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高中数学的函数教学是主阵地,采取数形结合的方式进行数学教学,能够让学生从繁琐的推导中脱离出来,结合图形更好地理解这些函数的具体含义以及对其进行恰当地使用.
一、数形结合思想发展历程
数形结合的教学理论是伴随着数学研究的最基本的两个范畴——数和形——研究的不断深入而产生的,这两个基本范畴也是整个数学学科发展过程中的两个支柱.将变量引入到数学的范畴中开始,就为我们数形结合的道路提供了很大的可能,也为我们在解决实际数学问题中提供了两种截然不同的工具:代数和几何.几何可以直接而实际地反映出问题的关键点.
从数学刚刚诞生在世界上之后的很长一段时间,人们只是不断致力于研究数字之间的相互奥义,解决生活中与数字相关的问题,并没有发现所谓的“形”也是数学予以改变世界而不可或缺的内容.从笛卡尔提出“坐标”这一概念,并且
例1 (典型的坐船过河问题)河水流动的速度为5 m/s,小明游泳速度为1 m/s,请问如果河宽10 m,他游过河的终点距离起点直线距离为多少?
解析:此题如果要是只用代数解答,很难想到一个表达式来表示这种抽象的概念,但是用一个直角三角形就方便地获取到了答案:一直角边为河宽10 m,而另外一直角边为水流动的距离s=(10 m/1 m/s)•5 m/s,而斜边就是我们所求的答案.同时,代数语言是几何的数学解释.从这个层面来看,“数”和“形”本就是存在于同时事物的两个侧面,而二者之间相互联系的思想就是数形结合的思想.
二、高中函数数学的数形结合方式的应用
1.数形结合在抽象函数中的应用
数形结合增进学生对函数知识理解的过程是非常易懂的.在我们高中函数教学中会经常碰到一些与函数性质相关联的命题,就从最简单的偶函数来讲,假设有函数y=f(x)是一个偶函数,在区间(-∞,0)上是减函数,若f(2)≤f(a),判断a的取值范围.
面对这一类的抽象问题,直接采取数学推导是非常困难的,而我们可以采取结合图形的方式就很容易解决此类问题,由此,我们可以画出图1.
通过图1直观地表达出来了着一偶函数,并且对于题目所给出的条件一眼就判断出了a的取值范围.
所以面对这一类的抽象函数问题,如果可以直接画出函数所能够表达的图形,那么答案就直接呈现在了我们的眼前,只需要利用“偶函数对称”这一基本定律就可以获得解答.
2.数形结合在函数性质记忆中的应用
同为中学数学,很多学生从初中升入高中之后发现,高中数学所要面临的知识有很多都是非常抽象和繁琐的,除了我们需要采取一些方式锻炼自身的抽象能力这种硬实力之外,还能够通过一些软实力的解决方法弥补抽象能力不足,数形结合的方法就很能解决这一难题,帮助学生巩固函数知识.
例如高中应用最广泛的三角函数,这类从图形中走出的函数,在解决了很多实际问题的同时,需要我们记忆sinx,cosx,tanx等等的很多数学性质,如果不采用数形结合的方式来进行记忆,我们不但要花费很多功夫,而且还不见得能够轻松记忆.
而以sinx函数为例,我们如果画出sinx的图形,可以非常容易分清楚它的奇偶性、周期、对称性以及单调区间.也就是说只要我们记住了这一函数的图形,就记住了它的所有性质,为学生巩固了函数知识.
3.数形结合在解决函数实际问题中的应用
不论是哪个阶段的数学教学,从宗旨上来看都是一样的,就是为了锻炼学生在今后面对实际问题时采取的解决办法,在高中数学中我们称这一类问题为应用题.
面对这些应用题时,很多情况下都不是我们仅仅通过摆弄数字就能够容易解决的,或者单纯画出一幅图形就能解释明白的.相反,我们先要通过图形展现出这一问题的核心所在,再通过数学推导最终获得解决.针对一些有着几何意义的函数问题,诸如很多最终转化为求最值、值域等的题目,就会出现上述这类问题.通过数形结合的方式来解题,在发挥出数形结合的极大威力同时也能够激发学生的探索精神.
例2 求解函数f(x)=cosx sinx-2的值域.
解析:
面对这一类问题,不利用图形的方式,利用抽象思维进行求解是非常困难的.这时候
可以观察出,sinx2+cosx2=1,利用这两个函数之间关系,可以将cosx与sinx看做是圆sinx2+cosx2=1周上的1个点,那么这个题目就变成了圆周上的一点到(2,0)连线的斜率问题,画出这一函数如图2.
在通过图形的直观性,利用求斜率的代数方法,很容易就能够解决这一问题.
从这个例子可以看出,在面对一些函数的实际问题时,我们可以先通过已知函数做出直观的图形,再将这一问题转换为解决起来较为容易的函数问题,在通过数学运算,解决最初的问题,也就是不断利用数形结合的方式来解决实际问题.
在面对高中数学中比较重要又非常抽象的函数教学中,不依赖数形结合的方式,又是在走了很多弯路之后发现根本解决不了.而通过数形结合的方式,利用数学运算的精确性和图形的直观性,能够更容易解决这些函数问题,这也就是为什么数形结合的教学方式在函数教学中随处可见的原因.相信同学们在不断进行此类解决方法锻炼的过程中会收获很多.
