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摘 要：通过对欧进萍谱激励下的广义Maxwell阻尼耗能结构随机地震动响应进行研究，提出了一种简明的结构随机地震响应封闭解法.首先，运用欧进萍谱滤波方程和阻尼器微分型本构关系与结构运动方程联合组成非经典阻尼系统，将地面运动由欧进萍谱激励转化为基于白噪声激励来表示;然后，利用复模态法，获得由白噪声激励表示的结构位移、速度和阻尼器受力响应的杜哈梅积分表达式;最后，基于随机振动理论，获得由振动复特征值线性表示的耗能结构功率谱及系统响应的0—2阶谱矩简明封闭解，并给出算例，验证了本文方法的准确性和高效性.
关键词：广义Maxwell阻尼器;欧进萍谱;地震响应;简明封闭解
中图分类号：TU318 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.04.009
0 引言
地震地面运动过程具有随机性，其发生时间、地点和强度难以确定.地震动是由震源释放出来的地震波引起的地面运动，是引起震害的外因，国内外众多学者提出了各种随机地震动力学模型[1-3].工程上常把地震视为建筑物反应的随机激励，建立随机地震动模型是进行结构反应设计分析的基础[4-7].地震地面运动随机过程可模型化为平稳与非平稳两大类[8]，当随机过程理论应用于地震动分析时，如果不考虑地震动频率的非平稳特性，平稳随机过程模型可使问题的分析尤为简化，故工程上一般采用平稳假设.目前，金井清平稳地震动模型[2]在地震工程界被广为使用，但是该模型假定了基岩地震动为白噪声，不能反映基岩地震动的频谱特征，也不能求出地面的位移、速度及加速度过程导数方差的有限值.为了改进金井清谱模型的不足，欧进萍等[1]在金井清谱模型基础上，假定基岩运动为“马尔柯夫”有色谱，提出了一种改进的地震动模型，该模型保持了金井清谱过滤噪声的特点（即将地表覆盖土层视为单自由度线性滤波器），较好地反映了地表覆盖土层和基岩的频谱特征，欧进萍模型对金井清谱的高频段引入了修正项，同时也能够求得地面位移、速度及加速度过程导数等方差的有限值.为此，研究基于欧进萍谱激励下的结构随机地震动响应的简明封闭解具有重要意义.
粘弹性阻尼器耗能能力强，能有效减小结构体系的地震反应.Maxwell模型阻尼器本构关系简单，能较好地描述粘弹性阻尼器的力学性能，对于实际工程中应用到的线性流体粘弹性阻尼器[9?10]和线性固体粘弹性阻尼器[11]，都可以用参数足够多的广义Maxwell模型精确表示其本构关系[12].因此，采用广义Maxwell模型阻尼器分析结构的动力响应特性是一种有效的被动控制方式[13-15].文獻[13]用扩阶复模态法研究了广义Maxwell阻尼减震结构的平稳响应特性，但所得到的响应方差表达式较复杂;文献[14]用传递函数法研究了广义Maxwell阻尼器系统基于非平稳巴斯金谱的地震响应特性，但计算量较大，且结构响应需要通过数值积分才能得到.因此，分析广义Maxwell模型阻尼器受力响应的简明封闭解对实际工程具有很好的指导作用.
时域法和频域法是研究结构随机地震动响应常用的两种方法[8].时域分析常用的方法主要有实模态法和复模态法[16-19]，但首先要已知随机激励的协方差函数，才能运用时域分析获得结构响应的协方差函数，而欧进萍谱随机激励模型无协方差，因此，时域分析中不能直接得到基于欧进萍谱激励的体系的协方差函数.频域法基于傅里叶变换，虚拟激励法[20]是频域法的典型代表，通过傅里叶变换，由地震动激励功率谱得到结构响应功率谱，再通过数值积分求得地震作用下系统的均方响应，但计算精度会受积分区间和积分步长的影响，而且有时积分运算相当繁复.邹万杰等[4]提出将Kanai-Tajimi谱滤波方程与结构运动方程联合求出结构响应方差和谱矩的简明解，相比已有的数值计算求系统响应，可有效提高运算的准确性和计算效率.本文以文献[4]所提方法为基准，研究了更复杂随机地震动激励下耗能结构响应的简明解法.
本文首先利用欧进萍谱滤波方程和阻尼器微分型本构关系与结构运动方程联合组成非经典阻尼系统;然后，通过时域分析获得结构响应的杜哈梅积分表达式，再由白噪声激励特点，得到系统响应协方差解析式;最后，基于随机振动理论，得到平稳随机过程系统响应的0—2阶谱矩简明封闭解.
1 耗能结构的地震动方程
1.1 结构运动方程
图1为单自由度广义Maxwell阻尼结构.设结构的质量为[m]，阻尼为[c]，刚度为[k]， [x]、[x]、[x]分别为结构相对地面的位移、速度和加速度，[xg（t）]为地面运动绝对加速度，[PQ（t）]为阻尼器所受的阻尼力.
