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摘 要：本文在现有高中数学教学模式的基础上，以佐藤学教授的“登山型”课程为理论依据，尝试用“登山型”模式对《极坐标系》这节课进行教学设计，通过远景、近景、特写、鸟瞰、品味五个环节组织登山过程，赋予学生学习的主体地位和自主权力，关注学生在学习过程中的能力培养和情感体验，激发学生在课堂中的学习热情和创新精神，从而使其享受到学习所带来的乐趣及成功的喜悦.
关键词：教学模式；概念教学；登山型
2013年10月，笔者有幸参加了浙江省高中数学课堂教学评比，由于此次评比的主题是：深化课程改革背景下的“高中数学教学模式变革”——知识拓展类课程教学研究. 所以在参赛课题“极坐标系”的教学设计与教学实践中，对如何改善教与学的方式，构建以学生为主体，培养学生能力发展的教学模式进行了深入的思考与探究.
[?] 中学数学教学模式概述
教学模式是指在一定教育理论指导下，在大量的教学实验基础上，为完成特定的教学目标和教学内容而形成的稳定、简明的数学结构理论框架及其具体可操作性的实践活动方式. 它反映了教学结构中教师、学生、教材三要素间的组合关系，揭示了教学结构中各阶段、环节、步骤之间纵向关系以及构成课堂教学的教学内容、教学目标、教学手段、教学方法等因素之间的横向关系，表现为影响教学目标达成的诸要素在一定时空结构内某一教学环节中的组合方式.
1. 数学课堂常用的教学模式
目前中学数学课堂主要有以下几种常用的教学模式：讲解—传授模式，即以教师的系统讲解为主，教师进行适当的启发提问；引导—发现模式，教师不是将既有的知识灌输给学生，而是通过设置一个个问题链激发学生的求知欲，最终在教师的指导下发现问题、解决问题；自学—辅导模式，在教学过程中，学生通过自学，进行探索、研究，教师则通过给出自学提纲，提供一定的阅读材料和思考问题的线索，启发学生进行独立思考；活动—参与模式，通过教师的引导，学生自主参与数学实践活动，密切联系数学与生活实际，掌握数学知识的发生、形成过程和数学建模方法，形成数学的应用意识.这几种教学模式的演变过程体现了由“教师中心”向“教师为主导、学生为主体”的转变.
2. 《新课标》对转变教学模式的要求
《高中数学新课程标准》 明确指出：高中数学课程最基本理念的是丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法，学生在学习中不仅要重视对概念、技能、结论的记忆和接受，还必须积极开展动手实践、独立思考、合作交流、自主探索和阅读自学等活动. 这就需要教师转变传统的教学观念和教学方式，充分发挥学生学习的主动性，使学生的学习成为在教师引导下的“再创造”过程.
[?] “登山型”教学模式初探
“极坐标系”这节课的基本任务是使学生认识极坐标系，具体地，要使学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 对于高二学生来说，在学习了平面直角坐标系的基础上接受极坐标的概念并进行简单应用并没有什么困难，但是作为核心概念的教学，如果没有让学生经历概念的探索过程，感知概念的形成过程，恐怕学生难以真正理解用极坐标刻画点的位置这一基本思想. 于是在日本佐藤学教授“登山型”课程的启发下尝试用“登山型”模式对本节课进行教学设计.
1. “登山型”教学模式的理论依据
佐藤学教授认为，学习是一种走向自我完善的对话性实践活动，学习必须摆脱基于效率与竞争的强迫性、排斥性的品质与特点，恢复其本真面貌与意义，使学习成为一种富有主动性、合作性、探究性、反思性品质的实践活动.
佐藤学根据教育内容与学习者的关系，把课程区分性质不同的两种样式：“阶梯型”课程和“登山型”课程. 其中传统的“阶梯型”课程其教育内容与学习活动是瞄准最终目标，划分好小步子，然后引导学习者朝最终目标步步攀升来加以组织的，这样的过程是受“效率”与“竞争”支配的强迫性活动，教师完全控制着传递与评价权利，学习者完全丧失了学习的主体性与主动性，被动地、机械地、整齐划一地进行着程序化的“流水作业式”的学习活动. 而“登山型”课程由主题单元（山）构成，拥有多种学习途径（登山路线），虽然目标是达到顶峰，但“登山型”课程的价值在于登山本身的体验及其快乐，在学习过程中，学习者能够选择自己的道路，以自己的方法、自己的速度登山，教师不再是“知识的分配者”，而是作为“导游”发挥着引导的作用.
