=483。
2.表格算法。以计算“45×23”为例，过程如图11所示。
3.棋盘计算法。以计算“25×14”为例，过程如图12所示（关键是将乘数分解为2的自然数指数幂的和，再相乘）。
四、“第三课时”教学的实施策略
明晰“第三课时”教学的常见类型，也让我们厘清了它对于学生素养发展的重要地位与价值。如何更好地实施“第三课时”的教学，让“第三课时”在数学课程视野中凸显独特的育人价值？
（一）以整体性思维推进教学
在一些公开课上，我们总会被一些看似完美的课堂（一般是新授“第一课时”）所迷惑，这些课节奏紧凑、练习多样、挑战思维。但静下心来反思回顾，不难发现，这节课已经“越界”了，它将部分“第二课时”甚至“第三课时”的教学内容提前纳入，以集中于少数学生的精彩发言掩盖了大部分学生新知学习的困惑疑难，导致大部分学生对于“第一课时”的基础性内容理解粗浅、掌握不够。
“第三课时”教学，需要在了解学段、学期教学目标与内容安排的基础上，形成单元整体规划的意识：该单元编排了几个练习？每个练习教学的知识点是什么？配套例题与习题有哪些？对于基础知识、基本技能、基本思想以及基本活动经验，主要侧重什么方面？以怎样的路径实施，更能有效达成这些方面的教学目标？等等。如前文提到的四年级上册第七单元《整数四则混合运算》，首先关注教材编排的两个练习与相应的教学内容，厘清课时规划，才能很好地确定“第三课时”的目标指向（非单纯巩固运算顺序，更有较复杂的解决实际问题方法的指导）与教学策略。
（二）以主体性立场丰富学习方式
“第三课时”的教学，更要倡导突破物理空间的限制与时间框架的局限，走出班级，走出校园，走向生活的大舞台，让学生充分地体验、探究。
如一年级下册第五单元《元、角、分》，教材安排了3个课时：第一课时，认识一元以内的人民币；第二课时，认识一元以上的人民币；第三课时，实践活动“小小商店”。在“第三课时”视野下，将几个课时适度整合，从“数学阅读”“数学实验”“数学游戏”“数学与生活”四个方面展开教学，让学生真正体验做中学、玩中学、在生活中学的乐趣，提升数学学习的情感与兴趣。相信这静悄悄的学习“革命”，一定也会深远地影响学生对于“克与千克”“升与毫升”等内容的学习，乃至迁移到其他学科的学习活动之中。
（三）以过程性表达展示学生思维
新课程强调，既要关注学习的结果，也要关注学习的过程。但是在常见的非新授的第二、第三课时的练习中，大家往往更多地关注结果，大多以“先做再议”方式推进，很大程度上忽略了过程的反馈表达，弱化了思维过程的价值凸显。“第三课时”的教学，反对那种重点指向结果而非过程的教学方式。因为所有的练习（包括巩固性练习），都是为了引导学生用正确的方法来做，那种不管思维过程让学生提笔就做的方式是无效的，甚至是有害的。
因此，在“第三课时”的教学中，教师要尤其关注学生是怎么想的，并由此展开教学。一般可以按以下思路引导学生：（1）观察比较，初步思考；（2）交流讨论，形成正确方法；（3）用正确方法解答。如五年级下册第四单元《分数的意义和性质》，练习十一的第8题：“男生10步走了6米，女生7步走了4米，谁的平均步长长一些？”不仅是分数基本性质的运用，也是分数与除法关系的延伸。因为数的范围的拓展，这类问题往往是分数问题中的难点，显然应将它作为“第三课时”的练习素材，并且按照解决问题的一般步骤推进：首先，理解题意。以读题、画图、列表等多种方式，理解什么是“步长”。其次，策略调用。即运用综合法或分析法等分析数量关系，确立量与量之间，即条件与条件、条件与问题之间的内在联系，明确步长是每一步的长度，求各自的步长就要用米数除以步数。再次，确定解题路径。即先分别计算两人的步长，再比较步长大小，而后根据大小关系写出结论。最后，再让学生将“用正确方法解答”落于笔端，规范地进行数学表达（这也是内在思维规范表征的过程）。有了这样的孕伏，后续遇到“王叔叔3分钟加工7个零件，周叔叔4分钟加工10个零件，陈叔叔加工13个零件用了6分钟，他们谁的速度快”这一类的变式练习，才会有结构化方法的正确迁移（明确“比什么”，即每分做几个还是每个要几分钟）。
