论文部分内容阅读
摘 要： 積分学是《高等数学》课程的主要组成部分之一，也是难点之一。首先，分析积分学出现的背景问题，指导学生从本质上理解积分的定义;其次，解析两类积分计算公式的推导，指导学生理解数学公式;最后，分析具体例子，指导学生选取正确的微元。通过上述三个方面，引导学生站在发现者的角度探索数学，发现数学，真正理解和内化数学思想方法。
关键词： 微元;积分;近似
一、 引言
微积分学是十七世纪数学中的一个最伟大创造（参看文献），它是分析学的理论基石，也是公共基础课《高等数学》的核心内容之一，在几何学、物理学和实际问题中都有广泛运用。本文讨论其中的积分学部分，高等数学中的积分学包括：定积分、重积分、曲线积分、曲面积分四部分，内容繁多，既是该课程的重点之一，也是难点之一。很多学生在学习中由于忽视对积分本质的理解，往往被困于繁琐的公式中，计算容易出错，还不会应用，学习效率低下。
数学教育的根本目的是教学生学会思考，“授之以鱼，不如授之以渔”。近年来，教育工作者越来越重视培养学生的数学素养，调动学生主动学习的积极性。主张学生是教学活动的认知主体，教师由传统知识的知识传授者转化为学生知识建构的协助者和促进者，引导学生主动探索，协助构建知识网络。利用博弈论的方法分析高等数学教学中师生合作的可能，本文也是对传统课堂的改革，突出学生的主体地位。
本文以积分学为载体，探讨作为学习活动的主体，学生该如何发现知识。首先，从积分的本质出发，梳理积分定义的四个步骤，引导学生根据各类积分的背景提出相应积分的定义。只有真正理解了积分的涵义，才能做到灵活运用其解决实际问题。其次，我们指导学生运用“以直代曲”“以不变代变”的近似思想，自行推导计算积分公式;然后，分析做近似时的难点并提出解决方法。本文以学生熟悉的内容为平台，引导学生从发现者的角度理解数学。真正理解了的东西才能做到灵活运用。
二、 发现之旅
（一） 从积分本质出发理解各类积分的定义
下面以求密度不均匀曲线构建的质量问题为例理解积分的定义。既然曲线密度不均匀，那么我们就无法直接采用密度乘长度的方法求质量，但可以考虑做近似，然而直接把整个曲线构建近似看作密度均匀的构建，会有误差，于是考虑先将构建分割，对每段的质量求近似，从而得整个构建质量的近似。直观上，分割越细，近似值越接近于精确值;那么直至不可分时，所得值便是曲线构建质量的真实值。根据这一分析总结求曲线构建的质量的过程即是：
1. 分割曲线构建;
2. 任取该部分上某一点处的密度近似作为该部分的密度，然后乘该部分的弧长，得小弧段质量的近似值;
3. 各部分近似质量求和，得曲线构建的近似质量;
4. 令分割细度（即分割后小弧段长度的最大值）收敛到零，取第3步所得和式的极限，若存在，它就是曲线构建的精确质量。最后，用数学语言刻画该问题，曲线构建即是一条曲线，密度即是定义在包含该曲线的平面区域上的二元函数，通过分割、取点（近似）、求和的方式得到积分和，该和式极限若存在，它就是第一类曲线积分。
简言之，第一类曲线积分的定义可概括为如下四词：有限分割、近似、求和、求极限。事实上，每种积分的定义都由这四个词对应的四步构成，本质是相同的。理解积分的本质，不仅有助于理解各类积分，还能帮助人们从容面对各式各样的实际应用问题。
（二） 推导积分计算公式
有了各类积分的定义后（或者把一个实际应用问题转化成求积分的问题后），接下来人们关心其计算问题。在计算中，学生之所以会出错，是因为没有真正理解符号的含义，套公式时出错。为解决这一问题，建议学生通过自行探索的方式，理解公式，然后运用。下面，我们通过分析学生出现问题比较多的两类计算，指导学生如何推导公式。
第一个问题是关于第一类曲线积分的计算，设L是平面上的一条光滑曲线，f（x，y）是定义在L上的连续函数，求∫ Lf（x，y） d s。为计算之，首先需要转化 d s，回顾其含义，它表示弧长微元，即有限细分后小弧段 Δ s长度的合理近似。（注怎样取近似才算合理？这是一个复杂的问题，我们将在第四部分举例说明。合理近似的原则是近似值和真实值之间的误差是分割细度的高阶无穷小量，因为此时误差部分对应的和式极限为零，该误差不会影响积分和的极限，从而得到真实的极限，求得积分。）如何求弧长微元？有些同学可能还记得在定积分应用部分（可参看文献），我们推导过其计算公式。此处，通过温习这一推导过程指导学生遇到问题时学会分析解决问题，无需总是试图去回忆公式。
熟知的与求弧长有关的知识是线段长度的求法。于是采用“以直代曲”的思想做近似。首先，连接该弧段的端点，将小弧近似看作线段，易知其长度为 （ Δ x） 2 （ Δ y） 2 ，而其中的 Δ y的精确值也无从得知。但学过一元函数微分，我们知道当 Δ x很小时，可以用 d y近似代替 Δ y，于是得 Δ s约等于 （ d x） 2 （ d y） 2 ，此即为欲求的弧长微元
