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【摘要】 洛比达法则是高等数学中一个很重要的定理，本文证明洛比达法则成立的三个条件可减少为两个.
【关键词】 洛比达法则；三个条件；减为；两个条件
洛比达是高等数学中一个很重要的定理，它是求极限的一个非常重要的方法，目前在国内出版发行的高等数学、微积分或数学分析教材中都有洛必达法则定理.在这些教材中，关于洛比达法则定理主要有四个，定理成立的条件都是三个，本文证明洛比达法则成立的三个条件可减少为两个.为讨论方便，我们将这四个洛必达法则定理复述如下
定理 1（LHospital法则 0[]0 型）若函数f（x），g（x）满足：
（1）lim x→x0 f（x）=lim x→x0 g（x）；（2）在点x0的某一去心邻域U 0 （x0）内，f′（x），g′（x）均存在，且g′（x）≠0；（3）lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A（或∞）.
则lim x→x0 f（x）[]g（x） =
lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A（或∞）.
定理2（LHospital法则 ∞[]∞ 型）若函数f（x），g（x）满足：
（1）lim x→x0 f（x）=lim x→x0 g（x）=∞；（2）在点x0的某一去心邻域U 0 （x0）内，f′（x），g′（x）均存在，且g′（x）≠0；（3）lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A（或∞）.
则lim x→x0 f（x）[]g（x） =lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A（或∞）
注：定理1和定理2对单侧极限x→x-0，x→x 0也成立.
定理3（LHospital法则 0[]0 型）若函数f（x），g（x）满足：
（1）lim x→∞ f（x）=lim x→∞ g（x）=0；（2）当|x|>N时，f′（x）， g′（x） 均存在，且g′（x）≠0（N为某一自然数）；（3）lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =A（或∞）
则lim x→∞ f（x）[]g（x） =lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =A（或∞）
定理4（LHospital法则 ∞[]∞ 型） 若函数f（x），g（x）满足：
（1）lim x→∞ f（x）=lim x→∞ g（x）=∞；（2）当|x|>N时，f′（x），g′（x） 均存在，且g′（x）≠0（N为 某一自然数）；（3）lim x→∞ f′（x）[]g′（x） = A（或∞）.
则lim x→∞ f（x）[]g（x） =lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =A（或∞）.
注：定理3和定理4对单侧极限x→-∞，x→ ∞也成立.
现在我们来分析上述四个定理成立的条件，实际上，这四个定理成立的三个条件不是独立的，其中条件（2）隐含在条件（3）中，也就是说，如果条件（3）成立，则条件（2）一定成立，所以条件（2）是多余的，可以省略.证明如下
证明 我们先证明定理1和定理2中的条件（2）可以省略，即证明：（3）（2）.
先证：lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A（2）.用反证法，先证lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A的情形，即设lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A成立，但（2）不成立，即在点x0的任一去心邻域U 0 x0， 1[]n （n=1，2，…）内，xn∈U 0 x0， 1[]n 使f′（xn）不存在，或g′（xn）不存在，或g′（xn）=0.从而得lim x→∞ xn=x0.这样存在一个子列{xn}使lim x→x0 f′（xn）[]g′（xn） 不存在.从而根据函数极限与数列极限的关系推出，lim x→x0 f′（x）[]g′（x） 不存在.与假设lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A矛盾.对lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =∞的情形证法完全类似.
再证明定理3和定理4中的条件（2）也可以省略，即证明：（3）（2）.
先证：lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =A（2）.也用反证法.设lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A成立，但（2）不成立，即n（n=N，N 1，N 2，…），xn，|xn|>n（n=N，N 1，N 2…）时，使f′（xn）不存在，或g′（xn）不存在，或g′（xn）=0，这样存在一个子列{xn}，lim n→∞ xn=∞.lim xn→∞ f′（xn）[]g′（xn） 不存 在.从而根据函数极限与数列极限的关系推出，lim x→∞ f′（x）[]g′（x） 不存在.与假设lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =A矛盾.对lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =∞ 的情形，证法完全类似.证毕.