关注学习的过程性，关注思维的表达呈现，让个性化的思维看得见、能分享，其实也很好地诠释了社会建构主义的观点，即学习既是学生主动建构自己知识的过程，同时也是在与他人的交往互动中不断丰富完善的过程。
（四）以多元化视角创生练习资源
“第三课时”作为教材单元教学整体规划的篇章，除了巩固、强化的作用外，更担负着对关联知识点的串联、综合与深化等功能。它是一个练习课时安排的尾声，也是高潮。因此，练习资源的选择尤其重要，既要精选教材提供的练习，也要灵活创编适切的练习。 1.繼承传统题组。
“第三课时”的教学，题组是很好的教学资源。有时候，它是数学内隐规律的载体，如三年级下册第40页第6题是渗透减法性质、除法性质的题组；有时候，它是顺逆思维比较的载体，如四年级上册第17页第19题是连除与连乘问题的题组；有时候，它是容易混淆知识点的载体，如六年级上册第82页第15题是用分数表示数量关系的题组；有时候，它是知识点主题深化的载体，如六年级上册第96页第15题是百分率问题的题组，等等。
2.师生合作创编。
正如金字塔学习理论所述，能学会并教别人做题的人，知识保持率达百分之九十。同样，能自主创编习题的学生，对知识的理解、掌握水平肯定也是很高的。当然，鉴于学生对数据的敏感性与难易度的把握不够，教师可与学生合作创编。这样的创编，既能调动学生的参与积极性，也能在更高层面考查学生结构化掌握知识的能力水平。
3.积累经典习题。
经典的习题，并不会因为时代的发展而落伍，如五年级下册第101页与104页的通过求半径的平方而求出圆面积的经典题（分别如图13、图14），让它们在“第三课时”相机亮相，可以有效引发学生的创新思考。
4.融入主题文化。
从一些孕伏数学知识的发展历史、相应数学家的故事或是数学问题解决的经典方法（如《你知道吗》栏目的内容）中汲取适合的、可用的内容，以主题串联，精心编排习题。
5.设计实践性练习活动。
根据教学内容的可操作性、实验性或生活化等特点，设计综合性的实践或实验活动，丰富“第三课时”练习资源。如四年级上册《升与毫升》单元，“第三课时”可以设计这样的实践性练习活动：（1）喝一喝：100毫升饮料大约要喝几口，每一口大约多少毫升？（2）量一量：用量杯量出你用的碗、盆子、杯子等的容量大约多少毫升。（3）做一做：做一个1升的量器，分别标出14升、12升、34升和1升的位置。然后估一估家里电饭锅、水壶等较大容器的容量，再用自己的量器盛水测量验证自己的猜想。（4）找一找：到商店寻找装有1升液体的容器，并观察其他不同容量的容器，感受不同容器的大小与容量的多少。（5）写一写：就上面四个活动写一份实验报告与活动体会，在班里交流分享。这种练习与一般的纸笔解答的习题不同，实验报告与活动体会是练习结果呈现的另一种方式。
综上，数学“第三课时”教学，是我们基于课程视野，立足学科育人背景，创造适合每一个学生的数学教育而展开的行动研究。初步的思考与实践探索，一定还有很多不够合理、完善之处，希望得到同行者的指教。
关键词：小学数学 第三课时 主题教学 实践策略
在小学数学教学中，人们常常会以不同的标准进行课型的划分，比如按照课的教学功能，分成新授课、练习课、复习课、测试课等；按照课的教学内容，分为概念课、计算课、解决问题课等。而在课堂教学具体落实推进时，还会牵涉课时的安排，即就一个知识点或主题的学习安排两到三课时不等，这样更利于教师整体规划课堂教学内容，也能更好地提升学生数学学习的针对性与有效性。这里的两到三个课时，不外乎人们常说的新授课、练习课（不一定是一个课时）等。那么，我们为什么要提出数学“第三课时”教学？怎么理解数学“第三课时”教学？“第三课时”教学内容有哪些方面，又相应采取哪些教学策略？这是本文基于实践探索试图回答的问题。
