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［摘要］本文介绍了数学学习中几种常见的迁移方法,阐明了迁移方法在数学学习中意义：为各种数学知识建立清晰的可利用的数学认知结构；促进的数学知识、技能转化为数学能力。通过对迁移方法的归纳和分析,研究了影响数学学习的迁移方法的因素，指出在教学中既要创造条件诱发正迁移，又要预防负迁移的产生，促进负迁移向正迁移的转化。本文论述了充分发挥正迁移，防止或避免负迁移的干扰作用，教给学生正确的思维方法，真正实现为迁移而教的意义，迁移方法的多样性及特殊性是本文阐述的亮点。
［关键词］ 迁移； 数学学习； 思维能力；创新能力“学习迁移”是心理学的一个概念，是指一种学习对另一种学习的影响，即是将学到的经验（包括知识、技能、方法、情感和态度等）在变化了的情境中变通的加以应用。数学新知识的掌握总在某种程度上改变着已有的数学认知结构；学生对已经掌握的不同数学知识进行组合，往往可以形成新的数学知识。诸如此类的数学知识之间的相互影响，都是数学学习的迁移现象。 “学习迁移”是数学知识的学习促进数学技能发展的重要途径。
一.数学学习迁移的机制
学习迁移现象存在于人们的各种学习、工作和生活活动之中。在古代,学习迁移现象已为人们所熟知。所谓“举一隅不以三隅反，则不复也。” 要求学生能由此及彼，从已知引申到未知。数学知识的整合是通过如下三条途径实现的。
1.同化性迁移
同化就是新数学知识内化到已有数学认知结构中去。已有数学认知结构作为一种上位结构，把处于下位结构中的新知识吸收到自身中去，从而完成旧知识对新知识的同化。从另一个角度来说，这也是一个将新知识纳入到已有认知结构中去的过程，这个过程我们称其为类化。例如，在建立了“四边形”概念后，再学习平行四边形、梯形、菱形、矩形、正方形等概念，四边形这个上位概念结构就可以把下位的平行四边形、梯形、菱形、矩形、正方形等下位概念同化到自身中去，建立起一个四边形的概念系统。而对平行四边形、梯形、菱形、矩形、正方形等下位概念的学习来说，则是类化到四边形概念中去的过程。在学习具有类属关系的内容时所发生的迁移，都属于同化性迁移。
2．顺应性迁移
顺应性迁移也叫协调性迁移。在已有数学认知结构不能把新数学知识吸收（即同化）到自身中去，但新旧知识间存在共同要素的情况下，已有认知结构发生顺应新知识的变化，即建立一种新的上位结构，以包容已有的下位知识，这就是顺应性迁移过程。顺应性迁移是在学习既有联系、又有区别的并列性教材时发生的。在参考文献中，有许多这样的例子。例如，文献［3］中，在学习了圆、椭圆、双曲线等以后再学习抛物线知识，由于圆、椭圆及双曲线等概念不能把抛物线概念吸收到自身的结构中去，这时，人就产生一种建立一个上位概念，即建立圆锥曲线概念，以便把这些既有联系有又区别的下位概念都吸收到圆锥曲线概念中去。显然，在这个过程中，已有的认知结构发生了顺应变化。其中所产生的迁移就是顺应性迁移。
3.结构重组性迁移。
已有数学认知结构中的有关知识成分，按照新的需要重新组合，从而建立起一种新的认知结构，就是结构重组性迁移。这里，结构重组指的是习得的知识的组成成分在新的组合中，仅仅在结合关系上进行调整或重新组合，而经验的构成成分不变。结构重组在数学教学中是非常重要的。例如，在文献［2］中，如果学会了分数的意义、性质以及通分、约分等知识技能后，就可以在同分母分数加减、异分母分数加减等分数运算中，应用结构重组进行教学。这不但能极大地节约教学时间，而且还能提高教学效率和效果。不仅能使学生掌握知识之间的内在联系，而且还能使学生利用知识的发生发展过程来认识概念，学会通过知识的重新组合来发展自己的认知结构。又如，如果学生很好地掌握了三角函数中的任意角概念、三角函数的定义以及诱导公式，那么他们在学会了余弦函数的和角公式后，就可以通过结构重组式的同化迁移，完成三角函数的“和”、“差”、“倍”、“半”公式的学习。
二．影响数学学习迁移的因素
数学学习的迁移不是自动发生的，它受制于许多因素。其中最重要的有数学学习材料的相似性、数学活动经验的概括水平以及数学学习定势。