在随机地震激励[xg（t）]作用下，粘弹性阻尼器耗能结构的运动方程为：
[mx+cx+kx+PQ（t）=-mxg（t）] （1）
本文采用欧进萍谱，该模型是对Kanai-Tajimi谱的改进，欧进萍模型的功率谱密度函数为：
[Gxg（ω）=1+4ξ2gω2ω2g（1-ω2ω2g）2+4ξ2gω2ω2g?11+ω2ω2hS0] （2）
式中：[ξg]、[ωg]分别为场地土的阻尼比和卓越频率，[ωh]为基岩的谱参数，[S0]为地震动强度常数，[ω]为功率谱的频域变量.
已有虚拟激励法是通过对式（2）数值积分求解结构地震响应，只有通过数值积分才能得到结构响应方差和谱矩，为此，本文提出将欧进萍谱滤波方程与结构地震动方程联立求解的方法，解决已有方法方差和谱矩分析需要数值积分等问题.欧进萍谱滤波方程描述如下[1]：
[xg（t）=ug+u] （3a） [u+2ξgωgu+ω2gu=-ug] （3b）
[ug=ωhV（t）] （3c）
[V（t）+ωhV（t）=W（t）] （3d）
式中：[ug]为基岩加速度，[u]、[u]、[u]分别为地面相对于基岩的位移、速度和加速度， [V（t）]为随机过程，[V（t）]为[V（t）]对时间[t]的导数，[W（t）]为白噪声激励.其协方差为：
[CW（τ）=2πS0δ（τ）] （4）
式中：[δ（τ）]为Dirac函数.
1.2 广义Maxwell阻尼模型的本构关系
图2所示为广义Maxwell阻尼模型，由一个线性弹簧单元和多个Maxwell单元并联组成，模型的总阻尼力等于各个单元之和，其本构关系为[12]：
[PQ（t）=k0x+PQ1+PQ2+…+PQn=k0x+i=1nPQi]（5）
式中：[k0]为阻尼器平衡刚度，[x]为阻尼器两端相对位移，[PQi]为第[i]个Maxwell阻尼单元的阻尼力.
阻尼器两端相对位移[x]与各分支阻尼力的计算简图如图3所示，其微分关系为[4]：
[PQi+kiciPQi=kix] （6）
式中：[ki]、[ci]分别为第[i]个Maxwell阻尼单元的刚度和阻尼.
1.3 重构地震动方程
由式（1）、式（3）和式（5），将结构的运动方程改写为：
[mx+cx+（k+k0）x+i=1nPQi=-mωhV（t）-mu]（7）
引入状态变量[y]，令其为：
[y=[u x u x V PQ1 … PQn]T] （8）
联立式（3）、式（6）和式（7），写成：
[My+Ky=αW（t）] （9）
式中：
[α=[0 0 0 0 1 0]T] （10）
[M=102ξgωg000Tmm0c00T001000T000100T000010T00000E（n+5）×（n+5）] （11）
[K=00ω2g0ωh0T000k+k0mωhIT-100000T0-10000T0000ωh0T0A000B（n+5）×（n+5）]（12）
式中：[0]是元素均为0的[n×1]阶向量，[E]为[n]阶单位矩阵，[I]为[n×1]阶单位列向量，矩阵
[A=[-k1 -k2 … -kn]T]; [B=diag[k1/c1 k2/c2 … kn/cn]T].
2 結构响应的统一表达式
2.1 结构复模态解耦的杜哈梅积分
由于方程（9）所示体系为非经典体系，故用复模态方法求解.根据复模态理论，系统特征值矩阵[p]为对角矩阵，存在右、左特征向量矩阵[U]、[V]和特征值矩阵[p]使方程（9）解耦，且存在关系式：
[p=-VTKUVTMU] （13）
引入复模态变换：
[y=Uz] （14）
式中：[z]为广义变量.
将方程（9）最终化为已解耦的一阶方程：
[z-pz=ηW（t）] （15）
式中：
[η=VTαVTMU] （16）
由于[p]为对角矩阵，则式（15）可写成分量形式：
[zj=ηj0tepj（t-τ）W（τ）dτ]， j=1，2，…，n+5 （17）
式中：[zj]、[ηj]分别为[z]和[η]的分量.
2.2 结构响应的杜哈梅积分
根据式（8）、式（14）和式（17），得结构的速度[x]和位移[x]的杜哈梅积分表达式为：
[x=u2z=j=1n+5λ2， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ] （18）
[x=u4z=j=1n+5λ4， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ] （19） 式中：[ui]为右特征向量矩阵的第[i]行向量;[λ]为结构响应的强度系数：
[λi， j=ui， j×ηj] （20）
由式（5）、式（8）、式（14）和式（17），阻尼器所受阻尼力[PQ（t）]可表示为：
[PQ（t）=k0x+i=6n+5j=1n+5λi， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ]（21）
把式（19）代入式（21），得阻尼力[PQ（t）]的杜哈梅积分表达式为：
[PQ（t）=j=1n+5（k0λ4， j+i=6n+5λi， j）0tePj（t-τ）W（τ）dτ]（22）
对式（5）求导得：
[PQ（t）=k0x+i=1nPQi] （23）
由式（6）、式（8）和式（23），阻尼器阻尼力变化率[PQ（t）]的杜哈梅积分形式为：
[PQ（t）=j=1n+5（a=0nkaλ2， j-b=1ni=6n+5kbcbλi， j）0tePj（t-τ）W（τ）dτ]
（24）
3 响应方差分析
根据式（18）、式（19）、式（22）和式（24），结构响应均可以统一表示成：
[Ls（t）=j=1n+5ls， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ=j=1n+5Ls， j（t）] （25）
式中：[Ls， j]為结构响应分量，其表达式为：
[Ls， j（t）=ls， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ]，j=1，2，…，n+5
（26）
式中：[ls， j]为强度系数，当[s=2]时为结构速度响应，[l2， j=λ2， j];当[s=4]时为结构位移响应，[l4， j=λ4， j];定义当[s=6]时为阻尼器受力响应，[l6， j=k0λ4， j+i=6n+5λi， j];定义当[s=7]时为阻尼器受力速率响应，[l7， j=a=0nkaλ2， j-b=1ni=6n+5kbcbλi， j] .