显然，“阶梯型”的课程强调的是重结论的教学，而“登山型”课程不仅重视结论，还强调过程，以及关注学习者的体验与经验，赋予学习者学习的主体地位与自主权力. 佐藤学教授所提出的由“阶梯型”课程转换为“登山型”课程的主张，对于转变我们的教学理念与教学模式无疑有着非常重要的指导意义.
2. 设计登山路线，理清核心主线
本节课对于极坐标这一概念的教学不仅要让学生了解极坐标的来龙去脉，理解极坐标的内涵和外延，还要让学生弄清极坐标与其他坐标之间的区别与联系，在头脑中形成极坐标概念的知识网络，以达到掌握并灵活运用的程度. 正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，要真正理解概念，需全方位、多角度进行解读，作为一名“导游”，怎样设计登山线路，即理清本节课的核心主线是教学设计的关键. 基于对教学内容的分析、教学目标的解读以及学生的学情分析，笔者决定通过远景、近景、特写、鸟瞰、品味五个环节组织登山过程.
3. 展开登山之旅，简述教学过程
（1）远景——了解极坐标的现实生活背景
在概念引入阶段，创设有效的问题情境不仅能够突出知识点和教学任务，直奔主题，而且能够激发学生的学习兴趣、激活学生思维、充分调动学生学习的主动性，正如登山时的远景展现不仅可以让登山者了解具体的地理位置，山形地貌，而且雄伟壮丽的风景将勾起登山者强烈的登山欲望，从而去体验登山所带来的各种乐趣.
教科书是通过“如何确定或描述学校建筑物位置”引入概念，虽然通俗易懂，直入主题，又可用于后续例题教学，但是指路问题似乎有别于我们的现实习惯，而且单凭一个引例很难让学生有丰富的感性认识，更不用说从中抽象概括出概念. 于是重新设计问题情境如下： 情境一：怎样刻画钓鱼岛的位置？
情境二：在战争中，指挥中心需要告知士兵附近的危险情况，如果你是指挥官，你觉得应该怎样描述危险位置能够让士兵迅速做出反应？
设计意图：情境一钓鱼岛的位置通过两种方式来定位，复习旧知，引出新知，起到了承上启下的作用；同一个位置两种定位方式，也为后面极坐标与直角坐标的互化奠定了基础. 情境二战争中对危险位置的描述，让学生根据自己的生活经验，自然地认识到在某些情况下用“距离”和“角度”刻画点的位置比直角坐标系更方便，从而引出研究极坐标的必要性.
（2）近景——归纳情境中极坐标的共同属性
如果说远景为登山者勾勒出了山的轮廓，那么近景则是登山者走进山之后的近距离接触. 在创设情境，直观感知之后，就需要学生展开观察，分析各事例的属性，抽象概括其共同本质属性，为之后数学概念的归纳做好准备.
问题一：上述两个情境中“距离”和“角度”是怎样确定的？
情境一：钓鱼岛距宁波东偏南63°方向495千米，是以宁波为基点，以正东方向为参照方向来确定位置.情境二危险位置在士兵的东偏北60°方向距离100米处，是以士兵所在位置为基点，正东方向为参照方向来确定位置.
设计意图：由学生归纳出引例的共同点：要确定位置，必须先有一个基点，一个参照方向，才能刻画“距离”和“角度”. 这不仅为建立极坐标系做好铺垫，也有助于学生深刻理解极坐标的概念.
（3）特写——探究极坐标系的建立过程
登山过程中总是会经历最富有特征，最为震撼人心的奇景，而这些也往往最值得我们做集中的、精细的、突出的描绘，即所谓的特写. 在概念的探究阶段，为了让学生更好地经历概念的形成过程，加深对概念本质的理解，也需要教师对这一环节做具体的、细致的、严密的特写设计.