关键词： 微元;积分;近似
一、 引言
微积分学是十七世纪数学中的一个最伟大创造（参看文献），它是分析学的理论基石，也是公共基础课《高等数学》的核心内容之一，在几何学、物理学和实际问题中都有广泛运用。本文讨论其中的积分学部分，高等数学中的积分学包括：定积分、重积分、曲线积分、曲面积分四部分，内容繁多，既是该课程的重点之一，也是难点之一。很多学生在学习中由于忽视对积分本质的理解，往往被困于繁琐的公式中，计算容易出错，还不会应用，学习效率低下。
数学教育的根本目的是教学生学会思考，“授之以鱼，不如授之以渔”。近年来，教育工作者越来越重视培养学生的数学素养，调动学生主动学习的积极性。主张学生是教学活动的认知主体，教师由传统知识的知识传授者转化为学生知识建构的协助者和促进者，引导学生主动探索，协助构建知识网络。利用博弈论的方法分析高等数学教学中师生合作的可能，本文也是对传统课堂的改革，突出学生的主体地位。
本文以积分学为载体，探讨作为学习活动的主体，学生该如何发现知识。首先，从积分的本质出发，梳理积分定义的四个步骤，引导学生根据各类积分的背景提出相应积分的定义。只有真正理解了积分的涵义，才能做到灵活运用其解决实际问题。其次，我们指导学生运用“以直代曲”“以不变代变”的近似思想，自行推导计算积分公式;然后，分析做近似时的难点并提出解决方法。本文以学生熟悉的内容为平台，引导学生从发现者的角度理解数学。真正理解了的东西才能做到灵活运用。
二、 发现之旅
（一） 从积分本质出发理解各类积分的定义
下面以求密度不均匀曲线构建的质量问题为例理解积分的定义。既然曲线密度不均匀，那么我们就无法直接采用密度乘长度的方法求质量，但可以考虑做近似，然而直接把整个曲线构建近似看作密度均匀的构建，会有误差，于是考虑先将构建分割，对每段的质量求近似，从而得整个构建质量的近似。直观上，分割越细，近似值越接近于精确值;那么直至不可分时，所得值便是曲线构建质量的真实值。根据这一分析总结求曲线构建的质量的过程即是：
1. 分割曲线构建;
2. 任取该部分上某一点处的密度近似作为该部分的密度，然后乘该部分的弧长，得小弧段质量的近似值;
3. 各部分近似质量求和，得曲线构建的近似质量;
4. 令分割细度（即分割后小弧段长度的最大值）收敛到零，取第3步所得和式的极限，若存在，它就是曲线构建的精确质量。最后，用数学语言刻画该问题，曲线构建即是一条曲线，密度即是定义在包含该曲线的平面区域上的二元函数，通过分割、取点（近似）、求和的方式得到积分和，该和式极限若存在，它就是第一类曲线积分。
简言之，第一类曲线积分的定义可概括为如下四词：有限分割、近似、求和、求极限。事实上，每种积分的定义都由这四个词对应的四步构成，本质是相同的。理解积分的本质，不仅有助于理解各类积分，还能帮助人们从容面对各式各样的实际应用问题。
（二） 推导积分计算公式
有了各类积分的定义后（或者把一个实际应用问题转化成求积分的问题后），接下来人们关心其计算问题。在计算中，学生之所以会出错，是因为没有真正理解符号的含义，套公式时出错。为解决这一问题，建议学生通过自行探索的方式，理解公式，然后运用。下面，我们通过分析学生出现问题比较多的两类计算，指导学生如何推导公式。
第一个问题是关于第一类曲线积分的计算，设L是平面上的一条光滑曲线，f（x，y）是定义在L上的连续函数，求∫ Lf（x，y） d s。为计算之，首先需要转化 d s，回顾其含义，它表示弧长微元，即有限细分后小弧段 Δ s长度的合理近似。（注怎样取近似才算合理？这是一个复杂的问题，我们将在第四部分举例说明。合理近似的原则是近似值和真实值之间的误差是分割细度的高阶无穷小量，因为此时误差部分对应的和式极限为零，该误差不会影响积分和的极限，从而得到真实的极限，求得积分。）如何求弧长微元？有些同学可能还记得在定积分应用部分（可参看文献），我们推导过其计算公式。此处，通过温习这一推导过程指导学生遇到问题时学会分析解决问题，无需总是试图去回忆公式。
熟知的与求弧长有关的知识是线段长度的求法。于是采用“以直代曲”的思想做近似。首先，连接该弧段的端点，将小弧近似看作线段，易知其长度为 （ Δ x） 2 （ Δ y） 2 ，而其中的 Δ y的精确值也无从得知。但学过一元函数微分，我们知道当 Δ x很小时，可以用 d y近似代替 Δ y，于是得 Δ s约等于 （ d x） 2 （ d y） 2 ，此即为欲求的弧长微元