一、“第三课时”教学的提出
（一）借鉴语文学科的课时划分
在语文以单篇研读为主的课文教学时，常常划分这样的三个课时：第一课时认读生字词，通读课文，基本了解课文内容；第二课时精读课文，深入理解课文，完成相应练习；第三课时拓展阅读，赏读一类课文，或仿写文章等。这个“第三课时”，似主题学习，不仅有文章修辞手法的活学活用，也促使学生在更广泛的阅读中获得人文素养的提升。语文学科里这样的三个课时的规划，基本形成了备课的框架模式，对于教师深度理解教材、整体规划教学内容，尤其是关注学生素养发展，有着积极的促进作用。
（二）基于数学学科的教学特点
在数学教学中，我们可以以“一个练习”来比拟语文的单篇课文“一个课时”的教学，“一个练习”的内容往往也是由一个知识点的教学决定的。教学时既要重视学生对于知识点的理解掌握，也要重视让学生经历知识规律的探索与发现过程，由此感悟数学思想方法，积累数学活动经验。其中，知识点的学习是主线也是明线，教师顺着这条明线进行课时整体规划。因此，课时的编排划分不是停留于某一节课（如新授课）上，而是要很好地安排三个课时尤其是“第三课时”的教学内容，让其既有知识点的基础聚焦，又有知识点的凝练升华。
（三）融入核心素养的课程思考
在当前课程改革深入推进的背景下，发展学生核心素养被提到了重要位置。“第三课时”的提出正是顺应了这样的时代发展需求。每一个数学知识点的教学，不再只观照一节节孤立的课堂，而是统观基于核心素养发展的学科课程背景。因此，每一节数学课的教学要有整体性、系统性，要指向课程实施要义，指向学生素养发展。由此，在最常见的第一课时新授课、第二课时练习课的基础上，特别提出基于练习课又超越练习课的“第三课时”概念。
二、“第三课时”教学的概念解读
依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》设定的小学数学教学的年段目标、学期目标、单元目标乃至课时目标，我们对小学数学“第三课时”的定义有了这样的假设：基于某一个练习设定的新授课、练习课（基础性的）这两个课时之后，配合例题教学开展的相应的规律渗透、外延拓展、主题深化、综合应用、数学文化熏陶等综合性练习课。这样的“第三课时”教学，能比较好地促进教材（本文所指均是苏教版小学数学教材）中的规律探究、变式拓展题、思考题以及《动手做》《你知道吗》等相关教学内容的落实，提升学生的数学思维与实践创新能力，有效地促进其基本思想方法的感悟与基本活动经验的积累。
当然，有时候教材一个练习可能规划了几个课时的例题新授，再跟进几个课时的练习。所以，这里的“第三课时”是虚指，并不一定就是按一个练习的时序正好排在第三课时，有时可能排在第四、第五課时等，但其教学功能或教学目标定位是一致的。
数学“第三课时”教学的提出，如语文“第三课时”一样，是对小学数学主题学习的一种新的演绎，即让学生围绕一个或多个经过结构化的主题进行学习。主题是“第三课时”学习的核心，而围绕该主题的结构化内容与方法是学习的主要对象。正如杜威强调的以活动、专题及解决问题等方式作为学习主轴的“做中学”学习方式，这样的主题性、整体化的课时设置，不仅利于教师课程力的提升，也是提高学生学习力的有效路径。
三、“第三课时”教学的实践类型
关于“第三课时”教学的实践类型，主要有以下几类：
（一）规律嵌入类
在各个学段的教材编排中，我们常常看到与知识点相关联又具有生长性的规律探究内容嵌入习题之中。这里嵌入的规律探究，不仅可启动学生的数学思考，也丰厚了数学学习的内涵本质。