教材中的思考：类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？课堂实践表明直接抛出这样的问题，绝大多数学生都无从下手，分析原因：第一学生不知道怎么类比，第二学生不曾想到之前的引例对建系有何意义，所以思维受阻，探究活动很难开展. 于是对这个思考问题反复研读，发现其包含了三条信息：（1）借助坐标系可以确定平面上点的位置；（2）极坐标系中是用“距离”和“角度”两个量来确定点的位置；（3）可以类比平面直角坐标系的建立过程来建立极坐标系.接下来尝试把上述思考分解成若干小问题，具体教学过程如下：
从实例中抽象出数学问题，在黑板上随意画一个点，思考怎样刻画这个点的位置. 即问题一：怎样刻画平面内一个点的位置？有了之前的直观感知学生很容易发现有两种定位方式：一种是通过“横坐标”和“纵坐标”；另一种是通过“距离和角度”. 显然这个问题有助于学生将生活问题数学化，有助于将旧知与新知联系起来，有助于学生认识到建系是刻画点的位置的一种必然需求.
问题二：如果通过“横坐标”和“纵坐标”来定位，应该怎样建立坐标系？引导学生回顾直角坐标系的建系过程、建系要素以及坐标表示，为极坐标系的建立提供具体的类比对象.
问题三：如果用“距离”和“角度”来确定位置，应该建立一个怎样的坐标系呢？
要求学生在画有一个点的白纸上画出坐标系，写出建系要素. 这里首先给学生充分独立思考的时间，然后小组合作，在组内交流自己的看法，形成“统一”意见.
设计意图：将问题逐层分解，启发学生要建立一个新的坐标系，他们已具备生活经验和类比对象，帮助学生在原有知识与新知识之间架设一座沟通的桥梁. 通过小组合作的方式，引导学生根据已有经验自己创建坐标系，让学生经历概念的形成过程，经历从感性到理性的思维过程.
小组讨论之后，接下来的环节是全班进行交流，此时将学生的建系大致划分为三个流派，分别选取典型代表以投影的方式进行展示，按照建立的坐标系由繁杂到简洁的顺序排列（见下图）. 先由学生一起分析其共同点和不同点，再依次请三个流派的代表阐述自己的坐标系怎样刻画点的位置，并解释减少某些建系要素的理由，最后形成统一认识.
设计意图：极坐标系的建立是学生发现和创造数学的过程，每个人都是根据自己的体验，用自己的思维方式来建系，由于学生所具有的数学知识和思维水平的不同，他们的建系方式也有所差异. 三个流派代表的发言就是为了让学生能够通过观察，比较各种建系异同点，自觉、主动地反思他们的创造过程，从而得到最简洁合理的坐标系.
（4）鸟瞰——构建极坐标系概念的知识网络
对于登山者而言，最兴奋的莫过于登上山顶，感受“一览众山小”的意境，因为在经历了艰难跋涉之后，展现在眼前的将是一幅气象雄浑、明朗开阔的画面.概念形成之后，如果学生只会进行概念的简单应用，那么他的视野只是脚下的山头，唯有将所学概念纳入自己原有的知识系统，建立与相关概念的联系，才能鸟瞰美景，体验成功的喜悦.
在完成例题教学后继续进行以下探究：（1）总结极坐标系中找点的一般方法以及极坐标的一般形式；（2）总结极坐标系中点与坐标的对应关系，并与平面直角坐标进行对比；（3）观察点N与点Q，从几何和代数两方面分析其关系，并将结论推广到一般情况；同样的观察点N与点P的关系，并将结论推广到一般情况；（4）平面几何中，点与点之间除了对称，还可以研究什么问题？推导极坐标系下的两点间距离公式.
设计意图：例题是把知识（概念）、技能、方法和思想联系起来的纽带，它有助于学生进一步构建概念网络，将知识转化为能力，所以在具体的例题教学中，我们不能仅把它看成是简单的概念应用或是技能训练，而应充分挖掘例题中所蕴含的数学思想和数学方法. 比如此处所体现的特殊到一般的思想，坐标法的思想，归纳和类比的意识，这些都将有效的加深学生对概念的理解.
