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总体来说，学习定积分要理解定义、回归意义、活用性质、总结方法.然而，由于定积分符号高度抽象、思想深刻以及目前所学有限，学习中会遇到许多困难.下面就同学们经常遇到的一些问题加以剖析.
一、忽视符号的含义
由于定积分是高度符号化的形式，其中包含着较多的内涵，需要认真领会.
例1 求定积分[-22kdx].
误解 [-22kdx=12x2]|[2-2=0.]
正解 [-22kdx=k-22dx=kx]|[2-2=4k.]
剖析 积分变量是[x]，而不是[k(k]是参数）.因此也就弄清被积函数到底是什么.
理解[abf(x)dx=limn→+∞i=1nf(xi)][△x]很有必要.可以认为[abf(x)dx]表达简洁，而[limn→+∞][i=1nf(xi)][△x]更能直接反映定积分的内涵；一个注重形式，一个反映本质.所以理解符号要首先理解定义，关注定义的背景来源.
二、忽视几何意义
定积分作为新概念被引入，最直观的解释就是其几何意义，也是我们求定积分的一个基本的有效方法.因为它更本质化、更直观形象，所以要经常回归到这一思路解题.
例2 求定积分[024-x2dx.]
由于很难找到被积函数[f(x)=4-x2]的原函数，所以陷入困境. 结合定积分的几何意义不难得知，该定积分其实是求圆[x2+y2=4]在第一象限内的面积，[024-x2dx]=[14]π·22=π.
此外，将其推广并变式如下：
例3 求[-aab2-b2a2x2dx(a>b>0).]
解 [-aab2-b2a2x2dx]=[ba-aaa2-x2dx]
[=ba×12πa2]=[πab2.]
进一步思考可以发现[-aab2-b2a2x2dx]表示的几何意义就是椭圆[x2a2+y2b2]=1的上半部分的面积，从而我们也得到椭圆的面积公式[πab].同时启示我们，被积函数[f(x)=m2-n2x2]的定积分都可以变形为[f(x)=1n(mn)2-x2]，再将其转化为圆的面积这一几何意义求解.
三、忽视被积函数的化简.
目前所学习的定积分基本不涉及复杂函数的定积分，因为更多的技巧要大学微积分的知识才能解决，所以如果不能直接找出被积函数的原函数，可以试图对其先化简，再作处理.
例4 求[0π2sin2x2dx].
分析 由于一时间找不到[sin2x2]的原函数，故解不出来，而几何意义又很难发现. 结合三角函数知识，可以对[sin2x2]先化简，目的是化简成能直接找到原函数的类型.
解 [0π2sin2x2dx]=[0π21-cosx2dx]
[=12(x-sinx)|π20=π-24.]
同学们可以思考以下两个问题：
求下列定积分：
①[0π2(cos2x2-sin2x2)dx]；②[49x(1+x)dx.]
点拨 如果找原函数困难、几何意义又不明显时，不妨先对被积函数化简，使之成为基本初等的被积函数.
四、缺乏讨论，陷入困境
定积分与导数是互逆运算，所以求定积分的过程就是找原函数的过程，但有些函数在整个区间内不存在原函数，那么就要对区间分段讨论使之具有原函数.
例5 求[-11|x|dx].
分析 显然不存在函数的导数为[x]，这样只要去掉绝对值符号就可以找到原函数.
解 [-11|x|dx=-10(-x)dx+01xdx=-12x2|0-1+12x2|10=1]
点评 遇到含绝对值的函数或分段函数的定积分一般要分段分开求积分，这样可以更方便找到其原函数.
五、陷入机械运算、不能活用性质
定积分有丰富的性质，除一些基本的运算性质外，还有奇偶函数在对称区间上的定积分性质等，解题时灵活运用往往会事半功倍.
例6 求[-π2π2sinxcosxdx.]
解 [y=sinxcosx]是[-π2,π2]上的奇函数，故[-π2π2sinxcosxdx=0.]
试求[-aa(xcosx-5sinx+2)dx.]
六、求面积理解不到位
定积分[abf(x)dx]的几何意义：仅当[f(x)>0]时，表示曲边梯形的面积；而[f(x)<0]时以及多种形状的曲边图形面积都可以从这个基本的几何意义出发得到理解，并最终转化为这种类型求解.
例7 求由曲线[y=x],[y=2-x,y=-13x]所围成图形的面积.
分析 先画图，再求交点坐标以确定积分上下限，然后对照图形，将面积用定积分表示出来，最后再求积分.
解 [S=01[x-(-13x)]dx+13[(2-x)-(-13x)]dx]
=[01(x+13x)dx+13(2-23x)dx]
=[(23x32+16x2)|10+(2x-13x2)|31]
=[23+16+(3-53)=136]
点拨 从中可以看出关键是要将图形分割成最基本的曲边图形，目前除图甲类型外，还有图乙类型.即如图所示的曲边图形求面积.
通过对各种情况的讨论，结合面积割补方法以及转化为曲边梯形面积. 总可以得到，若[f(x)>g(x)]，则面积[S=ab[f(x)-g(x)]dx],而与[f(x)]、[g(x)]的符号无关.