例如四年级上册第二单元《两、三位数除以两位数》例4（如图1）的教学后，安排了相应4个课时的练习三，其中第四课时（第15～20题）中的第16、17题（如图2）嵌入了“除法的性质”的相关练习。这一课时就是“第三课时”，这一课时的学习原本有着如例题教学一样的价值意义，可以按“观察比较，引发猜想”“计算验证，拓展举例”“归纳提炼，得出结论”“灵活运用，解决问题”这样的程序推进对除法规律的研究。基于学生已经能用不同方法（即一个数连除两个数与一个数除以这两个数之积）去解答连除问题，大多数学生对除法规律已有了模糊感受。因此，教学第16题时，首先引导观察比较两组算式的数式特征，学生很快就有了初步的发现，并自然而然地引发了对每组算式结果相等的猜想，继而进行计算验证。此时，启发学生举出更多组算式来进行验证，进而归纳提炼，得出结论。而第17题的教学，属于灵活运用规律进行简便计算的环节。这个环节不能一带而过，像其中的210÷35，需要引导学生将除数拆成7和5，方能转化为连除，还要关注除数书写顺序，先除以7再除以5。同时，还可通过设计变式题组（如420÷4÷5、420÷4×5），让学生去比较鉴别，不断激活思维，更好地理解除法的性质，也从数学内涵本质的层面为解决实际问题的一题多解提供科学依据。 （二）外延拓展类
现今使用的小学数学教材有个显著特点，就是计算教学的内容大多融入解决实际问题的情境之中，不再单独编排计算题进行算理算法的教学。教学时，既要重视解决问题的数量关系的分析，也要注重算理算法的理解。观照苏教版小学数学教材，我们发现也有个别关于混合运算顺序教学的例题是纯计算的，如四年级上册第七单元《整数四则混合运算》，第71页的例2和第74页的例3就是纯计算的例题。第七单元规划了5个课时，练习十一有3个课时，练习十二有2个课时。练习十一的3个课时中，例1（不含括号的三步混合运算）与试一试、练一练及练习十一的第1～4题是第一课时；例2（如图3，含有小括号的三步混合运算）、练一练与练习十一的第5～7题是第二课时；练习十一的第8～14题是第三课时，其中第11～14题（如图4）是相应不同类型的较复杂的解决实际问题。与第74页例3（如图5，含有中括号的三步混合运算）配套的练习十二的2个课时，第一课时是例3、练一练与练习十二的第1～3题；第二课时是练习十二的第4～9题，其中第6～9题（如图6）是相应不同类型的较复杂的解决实际问题。这里，我们可以把练习十一的第三课时与练习十二的第二课时都看作“第三课时”。
为什么强调将这两个课时作为“第三课时”？因为与以往混合运算单一的目标指向不同，两个练习中的习题编排，不完全是为了巩固四则混合运算的运算顺序的计算题，而是更多比例地渗透了多步较复杂的解决实际问题，这些类型的解决实际问题在以往教材中是作为例题重点教学的。将这两个课时作为“第三课时”，意味着我们不能将练习中的解决实际问题仅仅看作一般的巩固性的解决问题，让学生直接练一练、议一议，再稍作分析。而是要突出重点，选择其中一两个典型题目，如练习十一中的第11、12题，练习十二中的第6、7题等，让学生充分经历解决实际问题的一般步骤：理解题意—分析数量关系—列式解答—检验反思，并通过过程与方法的提炼促进活动经验的积累，以便运用到后续其他问题的解决之中，彰显数学思想、方法结构的整体有效迁移。也就是说，这一类的“第三课时”目标指向不只是运算顺序这一知识点，更要拓展其作用于较复杂的解决实际问题的丰富外延，并着力于对数量关系的分析与蕴含的方法结构的感悟，在变与不变中追寻数学思考的本质。正如现代学习理论所倡导的，结构化才是学生可持续学习力的本质凸显。
（三）主题深化类
在数学教学中，要关注教材内容的前沿后续，合理定位不同课时的教学目标指向与重点聚焦。