（5）品味——追溯历史感受极坐标的思想文化
登山的乐趣除了视觉上的享受，精神上的征服，当然还有登山期间对于各种经历的人生感悟. 同样，概念的学习除了使学生获得知识，培养能力外，也应该包含提升人文素养，这就需要教师为学生提供合适的材料，与学生一起品味渗透其中的数学思想和数学文化.
在本节课的教学中穿插了以下材料：
材料一：极坐标系的创建历史
贝努利于1691年《教师学报》最先发表了有关极坐标系的理论.
关于极坐标的建立，牛顿完成于1671年. 但于1736年发表论著，把极坐标看成是确定平面上的点的位置的方法，并与其他9种坐标进行互相转化.
材料二：浪漫数学家的另类情书
数学家笛卡儿在斯德哥尔摩的街头邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀后，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发. 笛卡尔给克里斯汀总共寄出十三封信，最后一封信中没有写一句话，只有一个方程：ρ=a·（1-sinθ）. 这个方程在极坐标系中表示的是一条心形曲线.
材料三：极坐标系下的其他优美曲线（见图7）.
设计意图：数学文化的渗透应该是“润物细无声”的，在学生探究形成新知后，适当介绍数学史，可以让学生明白严谨的数学理论的构建是经历了长久的探索和修订才完成的，我们的认知过程也一样，只要不断学习新知识，不断运用新方法，不断反思和完善，很多看起来高深的数学理论也是可以企及的. 在完成教学任务后展示极坐标下的各种优美曲线，一方面为后续的学习做好铺垫，另一方面，让学生感受数学之美，体会极坐标丰富、深邃的内涵和思想，同时也让学生感受到了数学家严谨治学、锲而不舍的探索精神，以及浪漫感性的另一面.
4. 教学启示
这是一次“登山式”概念教学的尝试，每个学生都是参与其中的“登山者”，学习过程中的艰难与不易、勇气与胆量、分享与收获、情趣与快乐，带给学生的是一种真实、自然、深刻的体验，而对扮演“导游”角色的教师来说，不仅要对山的情况了如指掌，更要正确认识登山者的心态、体力、与智力，这样才能合理确定登山路径、安排登山行程，以及帮助“登山者”完成登山后的欣赏和感受的梳理. 我们的教学中应该多一些这样的“登山之旅”，让学生快乐地“登山”，快乐地学习.
关键词：教学模式；概念教学；登山型
2013年10月，笔者有幸参加了浙江省高中数学课堂教学评比，由于此次评比的主题是：深化课程改革背景下的“高中数学教学模式变革”——知识拓展类课程教学研究. 所以在参赛课题“极坐标系”的教学设计与教学实践中，对如何改善教与学的方式，构建以学生为主体，培养学生能力发展的教学模式进行了深入的思考与探究.
[?] 中学数学教学模式概述
教学模式是指在一定教育理论指导下，在大量的教学实验基础上，为完成特定的教学目标和教学内容而形成的稳定、简明的数学结构理论框架及其具体可操作性的实践活动方式. 它反映了教学结构中教师、学生、教材三要素间的组合关系，揭示了教学结构中各阶段、环节、步骤之间纵向关系以及构成课堂教学的教学内容、教学目标、教学手段、教学方法等因素之间的横向关系，表现为影响教学目标达成的诸要素在一定时空结构内某一教学环节中的组合方式.
1. 数学课堂常用的教学模式
目前中学数学课堂主要有以下几种常用的教学模式：讲解—传授模式，即以教师的系统讲解为主，教师进行适当的启发提问；引导—发现模式，教师不是将既有的知识灌输给学生，而是通过设置一个个问题链激发学生的求知欲，最终在教师的指导下发现问题、解决问题；自学—辅导模式，在教学过程中，学生通过自学，进行探索、研究，教师则通过给出自学提纲，提供一定的阅读材料和思考问题的线索，启发学生进行独立思考；活动—参与模式，通过教师的引导，学生自主参与数学实践活动，密切联系数学与生活实际，掌握数学知识的发生、形成过程和数学建模方法，形成数学的应用意识.这几种教学模式的演变过程体现了由“教师中心”向“教师为主导、学生为主体”的转变.
