论文部分内容阅读
【摘 要】本文写我们数学教师在教学中，不仅要教学生的知识，而且要注意培养学生的思维能力，即思维的积极性，思维的逆向性，思维的横向性。
【关键词】思维能力；培养；知识；化难为易
俗话说“刀不磨不利，脑不用不灵。”教师着眼点不要只放在知识本身，而是要通过知识发展思维，培养学生思维能力，使学生养成动脑筋习惯，提高学生的自学能力。下面结合数学教学，对怎样培养学生思维能力浅谈几点做法。
一、培养学生思维的积极性
1.引趣
在组织教学活动时，我把教材变成切合学生心理水平的问题，转化为学生的欲望需要，使学生急切地想要知道而以前不知道的东西，使他们在兴奋的状态下投入对知识的探求。
案例：在讲虚数单位“i”的引入时，提问学生方程x2=1的解是什么？学生很快回答出来，接着再问他们议程x2=-1的解是什么？学生回答没有解，我反驳他们说这个方程有解，学生愕然，怎么会呢？趁学生的注意力高度集中这一刻，告诉他们在实数范围内确实没有解，但是如果把数的范围再扩大一些，引入一个新数——虚数i就会有解，这时学生自然会想：虚数i是什么呢？此时抓住他们想知道这个新数的时机讲清有关虚数单位“i”的一切，使学生很深刻地掌握了这个新知识。
2.设疑、设问
设疑、设问是思维的起点，是思维的启发剂，所以在教学中要善于创设问题情境，使学生对知识处于“心欲求而未得，口欲言而不能”的进取状态，大脑皮层锁上一连串的扣，使学生求知欲进入活跃状态。
（1）概念教学时，要在概念形成的关键处设疑
概念教学是高中数学教学的一个重要组成部分，通过设疑，创设一个引出概念、定理、法则的问题情境，启发学生积极思维。
案例1：在讲“平面的基本性质”时，讲到“如果两个平面有一个公共点，那么它们相交于过这点的一条直线”。我边说边演示，有意识在把表示一个平面的三角形模型的一个端点和另一个平面接触，接着提出疑问：“你们看，这两个平面不是只有一个公共点吗？”乍一看，似觉真实，学生顿时议论起来，当有学生议论“平面是无限延展的”时，我将一个平面模型压入事先做好的带有孔隙的平面模型里，形象地说明了两个平面不可能只有一公共点的结论。同学们印象深刻，不感到抽象难懂，大脑处于积极思维状态，学习兴趣提高。
（2）解题教学时，要在解题思路形成的关键处设问
①设置“阶梯”，促使学生思维的深入性
案例2：设f（x）=x2+bx+c（b、cR），已知不论α，β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0.
（1）求证：b+c=-1；（2）求证：c≥3.
第（1）题的设计是第（2）题的“阶梯”，如果没有第（1）题，直接做第（2）题，那就比较难。同时，学生也学到了怎样由不等式证明等式的方法，即由已知条件得f（1）≥0且f（1）≤0，从而可得f（1）=0，也就得到b+c=-1.
案例3：（1）已知a、b是正常数，a≠b，x，y·（0，+∞），求证： ，指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论求函数f（x）= 的最小值，并指出取最小值时x的值。
第（1）题关键先要证 成立。第（2）题结论由第（1）题的结论很快得出。
②重视问题的变式设计，发展学生思维的灵活性
案例4：（1）已知x>0，y>0，且x+2y=1，求 的最小值。
（2）如果x，y都是正数，且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值。
（3）函数y=loga（2-x）+1（a>0且a≠0）的图像恒过点A，此点在直线mx+ny-2=0（mn>0）上，求 的最小值。
第（1）题 ，接着利用基本不等式便能求出最小值；第（2）题只要将2x+8y-xy=0化为 ，下面按第（1）题的方法即可；第（3）题先由题意求出点A（1，1），再将点的坐标代入直线方程，然后按照第（2）的做法便可得出答案。
在设计变式题时，教师要注意“度”。这就要对自己所教的学生知识基础和认知水平充分了解，既不能过难，也不能过易。总之，题目的难易，要为学生的思维发展起着恰到好处的作用。
二、培养学生思维的逆向性
“正难相反”是数学教学中常用的方法，“反”是指把思维向习惯思维的反面。运用逆向思维化难为易。
案例1：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=A1B1，AC1⊥平面A1BD，D为AC上的点.求证：B1C1⊥B1A.
若按正向思维，利用诸多已知条件证明结论，有的同学感到无从下手，既然要求证明B1C1⊥B1A这个结论，它一定是正确的，再结合已知的条件就可推测出B1C1⊥平面ABB1A1。有了这一推测我们就有了解决问题的着手点，即只需证明B1C1⊥平面ABB1A1，就能证出题中要求的结论。
案例2：下面三个方程中至少有一个方程有实数解，求实数a的取值范围。（1）x2+4ax+3-4a=0；（2）x2+（a-1）x+a2=0；（3）x2+2ax-2a=0.