由于：
[Ls， j（t）=ls， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ=ls， j0tepjτW（t-τ）dτ]，[j=1， 2， …， n+5] （27）
得结构在平稳地震激励下的响应协方差为： [CLs（τ）=E[Ls（t）Ls（t+τ）]=]
[j=1n+5r=1n+5E[Ls， j（t）Ls， r（t+τ）]] （28）
根据式（27），得结构响应分量的协方差为： [E[Ls， j（t）Ls， r（t+τ）]=ls， jls， r0∞0∞epjueprvE[W（t-u）W（t+τ-v）]dudv=]
[ls， jls， r0∞0∞epjueprvCW（u+τ-v）]dudv] （29）
由于[W（t）]为白噪声激励，将式（4）代入 式（29）：
[E[Ls， j（t）Ls， r（t+τ）]=]
[2πS0ls， jls， r0∞0∞epjueprvδ（u+τ-v）dudv] （30）
利用Dirac函数的性质，式（30）可以化为一重积分：
[E[Ls，j（t）Ls， r（t+τ）]=2πS0ls， jls， r0∞epj（u+τ）eprudu]
（31）
对式（31）积分部分进行运算，可得：
[E[Ls， j（t）Ls， r（t+τ）]=2πS0ls， jls， r-epjτpj+pr] （32）
故由式（28）、式（32），可得结构在欧进萍谱激励下的响应为：
[CLs（τ）=E[Ls（t）Ls（t+τ）]=-2πS0j=1n+5r=1n+5ls， jls， rpj+prepjτ]
（33）
令：
[Ds， j=r=1n+5ls， jls， rpj+pr] （34）
则耗能结构系统响应的协方差式（33）可以表示为：
[CLs（τ）=-2πS0j=1n+5Ds， jepjτ] （35）
当[τ=0]时，耗能结构在基于欧进萍谱激励下的响应协方差即为响应方差。
4 谱矩分析
由Wiener-Khinchin关系，结构响应的功率谱为[8]：
[GLs（ω）=1π0∞CLs（τ）cos（ωτ）dτ] （36）
将式（35）代入式（36）：
[GLs（ω）=1πj=1n+5Ds， j0∞epjτcos（ωτ）dτ] （37）
对式（37）积分，可得本文方法结构响应功率谱表达式为：
[GLs（ω）=-1πj=1n+5Ds， jpjω2+p2j] （38） 由谱矩的定义，结构位移响应的0阶谱矩等于位移响应方差，结构位移响应的2阶谱矩等于速度响应方差：
[αx，0=σ2x（0）=j=1n+5D4， j] （39）
[αx，2=σ2x（0）=j=1n+5D2， j] （40）
阻尼力响应的0阶谱矩等于阻尼器受力响应方差，阻尼力响应的2阶谱矩等于阻尼器受力速率响应方差：
[αP，0=σ2P（0）=j=1n+5D6， j] （41）
[αP，2=σ2P（0）=j=1n+5D7， j] （42）
结构位移的1阶谱矩[αx，1]可以表示为：
[αx，1=20∞GLs（ω）ωdω] （43）
将式（38）代入式（43）：
[αx，1=-2πj=1n+50∞D4， jpjω2+p2jωdω] （44）
將上式积分可得：
[αx，1=-1πj=1n+5D4， jpjln（ω2+p2j）∞0= 1πj=1n+5D4， jpjlnp2j-1πln（∞2+p2j）j=1n+5D4， jpj]（45）
根据文献[8]可知：
[j=1n+5D4， jpj=0] （46）
故位移的1阶谱矩表达式为：
[αx，1=1πj=1n+5D4， jpjlnp2j] （47）
同理可得，阻尼力的1阶谱矩表达式为：
[αP，1=1πj=1n+5D6， jpjlnp2j] （48）
5 算例
某单层附加广义Maxwell粘弹性阻尼器的钢筋混凝土框架结构，场地抗震设防烈度为7度，场地土为Ⅱ类，结构质量[m=3.6×105 kg]，刚度 [k=3.2×108 N/m]，阻尼比[ξ=0.05].广义Maxwell阻尼器的平衡刚度[k0=2.5×106 N/m]，标准 Maxwell阻尼器两分支单元的刚度和阻尼分别为[k1=5.3×106 N/m]，[c1=7.2×104 N·s/m];[k2=3.7×106 N/m]，[c2=8.9×104 N·s/m].耗能结构采用欧进 萍谱作为随机地震激励，根据文献[1]，谱强度因子[S0=3.176×10-3 m2/s3]，场地土的阻尼比[ξg=0.72]，卓越频率[ωg=15.71 rad/s]，基岩的谱参数[ωh=8 π rad/s].