1、数学学习材料的相似性
迁移需要通过对新旧学习中的经验进行分析、抽象，概括出其中共同的经验成分才能实现。因此，数学学习材料在客观上要有相似性。心理学的研究表明，相似程度的大小决定着迁移范围和效果的大小。许多心理学家从学习对象的结构来分析相似性对迁移的影响。学习对象的构成成分可以区分为结构的和表面的。例如，一元二次方程ax2+bx+c = 0根的判别式，字母是表面成分，“一次项系数”、“二次项系数与常数项系数之积的4倍”是其结构成分。如果两个任务有共同的结构成分，则产生正迁移，否则不能促进正迁移。学习任务之间的相似性是由共同因素决定的，共同因素越多，相似性越大。但不管是表面的还是结构的相似性，都将增加学生对两个任务的相似性程度的知觉，而知觉到的相似性决定了迁移量的多少，两种情景的结构相似性决定了迁移的正或负。因此，在数学教学中，注意抓共同因素，通过共同因素来促进迁移，可以增强学习效果。
例1 已知，求证：a，b，c三数成等比数列。
分析：由已知条件的结构与一元二次方程根的判别式结构的相似性，构造方程：
，①
由条件知①有等根，又由其系数之和为0，知①有根x ＝ 1。由韦达定理得
，则 ，得证。
2、数学活动经验的概括水平
数学学习的迁移是一种学习中习得的数学活动经验对另一种学习的影响，也就是已有经验的具体化与新课题的类化过程或新、旧经验的协调过程。因此，已有数学活动经验的概括水平对迁移的效果有很大影响，也就是所谓的类比迁移。一般来说，概括水平越低，迁移范围就越小，迁移效果也越差；反之，概括水平越高，迁移的可能性就越大，效果也越好。在数学学习中，重视基本概念、基本原理的理解，重视数学思想方法的掌握，其意义就在于这些知识的概括水平高，容易实现广泛的、效果良好的迁移。
例1 求的最小值。
按常规思路，用代数方法难以求得。观察数、式特征，联想“配方”，进而联想到“距离公式”，为此，将原式化为 。
进一步联想到 就是动点P（x,0）到A（-1，-1）和B（2，2）的距离之和。至此，发现问题深刻的几何背景。故 |AB|= ，即 的最小值为 。
知识之间有相同因素是迁移的必要条件。上例是典型的类比迁移问题。教学中要善于运用类比，找出不同问题的类似之处，从类比中发现正确的求解问题的途径，从而促进方法和能力的迁移。除了问题中的类比迁移，许多结论也有类比迁移。例如，对于勾股定理进行类比迁移，可以得到很多相似的结论。
勾股定理 在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。即 。
类比迁移1 在长方体中，对角线的平方等于长方体三度平方和。即 。
类比迁移2 在长方体中，对角线与交于同一顶点的三条棱所成的角余弦平方和等于1。即 。
类比迁移3 长方体中，对角线与交于同一顶点的三个面所成角余弦平方和等于2。即
类比迁移4 在以D-ABC为三直三面角的四面体ABCD中，第四个面的面积等于三直三面角的三个面的面积的平方和。即 。
总之，概括程度高的已有数学活动经验为正迁移的产生提供了最重要的先决条件。正如心理学家布鲁纳指出的，所掌握的知识越基础、越概括，对新学习的适应性就越广泛，迁移就越广泛。所以，在数学学习中，应当强调基础知识的掌握，即要强调理解抽象的、概括水平高的数学基本概念、原理、公式、法则等以及由内容反映出的数学思想方法。领会数学基本概念是“通向适当的‘训练迁移’的大道”。
3、数学学习定势
由于定势是关于选择活动方向的一种倾向性，因此对迁移来说，定势的影响既可以起促进作用也可以起阻碍作用。后续作业是先前作业的同类课题时，一般来说，定势对学习能够起促进作用。数学教学中，我们往往利用定势的这一作用，循序渐进地安排一组具有一定变化性的问题，来促使学生掌握某种数学思想方法。
例1 解方程|x＋3|＋|x－3|＝10。