若按常规想法，则需考虑三个方程中仅有一个方程或两方程或三个方程有实数解三种情况，非常繁琐，但考虑其反面，三个方程没实数解，则使问题大为简化：令Δ1<0，Δ2<0，Δ3<0，联立三个不等式，其解为A={a|- 三、培养学生思维的横向性
在培养学生逆向思维的同时也要重视横向思维的培养，这样可以打破思维的局限性，培养思维灵活性。“横向”就是指发现一种现象后立即联想到与它相似的其他现象。
案例1：求函数：y= + 的最小值。
看到函数是两个算术根之和，联想到复数模公式及关于模的不等式，用下面方法完成这道题。设z1=5-x+5i，z2=x+5i，则y= + =|z1|+|z2|？叟|z1+z2|=|5+10i|=5 。
案例2：已知实数x，y满足圆方程。
（1）求 的最大值和最小值；
（2）求x+y的最大值和最小值；
（3）求x2+y2的最大值和最小值。
对于（1）， 即为圆上的点与原点连线的斜率， 取值范围就是过原点向圆引两条切线的斜率之间的范围，从而求 的最大值和最小值。
对于（2），可设y+x=m，直线y=-x+m与圆有公共点时，y+x的取值范围就是直线系y=-x+m中与圆两条切线位置对应的纵截距之间的取值范围；也可以将y=-x+m代入圆的方程，由可得m的取值范围，即得y+x的最大值和最小值。
对于（3），可联想 表示圆上的点到原点的距离。先求出 的最大值和最小值，再求出x2+y2的最大值和最小值。
教学中，我们要向学生指出，变元转换、构造方程与数形结合是处理二元条件最值的常用方法。
通过这个横向性联想把问题化难为易，活跃了学生的思维，培养了学生思维的灵活恬和广泛性，增强了学生发散思维能力，有助于培养他们的创造能力。
教学中，通过对学生思维能力的培养，提高了他们独立学习的能力，使他们能在独立学习中获取新知，这是素质教育的需要。而思维能力的获得与提高，必须通过自己的思维活动，所以思维能力的培养要纳入课堂教学计划中，备课时不但要明确教给学生什么知识，而且要站在学生角度设想什么是学生接受知识的最佳途径。不仅通过教师讲，更要通过适当的方法让学生自己去思考、去探索，并且用准确的语言或适当方式表达出来，这样就可使学生的思维能力和知识同时得到增长。
【参考文献】
[1]徐稼红，丰世富.《高中数学教学与测试》文科总复习[M].苏州：苏州大学出版社，2012.3
[2]沈新权.高中数学复习课教学设计的探索与实践[J].中学数学教学参考（上旬），2012（8）：23-25
（作者单位：江苏省南京市二十九中教育集团四中校区）
【关键词】思维能力；培养；知识；化难为易
俗话说“刀不磨不利，脑不用不灵。”教师着眼点不要只放在知识本身，而是要通过知识发展思维，培养学生思维能力，使学生养成动脑筋习惯，提高学生的自学能力。下面结合数学教学，对怎样培养学生思维能力浅谈几点做法。
一、培养学生思维的积极性
1.引趣
在组织教学活动时，我把教材变成切合学生心理水平的问题，转化为学生的欲望需要，使学生急切地想要知道而以前不知道的东西，使他们在兴奋的状态下投入对知识的探求。
案例：在讲虚数单位“i”的引入时，提问学生方程x2=1的解是什么？学生很快回答出来，接着再问他们议程x2=-1的解是什么？学生回答没有解，我反驳他们说这个方程有解，学生愕然，怎么会呢？趁学生的注意力高度集中这一刻，告诉他们在实数范围内确实没有解，但是如果把数的范围再扩大一些，引入一个新数——虚数i就会有解，这时学生自然会想：虚数i是什么呢？此时抓住他们想知道这个新数的时机讲清有关虚数单位“i”的一切，使学生很深刻地掌握了这个新知识。
2.设疑、设问
设疑、设问是思维的起点，是思维的启发剂，所以在教学中要善于创设问题情境，使学生对知识处于“心欲求而未得，口欲言而不能”的进取状态，大脑皮层锁上一连串的扣，使学生求知欲进入活跃状态。
（1）概念教学时，要在概念形成的关键处设疑
概念教学是高中数学教学的一个重要组成部分，通过设疑，创设一个引出概念、定理、法则的问题情境，启发学生积极思维。
案例1：在讲“平面的基本性质”时，讲到“如果两个平面有一个公共点，那么它们相交于过这点的一条直线”。我边说边演示，有意识在把表示一个平面的三角形模型的一个端点和另一个平面接触，接着提出疑问：“你们看，这两个平面不是只有一个公共点吗？”乍一看，似觉真实，学生顿时议论起来，当有学生议论“平面是无限延展的”时，我将一个平面模型压入事先做好的带有孔隙的平面模型里，形象地说明了两个平面不可能只有一公共点的结论。同学们印象深刻，不感到抽象难懂，大脑处于积极思维状态，学习兴趣提高。
（2）解题教学时，要在解题思路形成的关键处设问
①设置“阶梯”，促使学生思维的深入性
案例2：设f（x）=x2+bx+c（b、cR），已知不论α，β为何实数，恒有f（sinα）≥0，f（2+cosβ）≤0.