5.1 本文方法功率谱计算验证
由式（8）、式（14）和式（17），可得地面相对于基岩的速度和位移[u]、[u]：
[u=u1z=j=1n+5λ1， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ] （49）
[u=u3z=j=1n+5λ3， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ] （50）
将式（49）、式（50）代入式（3a）、式（3b），得地面加速度[xg]的杜哈梅积分形式为：
[xg=-（2ξgωgu+ω2gu）=]
[-j=1n+5（2ξgωgλ1， j+ω2gλ3， j）0tepj（t-τ）W（τ）dτ]（51）
令[γj=-（2ξgωgλ1， j+ω2gλ3， j）]，则式（51）可以改写成：
[xg=j=1n+5γj0tepj（t-τ）W（τ）dτ] （52）
由式（34）、式（38）和式（52）可得按本文方法激励[xg]的功率谱表达式为：
[Gxg（ω）=2S0j=1n+5r=1n+5γjγrpj+prpjω2+p2j] （53）
本文方法求得的结构相对于地面位移[x（ω）]的响应功率谱表达式见式（38）.
令复数频率特性：
[H（ω）=-mω2+cjω+k+k0+i=1nkijωjω+ki/ci]（54）
式中：[j=-1].
即传统方法基于欧进萍谱的结构相对于地面位移[x（ω）]的响应功率谱为：
[Gx（ω）=m2Gxg（ω）H（ω）H*（ω）] （55） 式中：*表示取复共轭.
图4给出了地面绝对加速度[xg]的激励功率谱对比图，图5给出了结构相对于地面位移[x（ω）]的响应功率谱对比图.可以看出，在图4和图5中，本文方法与已有的虚拟激励法计算得到的功率谱值完全重合，这也验证了本文方法解析表达式正确性，而本文方法给出的功率谱表达式为系统特征值的线性组合，形式更为简洁，计算简单易行.
5.2 本文方法谱矩计算精度对比
为了验证谱矩计算精度，将本文方法和传统虚拟激励法分别得到的0—2阶谱矩进行对比分析.表1列出了当虚拟激励法积分区间固定为[0， 500]时，虚拟激励法取0.10 rad/s、0.25 rad/s、0.50 rad/s 3种不同频域积分步长的谱矩与本文方法的谱矩对比. 表2列出了当虚拟激励法的频域积分步长固定为 0.25 rad/s时，虚拟激励法取3种不同积分区间 [0， 100]、[0， 250]、[0， 500]的谱矩与本文方法的谱矩对比.
由表1、表2数据可以看出，传统虚拟激励法中，选取不同的积分步长和积分间距对谱矩计算精度影响较大，从图5结构位移功率谱图像的凹凸走势可直观看出，如果积分区间选择不当，有可能造成结果偏大或偏小.两种方法计算的谱矩近似程度高，误差值与0非常接近，而且随着频域积分步长[Δω]的减小和整个积分区间的增大，虚拟激励法得到的谱矩更接近本文方法的计算值，这也说明了本文方法的准确性和精确性.本文方法的精度明显优于虚拟激励法，同时也提高了运算的准确性和计算效率.
6 结论
本文对设置广义Maxwell阻尼单自由度结构在欧进萍谱激励下的平稳随机地震动响应进行了研究，所得结论如下：
1）利用复模态法，使基于欧进萍谱的激励转化为白噪声激励，从而获得结构以系统特征值线性表示的结构响应和阻尼器受力响应的解析解，表达式简洁、实用，无需数值积分就可获得各类响应的值，提高了运算效率.
2）本文提出的谱矩计算方法不受积分步长和积分区间的影响，计算精度比传统虚拟激励法显著提高，可为结构的设计和优化提供分析路径，更有利于工程的应用.
3）本文计算得到的耗能结构的0—2阶谱矩及方差，可为结构动力可靠度分析提供参考.
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A concise closed-form solution for random response of single degree of freedom structure with generalized Maxwell damper based on
Ou Jinping spectrum
LIU Meihua， ZOU Wanjie*， GE Xinguang， JIANG Yan
（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，
Liuzhou 545006， China）
Abstract： By studying the random ground motion response of the generalized Maxwell damper energy dissipation structure based on Ou Jinping spectrum， a concise closed-form solution is proposed.Firstly， combining the Ou Jinping spectrum filter equation， damper differential constitutive relationship and the structural motion equation to form a non-classical damping system， the ground motion is transformed from Ou Jinping spectral excitation to white noise excitation. Then， using the complex modal method， the Duhamel integral expressions of the structural displacement， velocity and damper force response represented by the white noise excitation are obtained. Finally， based on the random vibration theory， a concise closed-form solution for the power spectrum and the 0-2 order spectral moment expressed by the complex eigenvalues are obtained， and the accuracy and efficiency of the proposed method is verified by giving an example.