[甲][乙]
最后，提醒同学们求定积分关键是要理解定积分的定义.弄清楚积分的背景，此外适当总结归纳一些常见性质、方法，才可以以不变应万变.
一、忽视符号的含义
由于定积分是高度符号化的形式，其中包含着较多的内涵，需要认真领会.
例1 求定积分[-22kdx].
误解 [-22kdx=12x2]|[2-2=0.]
正解 [-22kdx=k-22dx=kx]|[2-2=4k.]
剖析 积分变量是[x]，而不是[k(k]是参数）.因此也就弄清被积函数到底是什么.
理解[abf(x)dx=limn→+∞i=1nf(xi)][△x]很有必要.可以认为[abf(x)dx]表达简洁，而[limn→+∞][i=1nf(xi)][△x]更能直接反映定积分的内涵；一个注重形式，一个反映本质.所以理解符号要首先理解定义，关注定义的背景来源.
二、忽视几何意义
定积分作为新概念被引入，最直观的解释就是其几何意义，也是我们求定积分的一个基本的有效方法.因为它更本质化、更直观形象，所以要经常回归到这一思路解题.
例2 求定积分[024-x2dx.]
由于很难找到被积函数[f(x)=4-x2]的原函数，所以陷入困境. 结合定积分的几何意义不难得知，该定积分其实是求圆[x2+y2=4]在第一象限内的面积，[024-x2dx]=[14]π·22=π.
此外，将其推广并变式如下：
例3 求[-aab2-b2a2x2dx(a>b>0).]
解 [-aab2-b2a2x2dx]=[ba-aaa2-x2dx]
[=ba×12πa2]=[πab2.]
进一步思考可以发现[-aab2-b2a2x2dx]表示的几何意义就是椭圆[x2a2+y2b2]=1的上半部分的面积，从而我们也得到椭圆的面积公式[πab].同时启示我们，被积函数[f(x)=m2-n2x2]的定积分都可以变形为[f(x)=1n(mn)2-x2]，再将其转化为圆的面积这一几何意义求解.
三、忽视被积函数的化简.
目前所学习的定积分基本不涉及复杂函数的定积分，因为更多的技巧要大学微积分的知识才能解决，所以如果不能直接找出被积函数的原函数，可以试图对其先化简，再作处理.
例4 求[0π2sin2x2dx].
分析 由于一时间找不到[sin2x2]的原函数，故解不出来，而几何意义又很难发现. 结合三角函数知识，可以对[sin2x2]先化简，目的是化简成能直接找到原函数的类型.
解 [0π2sin2x2dx]=[0π21-cosx2dx]
[=12(x-sinx)|π20=π-24.]
同学们可以思考以下两个问题：
求下列定积分：
①[0π2(cos2x2-sin2x2)dx]；②[49x(1+x)dx.]
点拨 如果找原函数困难、几何意义又不明显时，不妨先对被积函数化简，使之成为基本初等的被积函数.
四、缺乏讨论，陷入困境
定积分与导数是互逆运算，所以求定积分的过程就是找原函数的过程，但有些函数在整个区间内不存在原函数，那么就要对区间分段讨论使之具有原函数.
例5 求[-11|x|dx].
分析 显然不存在函数的导数为[x]，这样只要去掉绝对值符号就可以找到原函数.
解 [-11|x|dx=-10(-x)dx+01xdx=-12x2|0-1+12x2|10=1]
点评 遇到含绝对值的函数或分段函数的定积分一般要分段分开求积分，这样可以更方便找到其原函数.
五、陷入机械运算、不能活用性质
定积分有丰富的性质，除一些基本的运算性质外，还有奇偶函数在对称区间上的定积分性质等，解题时灵活运用往往会事半功倍.
例6 求[-π2π2sinxcosxdx.]
解 [y=sinxcosx]是[-π2,π2]上的奇函数，故[-π2π2sinxcosxdx=0.]
试求[-aa(xcosx-5sinx+2)dx.]
六、求面积理解不到位
定积分[abf(x)dx]的几何意义：仅当[f(x)>0]时，表示曲边梯形的面积；而[f(x)<0]时以及多种形状的曲边图形面积都可以从这个基本的几何意义出发得到理解，并最终转化为这种类型求解.
例7 求由曲线[y=x],[y=2-x,y=-13x]所围成图形的面积.
分析 先画图，再求交点坐标以确定积分上下限，然后对照图形，将面积用定积分表示出来，最后再求积分.
解 [S=01[x-(-13x)]dx+13[(2-x)-(-13x)]dx]
=[01(x+13x)dx+13(2-23x)dx]
=[(23x32+16x2)|10+(2x-13x2)|31]
=[23+16+(3-53)=136]
点拨 从中可以看出关键是要将图形分割成最基本的曲边图形，目前除图甲类型外，还有图乙类型.即如图所示的曲边图形求面积.
通过对各种情况的讨论，结合面积割补方法以及转化为曲边梯形面积. 总可以得到，若[f(x)>g(x)]，则面积[S=ab[f(x)-g(x)]dx],而与[f(x)]、[g(x)]的符号无关.
[甲][乙]
最后，提醒同学们求定积分关键是要理解定积分的定义.弄清楚积分的背景，此外适当总结归纳一些常见性质、方法，才可以以不变应万变.