此题的解法很多，此处是为了使学生理解|x－A|的几何意义在解题中的作用而设置，通过教学使学生初步掌握用绝对值意义解题的思想方法。题中|x＋3|、|x－3|分别表示实数轴上点x到点－3、3的距离，分别用a、b表示这两个距离。容易看出，当|x|≤3时，恒有|x＋3|＋|x－3|＝6，因此，方程有解的范围是|x|＞3。于是得a＝8，b＝2，而x＝b＋3＝a－3＝5。再利用对称性可求出另一根。这里，|x－A|的几何意义使学生看出了在|x|≤3时，恒有|x＋3|＋|x－3|＝6。这一点在解下列问题中很有意义。
例2求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|＋|x－3|＋|x＋4|＋|x－5|的极小值。
根据上述例1的经验，容易想到使函数取极小值的x∈［－4，5］，且在该区间上只需讨论函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|＋|x－3|＋9即可；进一步，x∈［－2，3］，保证了 x∈［－4，5］，于是只需讨论函数f(x)＝|x－1|＋5＋9即可。显然函数的极小值是函数f(1)＝5＋9＝14。
在数理统计中有“中位数”的概念，我们可以认为，极小值是在“中位数”这一点上取得的。由此还可以解释为什么在各种大奖赛中，用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法计算成绩的合理性。利用“中位数”概念，由－2≤－2≤－2＜1≤1＜3≤3≤3≤3，知数1处于中间位置，因此直接可求出极小值为f(1)＝17。将上述纯数学问题赋予一定的实际意义，就可以编出所谓的“实际应用题”。
应当指出，学生是学习的主体，是学习知识的内因。因此，教学中要指导学生认识并运用学习迁移的规律，加强数学学习方法的指导，帮助学生迅速提高学习能力。但是，由于学生之间的差异性，不同层次的学生，应采用不同的方法，去克服负迁移，促进正迁移的顺利实现，使得学生在学习知识时有的放矢，游刃有余。
参考文献
［1］刘法贵，宋红宾 浅谈数学学习的迁移［J］.华北水利水电学院学报(社科版),2004
［2］高鹰 高等数学教学中的迁移策略［J］.商场现代化?理论探析,2005
［3］张玉峰，冯滨鲁 正迁移与数学教学［J］.数学教育学报,2007,6(3)
［4］刘小满《例说通过联想类比开发数学问题》［J］. 《数学通报》2003年第2期 P27-29
［5］李明振 数学方法与解题研究［M］. 上海：上海科技教育出版社，2000
［6］朱华伟 论数学教学中的迁移［J］. 数学教育学报,2004,4
［关键词］ 迁移； 数学学习； 思维能力；创新能力“学习迁移”是心理学的一个概念，是指一种学习对另一种学习的影响，即是将学到的经验（包括知识、技能、方法、情感和态度等）在变化了的情境中变通的加以应用。数学新知识的掌握总在某种程度上改变着已有的数学认知结构；学生对已经掌握的不同数学知识进行组合，往往可以形成新的数学知识。诸如此类的数学知识之间的相互影响，都是数学学习的迁移现象。 “学习迁移”是数学知识的学习促进数学技能发展的重要途径。
一.数学学习迁移的机制
学习迁移现象存在于人们的各种学习、工作和生活活动之中。在古代,学习迁移现象已为人们所熟知。所谓“举一隅不以三隅反，则不复也。” 要求学生能由此及彼，从已知引申到未知。数学知识的整合是通过如下三条途径实现的。
1.同化性迁移
同化就是新数学知识内化到已有数学认知结构中去。已有数学认知结构作为一种上位结构，把处于下位结构中的新知识吸收到自身中去，从而完成旧知识对新知识的同化。从另一个角度来说，这也是一个将新知识纳入到已有认知结构中去的过程，这个过程我们称其为类化。例如，在建立了“四边形”概念后，再学习平行四边形、梯形、菱形、矩形、正方形等概念，四边形这个上位概念结构就可以把下位的平行四边形、梯形、菱形、矩形、正方形等下位概念同化到自身中去，建立起一个四边形的概念系统。而对平行四边形、梯形、菱形、矩形、正方形等下位概念的学习来说，则是类化到四边形概念中去的过程。在学习具有类属关系的内容时所发生的迁移，都属于同化性迁移。
2．顺应性迁移