Key words： generalized Maxwell damper; Ou Jinping spectrum; seismic response; concise closed-form solution
（責任编辑：罗小芬）
关键词：广义Maxwell阻尼器;欧进萍谱;地震响应;简明封闭解
中图分类号：TU318 DOI：10.16375/j.cnki.cn45-1395/t.2021.04.009
0 引言
地震地面运动过程具有随机性，其发生时间、地点和强度难以确定.地震动是由震源释放出来的地震波引起的地面运动，是引起震害的外因，国内外众多学者提出了各种随机地震动力学模型[1-3].工程上常把地震视为建筑物反应的随机激励，建立随机地震动模型是进行结构反应设计分析的基础[4-7].地震地面运动随机过程可模型化为平稳与非平稳两大类[8]，当随机过程理论应用于地震动分析时，如果不考虑地震动频率的非平稳特性，平稳随机过程模型可使问题的分析尤为简化，故工程上一般采用平稳假设.目前，金井清平稳地震动模型[2]在地震工程界被广为使用，但是该模型假定了基岩地震动为白噪声，不能反映基岩地震动的频谱特征，也不能求出地面的位移、速度及加速度过程导数方差的有限值.为了改进金井清谱模型的不足，欧进萍等[1]在金井清谱模型基础上，假定基岩运动为“马尔柯夫”有色谱，提出了一种改进的地震动模型，该模型保持了金井清谱过滤噪声的特点（即将地表覆盖土层视为单自由度线性滤波器），较好地反映了地表覆盖土层和基岩的频谱特征，欧进萍模型对金井清谱的高频段引入了修正项，同时也能够求得地面位移、速度及加速度过程导数等方差的有限值.为此，研究基于欧进萍谱激励下的结构随机地震动响应的简明封闭解具有重要意义.
粘弹性阻尼器耗能能力强，能有效减小结构体系的地震反应.Maxwell模型阻尼器本构关系简单，能较好地描述粘弹性阻尼器的力学性能，对于实际工程中应用到的线性流体粘弹性阻尼器[9?10]和线性固体粘弹性阻尼器[11]，都可以用参数足够多的广义Maxwell模型精确表示其本构关系[12].因此，采用广义Maxwell模型阻尼器分析结构的动力响应特性是一种有效的被动控制方式[13-15].文獻[13]用扩阶复模态法研究了广义Maxwell阻尼减震结构的平稳响应特性，但所得到的响应方差表达式较复杂;文献[14]用传递函数法研究了广义Maxwell阻尼器系统基于非平稳巴斯金谱的地震响应特性，但计算量较大，且结构响应需要通过数值积分才能得到.因此，分析广义Maxwell模型阻尼器受力响应的简明封闭解对实际工程具有很好的指导作用.
时域法和频域法是研究结构随机地震动响应常用的两种方法[8].时域分析常用的方法主要有实模态法和复模态法[16-19]，但首先要已知随机激励的协方差函数，才能运用时域分析获得结构响应的协方差函数，而欧进萍谱随机激励模型无协方差，因此，时域分析中不能直接得到基于欧进萍谱激励的体系的协方差函数.频域法基于傅里叶变换，虚拟激励法[20]是频域法的典型代表，通过傅里叶变换，由地震动激励功率谱得到结构响应功率谱，再通过数值积分求得地震作用下系统的均方响应，但计算精度会受积分区间和积分步长的影响，而且有时积分运算相当繁复.邹万杰等[4]提出将Kanai-Tajimi谱滤波方程与结构运动方程联合求出结构响应方差和谱矩的简明解，相比已有的数值计算求系统响应，可有效提高运算的准确性和计算效率.本文以文献[4]所提方法为基准，研究了更复杂随机地震动激励下耗能结构响应的简明解法.
本文首先利用欧进萍谱滤波方程和阻尼器微分型本构关系与结构运动方程联合组成非经典阻尼系统;然后，通过时域分析获得结构响应的杜哈梅积分表达式，再由白噪声激励特点，得到系统响应协方差解析式;最后，基于随机振动理论，得到平稳随机过程系统响应的0—2阶谱矩简明封闭解.
1 耗能结构的地震动方程
1.1 结构运动方程
图1为单自由度广义Maxwell阻尼结构.设结构的质量为[m]，阻尼为[c]，刚度为[k]， [x]、[x]、[x]分别为结构相对地面的位移、速度和加速度，[xg（t）]为地面运动绝对加速度，[PQ（t）]为阻尼器所受的阻尼力.
在随机地震激励[xg（t）]作用下，粘弹性阻尼器耗能结构的运动方程为：
[mx+cx+kx+PQ（t）=-mxg（t）] （1）
本文采用欧进萍谱，该模型是对Kanai-Tajimi谱的改进，欧进萍模型的功率谱密度函数为：
[Gxg（ω）=1+4ξ2gω2ω2g（1-ω2ω2g）2+4ξ2gω2ω2g?11+ω2ω2hS0] （2）
式中：[ξg]、[ωg]分别为场地土的阻尼比和卓越频率，[ωh]为基岩的谱参数，[S0]为地震动强度常数，[ω]为功率谱的频域变量.
