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在高二数学课本“不等式”一章中关于不等式的证明，教材上列举了证明不等式的四种方法：公式法、比较法、数学归纳法及分析法.在实际应用过程中，只有这四种方法往往是不够的，还应通过实际例题向学生介绍反证法、放缩法、换元法及判别式法等常用的方法.另外还有几何法、构造函数法等方法.学生必须理解掌握这些思想方法，做题才能得心应手，游刃有余.
现举例说明：
例题：已知a，b，m∈R ，且a 求证： > .
证法1（比较法）：
因为a，b，m∈R ，a 所以 - = >0，故 > .
证法2（分析法）：
欲证 > ，由于a，b，m∈R ，aa（b m），
即证am 证法3（综合法）：
能用分析法证明的题目，一般也能用综合法证明（略）.
证法4（反证法）：
假设 ≤ ，
因为a、b、m∈R ，
所以（a m）b≤a（b m），即bm≤am，
所以b≤a，这与题设a 所以假设不成立，故 > .
证法5（放缩法）：
因为a，b，m∈R ，a 所以 = = < = .
证法6（构造函数法）：
构造函数f（x）= （0 因为f（x）=1- 在[0， ∞]上是增函数，
所以f（m）>f（0），即 > .
注：利用函数单调性证明不等式具有优越性.高中实验教材已把微积分列入必修内容，用导数研究函数的单调性很方便，故对此法应予以高度重视.
证法7（增量法）：
因为a0），
所以 = = < = = .
证法8（斜率法1）：
在直角坐标系中， = 表示经过A（b，a）和B（-m，-m）两点所在直线的斜率，设其倾斜率为α，而 = 表示点A（b，a）和原点O（0，0）所在直线的斜率，设其倾斜角为β，如图1.
图1
由a .
证法9（斜率法2）：
在直角坐标系中，设A（b，a），B（m，m），则AB的中点C（ ， ），如图2.
图2
由于OA、OB、OC三线的斜率满足k 证法10（三角法）：
如图3，在直角三角形ABC中，∠B=90°，BC=a，AB=b，延长BA至E，BC至D，使CD=AE=m.
设CA、DE交于F，则有tan∠DEB= ，tan∠CAB= .
因为∠CAB<∠DEB，所以tan∠CAB 图3
练习（请读者完成以下两道题）
1.若a b =1，x y =1，求证：ax by≤1.
2.已知a，b，c为直角三角形ABC的三边长，c是斜边，当n∈N，n≥3时，求证：a b 从以上例题及练习的证法体验可知，一道数学题因思考的角度不同可得到多种不同的解题思路.数学问题的解决应寻求多种解法，有利于拓宽解题思路，发展观察、想象、探索思维能力，进一步让人们感受到数学的神奇，数学的美，体现数学的价值.
现举例说明：
例题：已知a，b，m∈R ，且a
证法1（比较法）：
因为a，b，m∈R ，a
证法2（分析法）：
欲证 > ，由于a，b，m∈R ，a
即证am
能用分析法证明的题目，一般也能用综合法证明（略）.
证法4（反证法）：
假设 ≤ ，
因为a、b、m∈R ，
所以（a m）b≤a（b m），即bm≤am，
所以b≤a，这与题设a
证法5（放缩法）：
因为a，b，m∈R ，a
证法6（构造函数法）：
构造函数f（x）= （0
所以f（m）>f（0），即 > .
注：利用函数单调性证明不等式具有优越性.高中实验教材已把微积分列入必修内容，用导数研究函数的单调性很方便，故对此法应予以高度重视.
证法7（增量法）：
因为a
所以 = = < = = .
证法8（斜率法1）：
在直角坐标系中， = 表示经过A（b，a）和B（-m，-m）两点所在直线的斜率，设其倾斜率为α，而 = 表示点A（b，a）和原点O（0，0）所在直线的斜率，设其倾斜角为β，如图1.
图1
由a
证法9（斜率法2）：
在直角坐标系中，设A（b，a），B（m，m），则AB的中点C（ ， ），如图2.
图2
由于OA、OB、OC三线的斜率满足k
如图3，在直角三角形ABC中，∠B=90°，BC=a，AB=b，延长BA至E，BC至D，使CD=AE=m.
设CA、DE交于F，则有tan∠DEB= ，tan∠CAB= .
因为∠CAB<∠DEB，所以tan∠CAB
练习（请读者完成以下两道题）
1.若a b =1，x y =1，求证：ax by≤1.
2.已知a，b，c为直角三角形ABC的三边长，c是斜边，当n∈N，n≥3时，求证：a b