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初中阶段的教学过程中要克服依靠题海战术来提高学生成绩的做法，应教会学生在解题中灵活运用各种数学思想，这样会取得事半功倍的教学效果。下面就以解二元一次方程组为例谈谈在解题中如何运用数学思想。
一、转化思想
转化正是在数学解题过程中经常用到的一种重要思维方法，通过转化将那些生疏的问题转化为自己熟悉的，把复杂的问题转化为简单的，把那些抽象的问题转化为具体的。比如，在二元一次方程组解题过程当中我们常常用到的消元法，其核心的思想就是把学生们刚刚接触到的二元一次方程组这样的新知识转化为他们以前较为熟悉的一元一次方程来解决问题。这就体现了在转化过程中把未知的问题转化为已知的问题，把较难的问题转化为相对容易的问题来解决。如何运用转化思想，就需要老师在课堂中通过一个个教学案例来传授给学生这种数学思想，最终实现举一反三，从而实现教学目标，提高他们解决实际问题的能力。
例1： 解方程组6x-3y=15 ①3x-y=13 ②
解：②×2-①得，y=11
把y=11代入①，得x=8
方程组解为x=8y=11
例1的二元一次方程式的解题过程中所利用加减消元法，把刚刚接触到的二元一次方程组转化成同学们以前较为熟知的一元一次方程来求解。当然，例1实际也可以通过代入消元法来最终求得x、y值，其实，这种代入消元法所体现的思想也是一种转化思想，即将二元一次转化为一元一次来求解。
二、整体思想
整体思想也是一种重要的数学思想，它是指把问题看成是一个个完整的整体，注重对这些问题的整体结构以及结构改造最终实现问题解决的一种思维过程，运用整体思想来解决二元一次方程组题解往往会起到改进和优化整个解题的过程，使许多常规思维下难以解决或者繁琐的解题过程变得异常得简单、便捷。
例2：若方程组x+y=6 ①3x-5y=-2②，则3（x+y）-（3x-5y）的值是多少？
其实，这就是一道考察二元一次方程组的题解问题。可以将x+y看成一个整体A；3x-5y看成是一个整体B，那么3（x+y）-（3x-5y），实际就变成为了3A-B的求解过程，即3×6-（-2）=20，而并不需要先解出x值是多少，y值又是多少，让整个解题过程变得简化。
三、数形结合思想
数学家华罗庚先生说过：数形结合百般好，割裂分家万事休。数形结合思想在中学数学教学中始终都能体现出来，这种思想的本质其实就是运用好数与形的各自特点，把需要解决的问题通过数量关系和图形结合起来进行分析的一种解决问题的思想。具体在整个初中数学教学来看，数形结合思想主要体现在：一是建立适当的代数模型来解决有关方程；二是与函数相关的代数、几何综合性问题；三是以图形的方式呈现出来的一种实际应用性问题。巧妙地运用好数形结合来解决问题的关键是要找准数与形的契合点，往往让实际中难以解决的问题刹那间迎刃而解，取得事半功倍的效果。这一点，在二元一次方程的解题中表现得尤为突出。
例3：a、b、c三位学生来解120道数学题，其中，a、b、c每人都正确地解出了其中的90道题，如果把只有一学生解出的题叫做“难题”，把三个学生都解出的题目叫“容易题”。那么，是“难题”多？还是“容易题”多？多多少？
乍一看，这是一道比较难解的题，但转念一想，我们是不是可以运用图形结合的思想来解这道题呢。假设a、b、c三位同学都解出的“容易题”为x道，只有一位学生解出题目为“难题”，分别为y1、y2、y3个，那么难题总数为y=y1+y2+y3.由上图我们可以很容易得出下列方程式：
x+y1+a+b=90 ①
x+y2+a+c=90 ②
x+y3+b+c=90 ③
x+y+（a+b+c）=120 ④