已有虚拟激励法是通过对式（2）数值积分求解结构地震响应，只有通过数值积分才能得到结构响应方差和谱矩，为此，本文提出将欧进萍谱滤波方程与结构地震动方程联立求解的方法，解决已有方法方差和谱矩分析需要数值积分等问题.欧进萍谱滤波方程描述如下[1]：
[xg（t）=ug+u] （3a） [u+2ξgωgu+ω2gu=-ug] （3b）
[ug=ωhV（t）] （3c）
[V（t）+ωhV（t）=W（t）] （3d）
式中：[ug]为基岩加速度，[u]、[u]、[u]分别为地面相对于基岩的位移、速度和加速度， [V（t）]为随机过程，[V（t）]为[V（t）]对时间[t]的导数，[W（t）]为白噪声激励.其协方差为：
[CW（τ）=2πS0δ（τ）] （4）
式中：[δ（τ）]为Dirac函数.
1.2 广义Maxwell阻尼模型的本构关系
图2所示为广义Maxwell阻尼模型，由一个线性弹簧单元和多个Maxwell单元并联组成，模型的总阻尼力等于各个单元之和，其本构关系为[12]：
[PQ（t）=k0x+PQ1+PQ2+…+PQn=k0x+i=1nPQi]（5）
式中：[k0]为阻尼器平衡刚度，[x]为阻尼器两端相对位移，[PQi]为第[i]个Maxwell阻尼单元的阻尼力.
阻尼器两端相对位移[x]与各分支阻尼力的计算简图如图3所示，其微分关系为[4]：
[PQi+kiciPQi=kix] （6）
式中：[ki]、[ci]分别为第[i]个Maxwell阻尼单元的刚度和阻尼.
1.3 重构地震动方程
由式（1）、式（3）和式（5），将结构的运动方程改写为：
[mx+cx+（k+k0）x+i=1nPQi=-mωhV（t）-mu]（7）
引入状态变量[y]，令其为：
[y=[u x u x V PQ1 … PQn]T] （8）
联立式（3）、式（6）和式（7），写成：
[My+Ky=αW（t）] （9）
式中：
[α=[0 0 0 0 1 0]T] （10）
[M=102ξgωg000Tmm0c00T001000T000100T000010T00000E（n+5）×（n+5）] （11）
[K=00ω2g0ωh0T000k+k0mωhIT-100000T0-10000T0000ωh0T0A000B（n+5）×（n+5）]（12）
式中：[0]是元素均为0的[n×1]阶向量，[E]为[n]阶单位矩阵，[I]为[n×1]阶单位列向量，矩阵
[A=[-k1 -k2 … -kn]T]; [B=diag[k1/c1 k2/c2 … kn/cn]T].
2 結构响应的统一表达式
2.1 结构复模态解耦的杜哈梅积分
由于方程（9）所示体系为非经典体系，故用复模态方法求解.根据复模态理论，系统特征值矩阵[p]为对角矩阵，存在右、左特征向量矩阵[U]、[V]和特征值矩阵[p]使方程（9）解耦，且存在关系式：
[p=-VTKUVTMU] （13）
引入复模态变换：
[y=Uz] （14）
式中：[z]为广义变量.
将方程（9）最终化为已解耦的一阶方程：
[z-pz=ηW（t）] （15）
式中：
[η=VTαVTMU] （16）
由于[p]为对角矩阵，则式（15）可写成分量形式：
[zj=ηj0tepj（t-τ）W（τ）dτ]， j=1，2，…，n+5 （17）
式中：[zj]、[ηj]分别为[z]和[η]的分量.
2.2 结构响应的杜哈梅积分
根据式（8）、式（14）和式（17），得结构的速度[x]和位移[x]的杜哈梅积分表达式为：
[x=u2z=j=1n+5λ2， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ] （18）
[x=u4z=j=1n+5λ4， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ] （19） 式中：[ui]为右特征向量矩阵的第[i]行向量;[λ]为结构响应的强度系数：
[λi， j=ui， j×ηj] （20）
由式（5）、式（8）、式（14）和式（17），阻尼器所受阻尼力[PQ（t）]可表示为：
[PQ（t）=k0x+i=6n+5j=1n+5λi， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ]（21）
把式（19）代入式（21），得阻尼力[PQ（t）]的杜哈梅积分表达式为：
[PQ（t）=j=1n+5（k0λ4， j+i=6n+5λi， j）0tePj（t-τ）W（τ）dτ]（22）
对式（5）求导得：
[PQ（t）=k0x+i=1nPQi] （23）
由式（6）、式（8）和式（23），阻尼器阻尼力变化率[PQ（t）]的杜哈梅积分形式为：
[PQ（t）=j=1n+5（a=0nkaλ2， j-b=1ni=6n+5kbcbλi， j）0tePj（t-τ）W（τ）dτ]
（24）
3 响应方差分析
根据式（18）、式（19）、式（22）和式（24），结构响应均可以统一表示成：
[Ls（t）=j=1n+5ls， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ=j=1n+5Ls， j（t）] （25）
式中：[Ls， j]為结构响应分量，其表达式为：
[Ls， j（t）=ls， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ]，j=1，2，…，n+5
（26）
式中：[ls， j]为强度系数，当[s=2]时为结构速度响应，[l2， j=λ2， j];当[s=4]时为结构位移响应，[l4， j=λ4， j];定义当[s=6]时为阻尼器受力响应，[l6， j=k0λ4， j+i=6n+5λi， j];定义当[s=7]时为阻尼器受力速率响应，[l7， j=a=0nkaλ2， j-b=1ni=6n+5kbcbλi， j] .