2. 《新课标》对转变教学模式的要求
《高中数学新课程标准》 明确指出：高中数学课程最基本理念的是丰富学生的学习方式，改进学生的学习方法，学生在学习中不仅要重视对概念、技能、结论的记忆和接受，还必须积极开展动手实践、独立思考、合作交流、自主探索和阅读自学等活动. 这就需要教师转变传统的教学观念和教学方式，充分发挥学生学习的主动性，使学生的学习成为在教师引导下的“再创造”过程.
[?] “登山型”教学模式初探
“极坐标系”这节课的基本任务是使学生认识极坐标系，具体地，要使学生能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置. 对于高二学生来说，在学习了平面直角坐标系的基础上接受极坐标的概念并进行简单应用并没有什么困难，但是作为核心概念的教学，如果没有让学生经历概念的探索过程，感知概念的形成过程，恐怕学生难以真正理解用极坐标刻画点的位置这一基本思想. 于是在日本佐藤学教授“登山型”课程的启发下尝试用“登山型”模式对本节课进行教学设计.
1. “登山型”教学模式的理论依据
佐藤学教授认为，学习是一种走向自我完善的对话性实践活动，学习必须摆脱基于效率与竞争的强迫性、排斥性的品质与特点，恢复其本真面貌与意义，使学习成为一种富有主动性、合作性、探究性、反思性品质的实践活动.
佐藤学根据教育内容与学习者的关系，把课程区分性质不同的两种样式：“阶梯型”课程和“登山型”课程. 其中传统的“阶梯型”课程其教育内容与学习活动是瞄准最终目标，划分好小步子，然后引导学习者朝最终目标步步攀升来加以组织的，这样的过程是受“效率”与“竞争”支配的强迫性活动，教师完全控制着传递与评价权利，学习者完全丧失了学习的主体性与主动性，被动地、机械地、整齐划一地进行着程序化的“流水作业式”的学习活动. 而“登山型”课程由主题单元（山）构成，拥有多种学习途径（登山路线），虽然目标是达到顶峰，但“登山型”课程的价值在于登山本身的体验及其快乐，在学习过程中，学习者能够选择自己的道路，以自己的方法、自己的速度登山，教师不再是“知识的分配者”，而是作为“导游”发挥着引导的作用.
显然，“阶梯型”的课程强调的是重结论的教学，而“登山型”课程不仅重视结论，还强调过程，以及关注学习者的体验与经验，赋予学习者学习的主体地位与自主权力. 佐藤学教授所提出的由“阶梯型”课程转换为“登山型”课程的主张，对于转变我们的教学理念与教学模式无疑有着非常重要的指导意义.
2. 设计登山路线，理清核心主线
本节课对于极坐标这一概念的教学不仅要让学生了解极坐标的来龙去脉，理解极坐标的内涵和外延，还要让学生弄清极坐标与其他坐标之间的区别与联系，在头脑中形成极坐标概念的知识网络，以达到掌握并灵活运用的程度. 正所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，要真正理解概念，需全方位、多角度进行解读，作为一名“导游”，怎样设计登山线路，即理清本节课的核心主线是教学设计的关键. 基于对教学内容的分析、教学目标的解读以及学生的学情分析，笔者决定通过远景、近景、特写、鸟瞰、品味五个环节组织登山过程.
3. 展开登山之旅，简述教学过程
（1）远景——了解极坐标的现实生活背景
在概念引入阶段，创设有效的问题情境不仅能够突出知识点和教学任务，直奔主题，而且能够激发学生的学习兴趣、激活学生思维、充分调动学生学习的主动性，正如登山时的远景展现不仅可以让登山者了解具体的地理位置，山形地貌，而且雄伟壮丽的风景将勾起登山者强烈的登山欲望，从而去体验登山所带来的各种乐趣.
教科书是通过“如何确定或描述学校建筑物位置”引入概念，虽然通俗易懂，直入主题，又可用于后续例题教学，但是指路问题似乎有别于我们的现实习惯，而且单凭一个引例很难让学生有丰富的感性认识，更不用说从中抽象概括出概念. 于是重新设计问题情境如下： 情境一：怎样刻画钓鱼岛的位置？
情境二：在战争中，指挥中心需要告知士兵附近的危险情况，如果你是指挥官，你觉得应该怎样描述危险位置能够让士兵迅速做出反应？
设计意图：情境一钓鱼岛的位置通过两种方式来定位，复习旧知，引出新知，起到了承上启下的作用；同一个位置两种定位方式，也为后面极坐标与直角坐标的互化奠定了基础. 情境二战争中对危险位置的描述，让学生根据自己的生活经验，自然地认识到在某些情况下用“距离”和“角度”刻画点的位置比直角坐标系更方便，从而引出研究极坐标的必要性.