（1）求证：b+c=-1；（2）求证：c≥3.
第（1）题的设计是第（2）题的“阶梯”，如果没有第（1）题，直接做第（2）题，那就比较难。同时，学生也学到了怎样由不等式证明等式的方法，即由已知条件得f（1）≥0且f（1）≤0，从而可得f（1）=0，也就得到b+c=-1.
案例3：（1）已知a、b是正常数，a≠b，x，y·（0，+∞），求证： ，指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论求函数f（x）= 的最小值，并指出取最小值时x的值。
第（1）题关键先要证 成立。第（2）题结论由第（1）题的结论很快得出。
②重视问题的变式设计，发展学生思维的灵活性
案例4：（1）已知x>0，y>0，且x+2y=1，求 的最小值。
（2）如果x，y都是正数，且2x+8y-xy=0，求x+y的最小值。
（3）函数y=loga（2-x）+1（a>0且a≠0）的图像恒过点A，此点在直线mx+ny-2=0（mn>0）上，求 的最小值。
第（1）题 ，接着利用基本不等式便能求出最小值；第（2）题只要将2x+8y-xy=0化为 ，下面按第（1）题的方法即可；第（3）题先由题意求出点A（1，1），再将点的坐标代入直线方程，然后按照第（2）的做法便可得出答案。
在设计变式题时，教师要注意“度”。这就要对自己所教的学生知识基础和认知水平充分了解，既不能过难，也不能过易。总之，题目的难易，要为学生的思维发展起着恰到好处的作用。
二、培养学生思维的逆向性
“正难相反”是数学教学中常用的方法，“反”是指把思维向习惯思维的反面。运用逆向思维化难为易。
案例1：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=A1B1，AC1⊥平面A1BD，D为AC上的点.求证：B1C1⊥B1A.
若按正向思维，利用诸多已知条件证明结论，有的同学感到无从下手，既然要求证明B1C1⊥B1A这个结论，它一定是正确的，再结合已知的条件就可推测出B1C1⊥平面ABB1A1。有了这一推测我们就有了解决问题的着手点，即只需证明B1C1⊥平面ABB1A1，就能证出题中要求的结论。
案例2：下面三个方程中至少有一个方程有实数解，求实数a的取值范围。（1）x2+4ax+3-4a=0；（2）x2+（a-1）x+a2=0；（3）x2+2ax-2a=0.
若按常规想法，则需考虑三个方程中仅有一个方程或两方程或三个方程有实数解三种情况，非常繁琐，但考虑其反面，三个方程没实数解，则使问题大为简化：令Δ1<0，Δ2<0，Δ3<0，联立三个不等式，其解为A={a|-
在培养学生逆向思维的同时也要重视横向思维的培养，这样可以打破思维的局限性，培养思维灵活性。“横向”就是指发现一种现象后立即联想到与它相似的其他现象。
案例1：求函数：y= + 的最小值。
看到函数是两个算术根之和，联想到复数模公式及关于模的不等式，用下面方法完成这道题。设z1=5-x+5i，z2=x+5i，则y= + =|z1|+|z2|？叟|z1+z2|=|5+10i|=5 。
案例2：已知实数x，y满足圆方程。
（1）求 的最大值和最小值；
（2）求x+y的最大值和最小值；
（3）求x2+y2的最大值和最小值。
对于（1）， 即为圆上的点与原点连线的斜率， 取值范围就是过原点向圆引两条切线的斜率之间的范围，从而求 的最大值和最小值。
对于（2），可设y+x=m，直线y=-x+m与圆有公共点时，y+x的取值范围就是直线系y=-x+m中与圆两条切线位置对应的纵截距之间的取值范围；也可以将y=-x+m代入圆的方程，由可得m的取值范围，即得y+x的最大值和最小值。
对于（3），可联想 表示圆上的点到原点的距离。先求出 的最大值和最小值，再求出x2+y2的最大值和最小值。
教学中，我们要向学生指出，变元转换、构造方程与数形结合是处理二元条件最值的常用方法。
通过这个横向性联想把问题化难为易，活跃了学生的思维，培养了学生思维的灵活恬和广泛性，增强了学生发散思维能力，有助于培养他们的创造能力。
教学中，通过对学生思维能力的培养，提高了他们独立学习的能力，使他们能在独立学习中获取新知，这是素质教育的需要。而思维能力的获得与提高，必须通过自己的思维活动，所以思维能力的培养要纳入课堂教学计划中，备课时不但要明确教给学生什么知识，而且要站在学生角度设想什么是学生接受知识的最佳途径。不仅通过教师讲，更要通过适当的方法让学生自己去思考、去探索，并且用准确的语言或适当方式表达出来，这样就可使学生的思维能力和知识同时得到增长。
【参考文献】
[1]徐稼红，丰世富.《高中数学教学与测试》文科总复习[M].苏州：苏州大学出版社，2012.3
[2]沈新权.高中数学复习课教学设计的探索与实践[J].中学数学教学参考（上旬），2012（8）：23-25
（作者单位：江苏省南京市二十九中教育集团四中校区）