六年级下册第四单元《比例》的第一课时《图形的放大与缩小》，我们可以关注教材中关于图形关系表征的句子：“把长方形的每条边放大到原来的2倍，放大后的长方形与原来长方形对应边长的比是2：1，就是把原来的长方形按2：1的比放大。”可以发现，它并没有就长方形的特殊性而凸显长、宽特别定位的关系描述，而只是聚焦一般化的关系描述——“每条边”与“对应边长的比”。这是为什么呢？究其原因，是因为教材站位更高，基于中小学衔接的相似图形视角来整体规划小学阶段“比例”内容的概念教学。
有了这样的认识，那么该单元配套的练习六的2个课时（第1～3题是第一课时，第4～6题是第二课时）后跟进的《动手做》栏目（如图7），就可以作为“第三课时”展开教学。基于位视图的原则，遵循从特殊到一般的认知过程：首先，观察比较，计算引发“相等”猜想。其次，实验操作，验证猜想，特别关注两轴中间形成的第三、第四条边。再次，拓展实验：“如果是一般的五边形、六边形，你也能像这样去研究它们放大后与放大前每条边的变化规律吗？试着画一画、算一算，看看你们有什么发现？”提示学生关注对角线条数的增加情况与长度关系，得出结论。这种主题深化类的“第三课时”，丰富了画图研究的方法，是对新授知识的深化拓展，是知識纵向深入的留白，为高一阶段的持续性学习做了铺垫。
（四）综合融通类
还有一些数学知识的学习，并不是单纯课堂上的观察比较或纸笔演算等学习活动可以完成的，更需要依托融合多样化知识的综合实践活动，以数学实验或回归生活实际等基于真切操作体验的学习方式展开。
较为明显的是“量的计量”相关的知识，如逐步渗透在各年段的认识人民币元、角、分，认识时间单位时、分、秒，认识质量单位克、千克、吨，认识长度单位厘米、毫米、米、千米，认识面积单位平方厘米、平方分米、平方米，认识容积单位升与毫升以及体积单位，等等。这些计量单位的认识，除了课堂上要以数学实验等学习方式，让学生有充分的时间与空间通过动手操作去体验、去感受，更要课内与课外有机结合，通过“第三课时”，让学生在更加广阔的生活场域中观察体验，丰富学习积淀。
如一年级下册第五单元《元、角、分》，“第三课时”的学习可以从“数学阅读”“数学实验”“数学游戏”“数学与生活”四个板块整体架构。
“数学阅读”板块，有五大主题的阅读活动：（1）世界上的硬币都是圆的吗？为什么大多数硬币是圆的？（2）古代的钱币；（3）外国的钱币；（4）跟着人民币去旅行；（5）人民币上的秘密（盲点、金线等）。通过阅读，拓展对古今中外钱币的认识，感知钱币的发展演变过程、设计理念及应用价值。学生还可以小报的形式将了解到的钱币知识呈现出来（图8就是一位学生的作品），以更好地分享阅读成果。
“数学实验”板块，设计了如下实验方案：（1）实验问题：怎样组成1元？（2）实验材料：若干个5角、1角的硬币和2角的纸币。（3）实验过程：自主探究，有序思考1元的组成，摆一摆钱币，填入表1中。
学生通过拿一拿、换一换、付一付等活动，自主研究及感悟元、角、分之间的进率关系，同时还探索付1元钱的多种方法。
“数学游戏”板块，开展“小小热卖会”活动，形式新颖又挑战思维。学生早就和家长一起体验过购物经历，课堂上，他们自带商品和钱，在教师的指导下定价拍卖，自由交易。 “數学与生活”板块，设计了周末实践活动“今天我当家”，要求学生和家长一起去菜场买菜、付钱、算找零。从制定购物计划到现场购物，从计算商品的总价到用现金付钱找零。图9是一位学生的活动报告单。
（五）文化熏陶类
对于数学文化的关注也是现今教材的一大特征。在新授课或练习课等内容编排中，教材通过《你知道吗》栏目，相机渗透数学知识的发展历史、相应数学家的故事或是数学问题解决的经典方法。这些内容，是“第三课时”教学的丰富资源。