①+②+③，得3x+y+2（a+b+c）=270 ⑤
由④×2得2x+2y+2（a+b+c）=240 ⑥
⑤-⑥得x-y=30。
答：“容易题”要比“难题”多，多30道。
本题并不要求解出a、b、c三位同学具体求解了多少道题，通过题目所给出的材料来看，一味地去追求具体有多少道“难题”、“容易题”也不是简单就能求解出结果的。这时，引入图形结合思想，既一目了然，也使整个解题思路豁然开朗起来，整个解题过程也就需要短短的几分钟就可以解决。
四、分类讨论思想
二元一次方程组中使用到的分类讨论思想，其本质就是按一定的标准将题目中的素材分成若干类，然后对每一类再进行逐一解决，从而实现最终解决整个问题的效果。不过在引入分类讨论思想时需要秉持三个基本原则，即同标准、不重复、无遗漏。分类讨论的步骤一般是：一明确整个对象全体；二是合理分类；三是逐类讨论；四是归纳、得出结论。
例4：某彩票销售商计划用45000元购进20捆彩票，每捆有1000张彩票。彩票共有a、b、c三种不同的面值，其中a款是每张1.5元，b款是每张2元，c款是每张2.5元。现在若该销售商购进2种不同面额的彩票20捆，用去45000元，请问共有几种方案？
分析：本题主要考查的是要从a、b、c三种不同面值的彩票中选出2款，因此，共有三种组合，即a，b；a，c或者b，c。
因此，可以设购a款彩票有x张，b款彩票的有y张。那么：
x+y=1000×20①1.5x+2y=45000②，解出的结果是x<0，所以方程组无解
设购进a款彩票有x张，c款彩票的有z张。那么：
x+z=1000×20①2y+2.5z=45000②，解出的结果是x=10000①z=15000②，
设购进b款彩票有y张，c款彩票的有z张。那么：
y+z=1000×20①2y+2.5z=45000②，解出的结果是x=10000①z=10000②，
结论：该彩票销售商一共可以采取两种方案购进上述不同型号的彩票，即，选择a款彩票5捆，c款彩票15捆；或者b款彩票与c款彩票各10捆。
一、转化思想
转化正是在数学解题过程中经常用到的一种重要思维方法，通过转化将那些生疏的问题转化为自己熟悉的，把复杂的问题转化为简单的，把那些抽象的问题转化为具体的。比如，在二元一次方程组解题过程当中我们常常用到的消元法，其核心的思想就是把学生们刚刚接触到的二元一次方程组这样的新知识转化为他们以前较为熟悉的一元一次方程来解决问题。这就体现了在转化过程中把未知的问题转化为已知的问题，把较难的问题转化为相对容易的问题来解决。如何运用转化思想，就需要老师在课堂中通过一个个教学案例来传授给学生这种数学思想，最终实现举一反三，从而实现教学目标，提高他们解决实际问题的能力。
例1： 解方程组6x-3y=15 ①3x-y=13 ②
解：②×2-①得，y=11
把y=11代入①，得x=8
方程组解为x=8y=11
例1的二元一次方程式的解题过程中所利用加减消元法，把刚刚接触到的二元一次方程组转化成同学们以前较为熟知的一元一次方程来求解。当然，例1实际也可以通过代入消元法来最终求得x、y值，其实，这种代入消元法所体现的思想也是一种转化思想，即将二元一次转化为一元一次来求解。
二、整体思想
整体思想也是一种重要的数学思想，它是指把问题看成是一个个完整的整体，注重对这些问题的整体结构以及结构改造最终实现问题解决的一种思维过程，运用整体思想来解决二元一次方程组题解往往会起到改进和优化整个解题的过程，使许多常规思维下难以解决或者繁琐的解题过程变得异常得简单、便捷。
例2：若方程组x+y=6 ①3x-5y=-2②，则3（x+y）-（3x-5y）的值是多少？