（2）近景——归纳情境中极坐标的共同属性
如果说远景为登山者勾勒出了山的轮廓，那么近景则是登山者走进山之后的近距离接触. 在创设情境，直观感知之后，就需要学生展开观察，分析各事例的属性，抽象概括其共同本质属性，为之后数学概念的归纳做好准备.
问题一：上述两个情境中“距离”和“角度”是怎样确定的？
情境一：钓鱼岛距宁波东偏南63°方向495千米，是以宁波为基点，以正东方向为参照方向来确定位置.情境二危险位置在士兵的东偏北60°方向距离100米处，是以士兵所在位置为基点，正东方向为参照方向来确定位置.
设计意图：由学生归纳出引例的共同点：要确定位置，必须先有一个基点，一个参照方向，才能刻画“距离”和“角度”. 这不仅为建立极坐标系做好铺垫，也有助于学生深刻理解极坐标的概念.
（3）特写——探究极坐标系的建立过程
登山过程中总是会经历最富有特征，最为震撼人心的奇景，而这些也往往最值得我们做集中的、精细的、突出的描绘，即所谓的特写. 在概念的探究阶段，为了让学生更好地经历概念的形成过程，加深对概念本质的理解，也需要教师对这一环节做具体的、细致的、严密的特写设计.
教材中的思考：类比建立平面直角坐标系的过程，怎样建立用距离与角度确定平面上点的位置的坐标系？课堂实践表明直接抛出这样的问题，绝大多数学生都无从下手，分析原因：第一学生不知道怎么类比，第二学生不曾想到之前的引例对建系有何意义，所以思维受阻，探究活动很难开展. 于是对这个思考问题反复研读，发现其包含了三条信息：（1）借助坐标系可以确定平面上点的位置；（2）极坐标系中是用“距离”和“角度”两个量来确定点的位置；（3）可以类比平面直角坐标系的建立过程来建立极坐标系.接下来尝试把上述思考分解成若干小问题，具体教学过程如下：
从实例中抽象出数学问题，在黑板上随意画一个点，思考怎样刻画这个点的位置. 即问题一：怎样刻画平面内一个点的位置？有了之前的直观感知学生很容易发现有两种定位方式：一种是通过“横坐标”和“纵坐标”；另一种是通过“距离和角度”. 显然这个问题有助于学生将生活问题数学化，有助于将旧知与新知联系起来，有助于学生认识到建系是刻画点的位置的一种必然需求.
问题二：如果通过“横坐标”和“纵坐标”来定位，应该怎样建立坐标系？引导学生回顾直角坐标系的建系过程、建系要素以及坐标表示，为极坐标系的建立提供具体的类比对象.
问题三：如果用“距离”和“角度”来确定位置，应该建立一个怎样的坐标系呢？
要求学生在画有一个点的白纸上画出坐标系，写出建系要素. 这里首先给学生充分独立思考的时间，然后小组合作，在组内交流自己的看法，形成“统一”意见.
设计意图：将问题逐层分解，启发学生要建立一个新的坐标系，他们已具备生活经验和类比对象，帮助学生在原有知识与新知识之间架设一座沟通的桥梁. 通过小组合作的方式，引导学生根据已有经验自己创建坐标系，让学生经历概念的形成过程，经历从感性到理性的思维过程.
小组讨论之后，接下来的环节是全班进行交流，此时将学生的建系大致划分为三个流派，分别选取典型代表以投影的方式进行展示，按照建立的坐标系由繁杂到简洁的顺序排列（见下图）. 先由学生一起分析其共同点和不同点，再依次请三个流派的代表阐述自己的坐标系怎样刻画点的位置，并解释减少某些建系要素的理由，最后形成统一认识.