由于：
[Ls， j（t）=ls， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ=ls， j0tepjτW（t-τ）dτ]，[j=1， 2， …， n+5] （27）
得结构在平稳地震激励下的响应协方差为： [CLs（τ）=E[Ls（t）Ls（t+τ）]=]
[j=1n+5r=1n+5E[Ls， j（t）Ls， r（t+τ）]] （28）
根据式（27），得结构响应分量的协方差为： [E[Ls， j（t）Ls， r（t+τ）]=ls， jls， r0∞0∞epjueprvE[W（t-u）W（t+τ-v）]dudv=]
[ls， jls， r0∞0∞epjueprvCW（u+τ-v）]dudv] （29）
由于[W（t）]为白噪声激励，将式（4）代入 式（29）：
[E[Ls， j（t）Ls， r（t+τ）]=]
[2πS0ls， jls， r0∞0∞epjueprvδ（u+τ-v）dudv] （30）
利用Dirac函数的性质，式（30）可以化为一重积分：
[E[Ls，j（t）Ls， r（t+τ）]=2πS0ls， jls， r0∞epj（u+τ）eprudu]
（31）
对式（31）积分部分进行运算，可得：
[E[Ls， j（t）Ls， r（t+τ）]=2πS0ls， jls， r-epjτpj+pr] （32）
故由式（28）、式（32），可得结构在欧进萍谱激励下的响应为：
[CLs（τ）=E[Ls（t）Ls（t+τ）]=-2πS0j=1n+5r=1n+5ls， jls， rpj+prepjτ]
（33）
令：
[Ds， j=r=1n+5ls， jls， rpj+pr] （34）
则耗能结构系统响应的协方差式（33）可以表示为：
[CLs（τ）=-2πS0j=1n+5Ds， jepjτ] （35）
当[τ=0]时，耗能结构在基于欧进萍谱激励下的响应协方差即为响应方差。
4 谱矩分析
由Wiener-Khinchin关系，结构响应的功率谱为[8]：
[GLs（ω）=1π0∞CLs（τ）cos（ωτ）dτ] （36）
将式（35）代入式（36）：
[GLs（ω）=1πj=1n+5Ds， j0∞epjτcos（ωτ）dτ] （37）
对式（37）积分，可得本文方法结构响应功率谱表达式为：
[GLs（ω）=-1πj=1n+5Ds， jpjω2+p2j] （38） 由谱矩的定义，结构位移响应的0阶谱矩等于位移响应方差，结构位移响应的2阶谱矩等于速度响应方差：
[αx，0=σ2x（0）=j=1n+5D4， j] （39）
[αx，2=σ2x（0）=j=1n+5D2， j] （40）
阻尼力响应的0阶谱矩等于阻尼器受力响应方差，阻尼力响应的2阶谱矩等于阻尼器受力速率响应方差：
[αP，0=σ2P（0）=j=1n+5D6， j] （41）
[αP，2=σ2P（0）=j=1n+5D7， j] （42）
结构位移的1阶谱矩[αx，1]可以表示为：
[αx，1=20∞GLs（ω）ωdω] （43）
将式（38）代入式（43）：
[αx，1=-2πj=1n+50∞D4， jpjω2+p2jωdω] （44）
將上式积分可得：
[αx，1=-1πj=1n+5D4， jpjln（ω2+p2j）∞0= 1πj=1n+5D4， jpjlnp2j-1πln（∞2+p2j）j=1n+5D4， jpj]（45）
根据文献[8]可知：
[j=1n+5D4， jpj=0] （46）
故位移的1阶谱矩表达式为：
[αx，1=1πj=1n+5D4， jpjlnp2j] （47）
同理可得，阻尼力的1阶谱矩表达式为：
[αP，1=1πj=1n+5D6， jpjlnp2j] （48）
5 算例
某单层附加广义Maxwell粘弹性阻尼器的钢筋混凝土框架结构，场地抗震设防烈度为7度，场地土为Ⅱ类，结构质量[m=3.6×105 kg]，刚度 [k=3.2×108 N/m]，阻尼比[ξ=0.05].广义Maxwell阻尼器的平衡刚度[k0=2.5×106 N/m]，标准 Maxwell阻尼器两分支单元的刚度和阻尼分别为[k1=5.3×106 N/m]，[c1=7.2×104 N·s/m];[k2=3.7×106 N/m]，[c2=8.9×104 N·s/m].耗能结构采用欧进 萍谱作为随机地震激励，根据文献[1]，谱强度因子[S0=3.176×10-3 m2/s3]，场地土的阻尼比[ξg=0.72]，卓越频率[ωg=15.71 rad/s]，基岩的谱参数[ωh=8 π rad/s].