其实，这就是一道考察二元一次方程组的题解问题。可以将x+y看成一个整体A；3x-5y看成是一个整体B，那么3（x+y）-（3x-5y），实际就变成为了3A-B的求解过程，即3×6-（-2）=20，而并不需要先解出x值是多少，y值又是多少，让整个解题过程变得简化。
三、数形结合思想
数学家华罗庚先生说过：数形结合百般好，割裂分家万事休。数形结合思想在中学数学教学中始终都能体现出来，这种思想的本质其实就是运用好数与形的各自特点，把需要解决的问题通过数量关系和图形结合起来进行分析的一种解决问题的思想。具体在整个初中数学教学来看，数形结合思想主要体现在：一是建立适当的代数模型来解决有关方程；二是与函数相关的代数、几何综合性问题；三是以图形的方式呈现出来的一种实际应用性问题。巧妙地运用好数形结合来解决问题的关键是要找准数与形的契合点，往往让实际中难以解决的问题刹那间迎刃而解，取得事半功倍的效果。这一点，在二元一次方程的解题中表现得尤为突出。
例3：a、b、c三位学生来解120道数学题，其中，a、b、c每人都正确地解出了其中的90道题，如果把只有一学生解出的题叫做“难题”，把三个学生都解出的题目叫“容易题”。那么，是“难题”多？还是“容易题”多？多多少？
乍一看，这是一道比较难解的题，但转念一想，我们是不是可以运用图形结合的思想来解这道题呢。假设a、b、c三位同学都解出的“容易题”为x道，只有一位学生解出题目为“难题”，分别为y1、y2、y3个，那么难题总数为y=y1+y2+y3.由上图我们可以很容易得出下列方程式：
x+y1+a+b=90 ①
x+y2+a+c=90 ②
x+y3+b+c=90 ③
x+y+（a+b+c）=120 ④
①+②+③，得3x+y+2（a+b+c）=270 ⑤
由④×2得2x+2y+2（a+b+c）=240 ⑥
⑤-⑥得x-y=30。
答：“容易题”要比“难题”多，多30道。
本题并不要求解出a、b、c三位同学具体求解了多少道题，通过题目所给出的材料来看，一味地去追求具体有多少道“难题”、“容易题”也不是简单就能求解出结果的。这时，引入图形结合思想，既一目了然，也使整个解题思路豁然开朗起来，整个解题过程也就需要短短的几分钟就可以解决。
四、分类讨论思想
二元一次方程组中使用到的分类讨论思想，其本质就是按一定的标准将题目中的素材分成若干类，然后对每一类再进行逐一解决，从而实现最终解决整个问题的效果。不过在引入分类讨论思想时需要秉持三个基本原则，即同标准、不重复、无遗漏。分类讨论的步骤一般是：一明确整个对象全体；二是合理分类；三是逐类讨论；四是归纳、得出结论。
例4：某彩票销售商计划用45000元购进20捆彩票，每捆有1000张彩票。彩票共有a、b、c三种不同的面值，其中a款是每张1.5元，b款是每张2元，c款是每张2.5元。现在若该销售商购进2种不同面额的彩票20捆，用去45000元，请问共有几种方案？
分析：本题主要考查的是要从a、b、c三种不同面值的彩票中选出2款，因此，共有三种组合，即a，b；a，c或者b，c。
因此，可以设购a款彩票有x张，b款彩票的有y张。那么：
x+y=1000×20①1.5x+2y=45000②，解出的结果是x<0，所以方程组无解
设购进a款彩票有x张，c款彩票的有z张。那么：
x+z=1000×20①2y+2.5z=45000②，解出的结果是x=10000①z=15000②，
设购进b款彩票有y张，c款彩票的有z张。那么：
y+z=1000×20①2y+2.5z=45000②，解出的结果是x=10000①z=10000②，
结论：该彩票销售商一共可以采取两种方案购进上述不同型号的彩票，即，选择a款彩票5捆，c款彩票15捆；或者b款彩票与c款彩票各10捆。