如三年级下册第一单元《两位数乘两位数》，例6的连乘问题与“想想做做”的第6题为“第一课时”，练习二中的8道题为“第二课时”，练习二后的《你知道吗》（“铺地锦”的历史起源与算法理解）为“第三课时”。课堂上，共拓展了如下三种方法：
1.画线法。以计算“23×21”为例，如图10，可以通过线与线之间交点的个数得出计算结果：左边有4个交点，每个交点表示一个百；中间共有6+2=8（个）交点，每个交点表示一个十；右边的3个交点，表示3个一。可得，计算的结果是400+80+3=483。
2.表格算法。以计算“45×23”为例，过程如图11所示。
3.棋盘计算法。以计算“25×14”为例，过程如图12所示（关键是将乘数分解为2的自然数指数幂的和，再相乘）。
四、“第三课时”教学的实施策略
明晰“第三课时”教学的常见类型，也让我们厘清了它对于学生素养发展的重要地位与价值。如何更好地实施“第三课时”的教学，让“第三课时”在数学课程视野中凸显独特的育人价值？
（一）以整体性思维推进教学
在一些公开课上，我们总会被一些看似完美的课堂（一般是新授“第一课时”）所迷惑，这些课节奏紧凑、练习多样、挑战思维。但静下心来反思回顾，不难发现，这节课已经“越界”了，它将部分“第二课时”甚至“第三课时”的教学内容提前纳入，以集中于少数学生的精彩发言掩盖了大部分学生新知学习的困惑疑难，导致大部分学生对于“第一课时”的基础性内容理解粗浅、掌握不够。
“第三课时”教学，需要在了解学段、学期教学目标与内容安排的基础上，形成单元整体规划的意识：该单元编排了几个练习？每个练习教学的知识点是什么？配套例题与习题有哪些？对于基础知识、基本技能、基本思想以及基本活动经验，主要侧重什么方面？以怎样的路径实施，更能有效达成这些方面的教学目标？等等。如前文提到的四年级上册第七单元《整数四则混合运算》，首先关注教材编排的两个练习与相应的教学内容，厘清课时规划，才能很好地确定“第三课时”的目标指向（非单纯巩固运算顺序，更有较复杂的解决实际问题方法的指导）与教学策略。
（二）以主体性立场丰富学习方式
“第三课时”的教学，更要倡导突破物理空间的限制与时间框架的局限，走出班级，走出校园，走向生活的大舞台，让学生充分地体验、探究。
如一年级下册第五单元《元、角、分》，教材安排了3个课时：第一课时，认识一元以内的人民币；第二课时，认识一元以上的人民币；第三课时，实践活动“小小商店”。在“第三课时”视野下，将几个课时适度整合，从“数学阅读”“数学实验”“数学游戏”“数学与生活”四个方面展开教学，让学生真正体验做中学、玩中学、在生活中学的乐趣，提升数学学习的情感与兴趣。相信这静悄悄的学习“革命”，一定也会深远地影响学生对于“克与千克”“升与毫升”等内容的学习，乃至迁移到其他学科的学习活动之中。
（三）以过程性表达展示学生思维
新课程强调，既要关注学习的结果，也要关注学习的过程。但是在常见的非新授的第二、第三课时的练习中，大家往往更多地关注结果，大多以“先做再议”方式推进，很大程度上忽略了过程的反馈表达，弱化了思维过程的价值凸显。“第三课时”的教学，反对那种重点指向结果而非过程的教学方式。因为所有的练习（包括巩固性练习），都是为了引导学生用正确的方法来做，那种不管思维过程让学生提笔就做的方式是无效的，甚至是有害的。