5.1 本文方法功率谱计算验证
由式（8）、式（14）和式（17），可得地面相对于基岩的速度和位移[u]、[u]：
[u=u1z=j=1n+5λ1， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ] （49）
[u=u3z=j=1n+5λ3， j0tepj（t-τ）W（τ）dτ] （50）
将式（49）、式（50）代入式（3a）、式（3b），得地面加速度[xg]的杜哈梅积分形式为：
[xg=-（2ξgωgu+ω2gu）=]
[-j=1n+5（2ξgωgλ1， j+ω2gλ3， j）0tepj（t-τ）W（τ）dτ]（51）
令[γj=-（2ξgωgλ1， j+ω2gλ3， j）]，则式（51）可以改写成：
[xg=j=1n+5γj0tepj（t-τ）W（τ）dτ] （52）
由式（34）、式（38）和式（52）可得按本文方法激励[xg]的功率谱表达式为：
[Gxg（ω）=2S0j=1n+5r=1n+5γjγrpj+prpjω2+p2j] （53）
本文方法求得的结构相对于地面位移[x（ω）]的响应功率谱表达式见式（38）.
令复数频率特性：
[H（ω）=-mω2+cjω+k+k0+i=1nkijωjω+ki/ci]（54）
式中：[j=-1].
即传统方法基于欧进萍谱的结构相对于地面位移[x（ω）]的响应功率谱为：
[Gx（ω）=m2Gxg（ω）H（ω）H*（ω）] （55） 式中：*表示取复共轭.
图4给出了地面绝对加速度[xg]的激励功率谱对比图，图5给出了结构相对于地面位移[x（ω）]的响应功率谱对比图.可以看出，在图4和图5中，本文方法与已有的虚拟激励法计算得到的功率谱值完全重合，这也验证了本文方法解析表达式正确性，而本文方法给出的功率谱表达式为系统特征值的线性组合，形式更为简洁，计算简单易行.
5.2 本文方法谱矩计算精度对比
为了验证谱矩计算精度，将本文方法和传统虚拟激励法分别得到的0—2阶谱矩进行对比分析.表1列出了当虚拟激励法积分区间固定为[0， 500]时，虚拟激励法取0.10 rad/s、0.25 rad/s、0.50 rad/s 3种不同频域积分步长的谱矩与本文方法的谱矩对比. 表2列出了当虚拟激励法的频域积分步长固定为 0.25 rad/s时，虚拟激励法取3种不同积分区间 [0， 100]、[0， 250]、[0， 500]的谱矩与本文方法的谱矩对比.
由表1、表2数据可以看出，传统虚拟激励法中，选取不同的积分步长和积分间距对谱矩计算精度影响较大，从图5结构位移功率谱图像的凹凸走势可直观看出，如果积分区间选择不当，有可能造成结果偏大或偏小.两种方法计算的谱矩近似程度高，误差值与0非常接近，而且随着频域积分步长[Δω]的减小和整个积分区间的增大，虚拟激励法得到的谱矩更接近本文方法的计算值，这也说明了本文方法的准确性和精确性.本文方法的精度明显优于虚拟激励法，同时也提高了运算的准确性和计算效率.
6 结论
本文对设置广义Maxwell阻尼单自由度结构在欧进萍谱激励下的平稳随机地震动响应进行了研究，所得结论如下：
1）利用复模态法，使基于欧进萍谱的激励转化为白噪声激励，从而获得结构以系统特征值线性表示的结构响应和阻尼器受力响应的解析解，表达式简洁、实用，无需数值积分就可获得各类响应的值，提高了运算效率.
2）本文提出的谱矩计算方法不受积分步长和积分区间的影响，计算精度比传统虚拟激励法显著提高，可为结构的设计和优化提供分析路径，更有利于工程的应用.
3）本文计算得到的耗能结构的0—2阶谱矩及方差，可为结构动力可靠度分析提供参考.
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A concise closed-form solution for random response of single degree of freedom structure with generalized Maxwell damper based on
Ou Jinping spectrum
LIU Meihua， ZOU Wanjie*， GE Xinguang， JIANG Yan
（School of Civil Engineering and Architecture， Guangxi University of Science and Technology，
Liuzhou 545006， China）
Abstract： By studying the random ground motion response of the generalized Maxwell damper energy dissipation structure based on Ou Jinping spectrum， a concise closed-form solution is proposed.Firstly， combining the Ou Jinping spectrum filter equation， damper differential constitutive relationship and the structural motion equation to form a non-classical damping system， the ground motion is transformed from Ou Jinping spectral excitation to white noise excitation. Then， using the complex modal method， the Duhamel integral expressions of the structural displacement， velocity and damper force response represented by the white noise excitation are obtained. Finally， based on the random vibration theory， a concise closed-form solution for the power spectrum and the 0-2 order spectral moment expressed by the complex eigenvalues are obtained， and the accuracy and efficiency of the proposed method is verified by giving an example.
Key words： generalized Maxwell damper; Ou Jinping spectrum; seismic response; concise closed-form solution
（責任编辑：罗小芬）