顺应性迁移也叫协调性迁移。在已有数学认知结构不能把新数学知识吸收（即同化）到自身中去，但新旧知识间存在共同要素的情况下，已有认知结构发生顺应新知识的变化，即建立一种新的上位结构，以包容已有的下位知识，这就是顺应性迁移过程。顺应性迁移是在学习既有联系、又有区别的并列性教材时发生的。在参考文献中，有许多这样的例子。例如，文献［3］中，在学习了圆、椭圆、双曲线等以后再学习抛物线知识，由于圆、椭圆及双曲线等概念不能把抛物线概念吸收到自身的结构中去，这时，人就产生一种建立一个上位概念，即建立圆锥曲线概念，以便把这些既有联系有又区别的下位概念都吸收到圆锥曲线概念中去。显然，在这个过程中，已有的认知结构发生了顺应变化。其中所产生的迁移就是顺应性迁移。
3.结构重组性迁移。
已有数学认知结构中的有关知识成分，按照新的需要重新组合，从而建立起一种新的认知结构，就是结构重组性迁移。这里，结构重组指的是习得的知识的组成成分在新的组合中，仅仅在结合关系上进行调整或重新组合，而经验的构成成分不变。结构重组在数学教学中是非常重要的。例如，在文献［2］中，如果学会了分数的意义、性质以及通分、约分等知识技能后，就可以在同分母分数加减、异分母分数加减等分数运算中，应用结构重组进行教学。这不但能极大地节约教学时间，而且还能提高教学效率和效果。不仅能使学生掌握知识之间的内在联系，而且还能使学生利用知识的发生发展过程来认识概念，学会通过知识的重新组合来发展自己的认知结构。又如，如果学生很好地掌握了三角函数中的任意角概念、三角函数的定义以及诱导公式，那么他们在学会了余弦函数的和角公式后，就可以通过结构重组式的同化迁移，完成三角函数的“和”、“差”、“倍”、“半”公式的学习。
二．影响数学学习迁移的因素
数学学习的迁移不是自动发生的，它受制于许多因素。其中最重要的有数学学习材料的相似性、数学活动经验的概括水平以及数学学习定势。
1、数学学习材料的相似性
迁移需要通过对新旧学习中的经验进行分析、抽象，概括出其中共同的经验成分才能实现。因此，数学学习材料在客观上要有相似性。心理学的研究表明，相似程度的大小决定着迁移范围和效果的大小。许多心理学家从学习对象的结构来分析相似性对迁移的影响。学习对象的构成成分可以区分为结构的和表面的。例如，一元二次方程ax2+bx+c = 0根的判别式，字母是表面成分，“一次项系数”、“二次项系数与常数项系数之积的4倍”是其结构成分。如果两个任务有共同的结构成分，则产生正迁移，否则不能促进正迁移。学习任务之间的相似性是由共同因素决定的，共同因素越多，相似性越大。但不管是表面的还是结构的相似性，都将增加学生对两个任务的相似性程度的知觉，而知觉到的相似性决定了迁移量的多少，两种情景的结构相似性决定了迁移的正或负。因此，在数学教学中，注意抓共同因素，通过共同因素来促进迁移，可以增强学习效果。
例1 已知，求证：a，b，c三数成等比数列。
分析：由已知条件的结构与一元二次方程根的判别式结构的相似性，构造方程：
，①
由条件知①有等根，又由其系数之和为0，知①有根x ＝ 1。由韦达定理得
，则 ，得证。
2、数学活动经验的概括水平
数学学习的迁移是一种学习中习得的数学活动经验对另一种学习的影响，也就是已有经验的具体化与新课题的类化过程或新、旧经验的协调过程。因此，已有数学活动经验的概括水平对迁移的效果有很大影响，也就是所谓的类比迁移。一般来说，概括水平越低，迁移范围就越小，迁移效果也越差；反之，概括水平越高，迁移的可能性就越大，效果也越好。在数学学习中，重视基本概念、基本原理的理解，重视数学思想方法的掌握，其意义就在于这些知识的概括水平高，容易实现广泛的、效果良好的迁移。
例1 求的最小值。
按常规思路，用代数方法难以求得。观察数、式特征，联想“配方”，进而联想到“距离公式”，为此，将原式化为 。
进一步联想到 就是动点P（x,0）到A（-1，-1）和B（2，2）的距离之和。至此，发现问题深刻的几何背景。故 |AB|= ，即 的最小值为 。