因此，在“第三课时”的教学中，教师要尤其关注学生是怎么想的，并由此展开教学。一般可以按以下思路引导学生：（1）观察比较，初步思考；（2）交流讨论，形成正确方法；（3）用正确方法解答。如五年级下册第四单元《分数的意义和性质》，练习十一的第8题：“男生10步走了6米，女生7步走了4米，谁的平均步长长一些？”不仅是分数基本性质的运用，也是分数与除法关系的延伸。因为数的范围的拓展，这类问题往往是分数问题中的难点，显然应将它作为“第三课时”的练习素材，并且按照解决问题的一般步骤推进：首先，理解题意。以读题、画图、列表等多种方式，理解什么是“步长”。其次，策略调用。即运用综合法或分析法等分析数量关系，确立量与量之间，即条件与条件、条件与问题之间的内在联系，明确步长是每一步的长度，求各自的步长就要用米数除以步数。再次，确定解题路径。即先分别计算两人的步长，再比较步长大小，而后根据大小关系写出结论。最后，再让学生将“用正确方法解答”落于笔端，规范地进行数学表达（这也是内在思维规范表征的过程）。有了这样的孕伏，后续遇到“王叔叔3分钟加工7个零件，周叔叔4分钟加工10个零件，陈叔叔加工13个零件用了6分钟，他们谁的速度快”这一类的变式练习，才会有结构化方法的正确迁移（明确“比什么”，即每分做几个还是每个要几分钟）。
关注学习的过程性，关注思维的表达呈现，让个性化的思维看得见、能分享，其实也很好地诠释了社会建构主义的观点，即学习既是学生主动建构自己知识的过程，同时也是在与他人的交往互动中不断丰富完善的过程。
（四）以多元化视角创生练习资源
“第三课时”作为教材单元教学整体规划的篇章，除了巩固、强化的作用外，更担负着对关联知识点的串联、综合与深化等功能。它是一个练习课时安排的尾声，也是高潮。因此，练习资源的选择尤其重要，既要精选教材提供的练习，也要灵活创编适切的练习。 1.繼承传统题组。
“第三课时”的教学，题组是很好的教学资源。有时候，它是数学内隐规律的载体，如三年级下册第40页第6题是渗透减法性质、除法性质的题组；有时候，它是顺逆思维比较的载体，如四年级上册第17页第19题是连除与连乘问题的题组；有时候，它是容易混淆知识点的载体，如六年级上册第82页第15题是用分数表示数量关系的题组；有时候，它是知识点主题深化的载体，如六年级上册第96页第15题是百分率问题的题组，等等。
2.师生合作创编。
正如金字塔学习理论所述，能学会并教别人做题的人，知识保持率达百分之九十。同样，能自主创编习题的学生，对知识的理解、掌握水平肯定也是很高的。当然，鉴于学生对数据的敏感性与难易度的把握不够，教师可与学生合作创编。这样的创编，既能调动学生的参与积极性，也能在更高层面考查学生结构化掌握知识的能力水平。
3.积累经典习题。
经典的习题，并不会因为时代的发展而落伍，如五年级下册第101页与104页的通过求半径的平方而求出圆面积的经典题（分别如图13、图14），让它们在“第三课时”相机亮相，可以有效引发学生的创新思考。
4.融入主题文化。
从一些孕伏数学知识的发展历史、相应数学家的故事或是数学问题解决的经典方法（如《你知道吗》栏目的内容）中汲取适合的、可用的内容，以主题串联，精心编排习题。
5.设计实践性练习活动。
根据教学内容的可操作性、实验性或生活化等特点，设计综合性的实践或实验活动，丰富“第三课时”练习资源。如四年级上册《升与毫升》单元，“第三课时”可以设计这样的实践性练习活动：（1）喝一喝：100毫升饮料大约要喝几口，每一口大约多少毫升？（2）量一量：用量杯量出你用的碗、盆子、杯子等的容量大约多少毫升。（3）做一做：做一个1升的量器，分别标出14升、12升、34升和1升的位置。然后估一估家里电饭锅、水壶等较大容器的容量，再用自己的量器盛水测量验证自己的猜想。（4）找一找：到商店寻找装有1升液体的容器，并观察其他不同容量的容器，感受不同容器的大小与容量的多少。（5）写一写：就上面四个活动写一份实验报告与活动体会，在班里交流分享。这种练习与一般的纸笔解答的习题不同，实验报告与活动体会是练习结果呈现的另一种方式。
综上，数学“第三课时”教学，是我们基于课程视野，立足学科育人背景，创造适合每一个学生的数学教育而展开的行动研究。初步的思考与实践探索，一定还有很多不够合理、完善之处，希望得到同行者的指教。