这样我们证明了洛比达（LHospital）法则定理中的三个条件中的第二个条件是多余的，可以去掉.所以四个洛比达（LHospital）法则定理可简述为
【关键词】 洛比达法则；三个条件；减为；两个条件
洛比达是高等数学中一个很重要的定理，它是求极限的一个非常重要的方法，目前在国内出版发行的高等数学、微积分或数学分析教材中都有洛必达法则定理.在这些教材中，关于洛比达法则定理主要有四个，定理成立的条件都是三个，本文证明洛比达法则成立的三个条件可减少为两个.为讨论方便，我们将这四个洛必达法则定理复述如下
定理 1（LHospital法则 0[]0 型）若函数f（x），g（x）满足：
（1）lim x→x0 f（x）=lim x→x0 g（x）；（2）在点x0的某一去心邻域U 0 （x0）内，f′（x），g′（x）均存在，且g′（x）≠0；（3）lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A（或∞）.
则lim x→x0 f（x）[]g（x） =
lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A（或∞）.
定理2（LHospital法则 ∞[]∞ 型）若函数f（x），g（x）满足：
（1）lim x→x0 f（x）=lim x→x0 g（x）=∞；（2）在点x0的某一去心邻域U 0 （x0）内，f′（x），g′（x）均存在，且g′（x）≠0；（3）lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A（或∞）.
则lim x→x0 f（x）[]g（x） =lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A（或∞）
注：定理1和定理2对单侧极限x→x-0，x→x 0也成立.
定理3（LHospital法则 0[]0 型）若函数f（x），g（x）满足：
（1）lim x→∞ f（x）=lim x→∞ g（x）=0；（2）当|x|>N时，f′（x）， g′（x） 均存在，且g′（x）≠0（N为某一自然数）；（3）lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =A（或∞）
则lim x→∞ f（x）[]g（x） =lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =A（或∞）
定理4（LHospital法则 ∞[]∞ 型） 若函数f（x），g（x）满足：
（1）lim x→∞ f（x）=lim x→∞ g（x）=∞；（2）当|x|>N时，f′（x），g′（x） 均存在，且g′（x）≠0（N为 某一自然数）；（3）lim x→∞ f′（x）[]g′（x） = A（或∞）.
则lim x→∞ f（x）[]g（x） =lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =A（或∞）.
注：定理3和定理4对单侧极限x→-∞，x→ ∞也成立.
现在我们来分析上述四个定理成立的条件，实际上，这四个定理成立的三个条件不是独立的，其中条件（2）隐含在条件（3）中，也就是说，如果条件（3）成立，则条件（2）一定成立，所以条件（2）是多余的，可以省略.证明如下
证明 我们先证明定理1和定理2中的条件（2）可以省略，即证明：（3）（2）.
先证：lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A（2）.用反证法，先证lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A的情形，即设lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A成立，但（2）不成立，即在点x0的任一去心邻域U 0 x0， 1[]n （n=1，2，…）内，xn∈U 0 x0， 1[]n 使f′（xn）不存在，或g′（xn）不存在，或g′（xn）=0.从而得lim x→∞ xn=x0.这样存在一个子列{xn}使lim x→x0 f′（xn）[]g′（xn） 不存在.从而根据函数极限与数列极限的关系推出，lim x→x0 f′（x）[]g′（x） 不存在.与假设lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A矛盾.对lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =∞的情形证法完全类似.
再证明定理3和定理4中的条件（2）也可以省略，即证明：（3）（2）.
先证：lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =A（2）.也用反证法.设lim x→x0 f′（x）[]g′（x） =A成立，但（2）不成立，即n（n=N，N 1，N 2，…），xn，|xn|>n（n=N，N 1，N 2…）时，使f′（xn）不存在，或g′（xn）不存在，或g′（xn）=0，这样存在一个子列{xn}，lim n→∞ xn=∞.lim xn→∞ f′（xn）[]g′（xn） 不存 在.从而根据函数极限与数列极限的关系推出，lim x→∞ f′（x）[]g′（x） 不存在.与假设lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =A矛盾.对lim x→∞ f′（x）[]g′（x） =∞ 的情形，证法完全类似.证毕.
这样我们证明了洛比达（LHospital）法则定理中的三个条件中的第二个条件是多余的，可以去掉.所以四个洛比达（LHospital）法则定理可简述为