设计意图：极坐标系的建立是学生发现和创造数学的过程，每个人都是根据自己的体验，用自己的思维方式来建系，由于学生所具有的数学知识和思维水平的不同，他们的建系方式也有所差异. 三个流派代表的发言就是为了让学生能够通过观察，比较各种建系异同点，自觉、主动地反思他们的创造过程，从而得到最简洁合理的坐标系.
（4）鸟瞰——构建极坐标系概念的知识网络
对于登山者而言，最兴奋的莫过于登上山顶，感受“一览众山小”的意境，因为在经历了艰难跋涉之后，展现在眼前的将是一幅气象雄浑、明朗开阔的画面.概念形成之后，如果学生只会进行概念的简单应用，那么他的视野只是脚下的山头，唯有将所学概念纳入自己原有的知识系统，建立与相关概念的联系，才能鸟瞰美景，体验成功的喜悦.
在完成例题教学后继续进行以下探究：（1）总结极坐标系中找点的一般方法以及极坐标的一般形式；（2）总结极坐标系中点与坐标的对应关系，并与平面直角坐标进行对比；（3）观察点N与点Q，从几何和代数两方面分析其关系，并将结论推广到一般情况；同样的观察点N与点P的关系，并将结论推广到一般情况；（4）平面几何中，点与点之间除了对称，还可以研究什么问题？推导极坐标系下的两点间距离公式.
设计意图：例题是把知识（概念）、技能、方法和思想联系起来的纽带，它有助于学生进一步构建概念网络，将知识转化为能力，所以在具体的例题教学中，我们不能仅把它看成是简单的概念应用或是技能训练，而应充分挖掘例题中所蕴含的数学思想和数学方法. 比如此处所体现的特殊到一般的思想，坐标法的思想，归纳和类比的意识，这些都将有效的加深学生对概念的理解.
（5）品味——追溯历史感受极坐标的思想文化
登山的乐趣除了视觉上的享受，精神上的征服，当然还有登山期间对于各种经历的人生感悟. 同样，概念的学习除了使学生获得知识，培养能力外，也应该包含提升人文素养，这就需要教师为学生提供合适的材料，与学生一起品味渗透其中的数学思想和数学文化.
在本节课的教学中穿插了以下材料：
材料一：极坐标系的创建历史
贝努利于1691年《教师学报》最先发表了有关极坐标系的理论.
关于极坐标的建立，牛顿完成于1671年. 但于1736年发表论著，把极坐标看成是确定平面上的点的位置的方法，并与其他9种坐标进行互相转化.
材料二：浪漫数学家的另类情书
数学家笛卡儿在斯德哥尔摩的街头邂逅了18岁的瑞典公主克里斯汀后，一段纯粹、美好的爱情悄然萌发. 笛卡尔给克里斯汀总共寄出十三封信，最后一封信中没有写一句话，只有一个方程：ρ=a·（1-sinθ）. 这个方程在极坐标系中表示的是一条心形曲线.
材料三：极坐标系下的其他优美曲线（见图7）.
设计意图：数学文化的渗透应该是“润物细无声”的，在学生探究形成新知后，适当介绍数学史，可以让学生明白严谨的数学理论的构建是经历了长久的探索和修订才完成的，我们的认知过程也一样，只要不断学习新知识，不断运用新方法，不断反思和完善，很多看起来高深的数学理论也是可以企及的. 在完成教学任务后展示极坐标下的各种优美曲线，一方面为后续的学习做好铺垫，另一方面，让学生感受数学之美，体会极坐标丰富、深邃的内涵和思想，同时也让学生感受到了数学家严谨治学、锲而不舍的探索精神，以及浪漫感性的另一面.
4. 教学启示
这是一次“登山式”概念教学的尝试，每个学生都是参与其中的“登山者”，学习过程中的艰难与不易、勇气与胆量、分享与收获、情趣与快乐，带给学生的是一种真实、自然、深刻的体验，而对扮演“导游”角色的教师来说，不仅要对山的情况了如指掌，更要正确认识登山者的心态、体力、与智力，这样才能合理确定登山路径、安排登山行程，以及帮助“登山者”完成登山后的欣赏和感受的梳理. 我们的教学中应该多一些这样的“登山之旅”，让学生快乐地“登山”，快乐地学习.