一、数形结合思想发展历程
数形结合的教学理论是伴随着数学研究的最基本的两个范畴——数和形——研究的不断深入而产生的,这两个基本范畴也是整个数学学科发展过程中的两个支柱.将变量引入到数学的范畴中开始,就为我们数形结合的道路提供了很大的可能,也为我们在解决实际数学问题中提供了两种截然不同的工具:代数和几何.几何可以直接而实际地反映出问题的关键点.
从数学刚刚诞生在世界上之后的很长一段时间,人们只是不断致力于研究数字之间的相互奥义,解决生活中与数字相关的问题,并没有发现所谓的“形”也是数学予以改变世界而不可或缺的内容.从笛卡尔提出“坐标”这一概念,并且
例1 (典型的坐船过河问题)河水流动的速度为5 m/s,小明游泳速度为1 m/s,请问如果河宽10 m,他游过河的终点距离起点直线距离为多少?
解析:此题如果要是只用代数解答,很难想到一个表达式来表示这种抽象的概念,但是用一个直角三角形就方便地获取到了答案:一直角边为河宽10 m,而另外一直角边为水流动的距离s=(10 m/1 m/s)•5 m/s,而斜边就是我们所求的答案.同时,代数语言是几何的数学解释.从这个层面来看,“数”和“形”本就是存在于同时事物的两个侧面,而二者之间相互联系的思想就是数形结合的思想.
二、高中函数数学的数形结合方式的应用
1.数形结合在抽象函数中的应用
数形结合增进学生对函数知识理解的过程是非常易懂的.在我们高中函数教学中会经常碰到一些与函数性质相关联的命题,就从最简单的偶函数来讲,假设有函数y=f(x)是一个偶函数,在区间(-∞,0)上是减函数,若f(2)≤f(a),判断a的取值范围.
面对这一类的抽象问题,直接采取数学推导是非常困难的,而我们可以采取结合图形的方式就很容易解决此类问题,由此,我们可以画出图1.
通过图1直观地表达出来了着一偶函数,并且对于题目所给出的条件一眼就判断出了a的取值范围.
所以面对这一类的抽象函数问题,如果可以直接画出函数所能够表达的图形,那么答案就直接呈现在了我们的眼前,只需要利用“偶函数对称”这一基本定律就可以获得解答.
2.数形结合在函数性质记忆中的应用
同为中学数学,很多学生从初中升入高中之后发现,高中数学所要面临的知识有很多都是非常抽象和繁琐的,除了我们需要采取一些方式锻炼自身的抽象能力这种硬实力之外,还能够通过一些软实力的解决方法弥补抽象能力不足,数形结合的方法就很能解决这一难题,帮助学生巩固函数知识.
例如高中应用最广泛的三角函数,这类从图形中走出的函数,在解决了很多实际问题的同时,需要我们记忆sinx,cosx,tanx等等的很多数学性质,如果不采用数形结合的方式来进行记忆,我们不但要花费很多功夫,而且还不见得能够轻松记忆.
而以sinx函数为例,我们如果画出sinx的图形,可以非常容易分清楚它的奇偶性、周期、对称性以及单调区间.也就是说只要我们记住了这一函数的图形,就记住了它的所有性质,为学生巩固了函数知识.
3.数形结合在解决函数实际问题中的应用
不论是哪个阶段的数学教学,从宗旨上来看都是一样的,就是为了锻炼学生在今后面对实际问题时采取的解决办法,在高中数学中我们称这一类问题为应用题.
面对这些应用题时,很多情况下都不是我们仅仅通过摆弄数字就能够容易解决的,或者单纯画出一幅图形就能解释明白的.相反,我们先要通过图形展现出这一问题的核心所在,再通过数学推导最终获得解决.针对一些有着几何意义的函数问题,诸如很多最终转化为求最值、值域等的题目,就会出现上述这类问题.通过数形结合的方式来解题,在发挥出数形结合的极大威力同时也能够激发学生的探索精神.
例2 求解函数f(x)=cosx sinx-2的值域.
解析:
面对这一类问题,不利用图形的方式,利用抽象思维进行求解是非常困难的.这时候
可以观察出,sinx2+cosx2=1,利用这两个函数之间关系,可以将cosx与sinx看做是圆sinx2+cosx2=1周上的1个点,那么这个题目就变成了圆周上的一点到(2,0)连线的斜率问题,画出这一函数如图2.
在通过图形的直观性,利用求斜率的代数方法,很容易就能够解决这一问题.
从这个例子可以看出,在面对一些函数的实际问题时,我们可以先通过已知函数做出直观的图形,再将这一问题转换为解决起来较为容易的函数问题,在通过数学运算,解决最初的问题,也就是不断利用数形结合的方式来解决实际问题.
在面对高中数学中比较重要又非常抽象的函数教学中,不依赖数形结合的方式,又是在走了很多弯路之后发现根本解决不了.而通过数形结合的方式,利用数学运算的精确性和图形的直观性,能够更容易解决这些函数问题,这也就是为什么数形结合的教学方式在函数教学中随处可见的原因.相信同学们在不断进行此类解决方法锻炼的过程中会收获很多.