知识之间有相同因素是迁移的必要条件。上例是典型的类比迁移问题。教学中要善于运用类比，找出不同问题的类似之处，从类比中发现正确的求解问题的途径，从而促进方法和能力的迁移。除了问题中的类比迁移，许多结论也有类比迁移。例如，对于勾股定理进行类比迁移，可以得到很多相似的结论。
勾股定理 在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方和。即 。
类比迁移1 在长方体中，对角线的平方等于长方体三度平方和。即 。
类比迁移2 在长方体中，对角线与交于同一顶点的三条棱所成的角余弦平方和等于1。即 。
类比迁移3 长方体中，对角线与交于同一顶点的三个面所成角余弦平方和等于2。即
类比迁移4 在以D-ABC为三直三面角的四面体ABCD中，第四个面的面积等于三直三面角的三个面的面积的平方和。即 。
总之，概括程度高的已有数学活动经验为正迁移的产生提供了最重要的先决条件。正如心理学家布鲁纳指出的，所掌握的知识越基础、越概括，对新学习的适应性就越广泛，迁移就越广泛。所以，在数学学习中，应当强调基础知识的掌握，即要强调理解抽象的、概括水平高的数学基本概念、原理、公式、法则等以及由内容反映出的数学思想方法。领会数学基本概念是“通向适当的‘训练迁移’的大道”。
3、数学学习定势
由于定势是关于选择活动方向的一种倾向性，因此对迁移来说，定势的影响既可以起促进作用也可以起阻碍作用。后续作业是先前作业的同类课题时，一般来说，定势对学习能够起促进作用。数学教学中，我们往往利用定势的这一作用，循序渐进地安排一组具有一定变化性的问题，来促使学生掌握某种数学思想方法。
例1 解方程|x＋3|＋|x－3|＝10。
此题的解法很多，此处是为了使学生理解|x－A|的几何意义在解题中的作用而设置，通过教学使学生初步掌握用绝对值意义解题的思想方法。题中|x＋3|、|x－3|分别表示实数轴上点x到点－3、3的距离，分别用a、b表示这两个距离。容易看出，当|x|≤3时，恒有|x＋3|＋|x－3|＝6，因此，方程有解的范围是|x|＞3。于是得a＝8，b＝2，而x＝b＋3＝a－3＝5。再利用对称性可求出另一根。这里，|x－A|的几何意义使学生看出了在|x|≤3时，恒有|x＋3|＋|x－3|＝6。这一点在解下列问题中很有意义。
例2求函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|＋|x－3|＋|x＋4|＋|x－5|的极小值。
根据上述例1的经验，容易想到使函数取极小值的x∈［－4，5］，且在该区间上只需讨论函数f(x)＝|x－1|＋|x＋2|＋|x－3|＋9即可；进一步，x∈［－2，3］，保证了 x∈［－4，5］，于是只需讨论函数f(x)＝|x－1|＋5＋9即可。显然函数的极小值是函数f(1)＝5＋9＝14。
在数理统计中有“中位数”的概念，我们可以认为，极小值是在“中位数”这一点上取得的。由此还可以解释为什么在各种大奖赛中，用“去掉一个最高分，去掉一个最低分”的方法计算成绩的合理性。利用“中位数”概念，由－2≤－2≤－2＜1≤1＜3≤3≤3≤3，知数1处于中间位置，因此直接可求出极小值为f(1)＝17。将上述纯数学问题赋予一定的实际意义，就可以编出所谓的“实际应用题”。
应当指出，学生是学习的主体，是学习知识的内因。因此，教学中要指导学生认识并运用学习迁移的规律，加强数学学习方法的指导，帮助学生迅速提高学习能力。但是，由于学生之间的差异性，不同层次的学生，应采用不同的方法，去克服负迁移，促进正迁移的顺利实现，使得学生在学习知识时有的放矢，游刃有余。
参考文献
［1］刘法贵，宋红宾 浅谈数学学习的迁移［J］.华北水利水电学院学报(社科版),2004
［2］高鹰 高等数学教学中的迁移策略［J］.商场现代化?理论探析,2005
［3］张玉峰，冯滨鲁 正迁移与数学教学［J］.数学教育学报,2007,6(3)
［4］刘小满《例说通过联想类比开发数学问题》［J］. 《数学通报》2003年第2期 P27-29
［5］李明振 数学方法与解题研究［M］. 上海：上海科技教育出版社，2000
［6］朱华伟 论数学教学中的迁移［J］. 数学教育学报,2004,4