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【摘 要】结合“角平分线的性质与判定”的教学，文章从“课堂引入时渗透类比思想、定理探究时渗透类比思想、定理应用时渗透类比思想”三方面入手，阐述了基于类比思想的几何定理教学实践与思考，并通过数学教学活动的开展，让学生在掌握“四基”的同时，发展学生的数学思维品质，提升关键能力，培养学生的数学核心素养。
【关键词】类比思想；教学实践；数学思考
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2018）34-0128-02
引言
在一次片区教研活动中，张老师为大家展示了一节沪科版数学八年级（上）“角平分线的性质与判定”的研讨课，课后的研讨交流中，既有共识的达成，也产生了认识上的分歧与争议.现撰写下来，与同行们分享交流。
一、课堂简录
1.类比思考，引入课题。
教师：本章的课题是什么？
学生：轴对称图形与等腰三角形.
教师：我们主要探究了哪些轴对称图形？
学生：线段、等腰三角形和角.
教师：在这三个几何图形中，我们已经研究了等腰三角形的性质与判定，线段中垂线的尺规作图、性质与判定，那么，对于“角”我们在上节课中已经学习了它的尺规作图，接下来该如何研究呢？（引出课题）
2.动手操作，发现性质。
教师出示问题：如图1，请同学们用尺规作图作出∠AOB的平分线OC，然后在OC上任意取一点P，分别过P点作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，探索PD、PE有什么数量关系？（学生动手操作，探索发现PD与PE的数量关系）
生1：我通过测量，发现PD=PE.
生2：我通过折叠，也发现PD=PE.
教师：能把你们的发现用一句话总结一下吗？
生3：在角平分线上任意取一点，向这个角的两边作垂线，垂线段的长相等.
教师：“垂线段的长”也可以说成“点到角两边的距离”.哪位同学能把学生3的总结说的更简洁一些？
生4：角平分线上的点到角两边的距离相等.
教师：非常好！那么，我们发现的这个结论正确吗？（齐答：不一定）怎么办？（需要证明）
3.问题驱动，证明性质。
问题1：命题证明一般要经历怎样的过程？学生回顾命题证明的一般过程.之后，结合图形，师生共同写出已知、求证.
问题2：证明“PD=PE”，我们有什么办法？（学生：三角形全等）那么，你们开始证明吧！
教师指定一名学生板书证明过程，然后，师生互评，强调推理的严谨性、书写的规范性，最后归纳性质定理.
定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
如图1，若OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，且PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE.
4.自主思考，探索判定。
教师：刚才我们一起研究了“角平分线上的点到角两边的距离相等.”这个性质定理，请大家思考，它的逆命题如何写？是真命题还是假命题？
生5：逆命题是“到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.”
生6（反驳）：不对，应该加上“在一个角的内部”这个条件.
教师：佩服，老师竟没有想到.
生5（接着讲）：此问和性质一样，用“HL”定理证明两个直角三角形全等即可.（学生以下讲解过程略）
教师：对于角平分线的判定定理，在使用时，要注意必须是在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，否则不成立.
归纳定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
如图2，若PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线OC上.
思考1：如图3，若PD=PE，但没有“PD⊥OA，PE⊥OB”这个条件，能不能判定OC是∠AOB的平分线呢？
思考2：如图4，若PD=PE，且OD=OE，能不能判定OC是∠AOB的平分线呢？
5.出示例题，应用定理。
已知：如圖5，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
解答：（1）点P在∠A的平分线上吗？
（2）点P到三边AB，BC，CA的距离有什么关系？
（3）若设点P到边BC的距离为r，∠A、∠ABC、∠ACB所对的边为a，b，c，你能用a，b，c，r表示△ABC的面积吗？
二、数学思考
1.课堂引入，渗透类比思想。
等腰三角形、线段中垂线的研究思路应该说是研究角平分线的最好方法，因此，上课伊始，授课者通过复习等腰三角形、中垂线的有关内容，提出“对于角，我们在上节课中已经学习了它的尺规作图，接下来该如何研究呢？”在类比中自然引入课题，使学生自然而然地明白这节课该干什么.这种“类比思考，引入课题”的方法符合学生的最近发展区和认知规律，找准了新知识的生长点和切入点，为新知识的学习铺设了绿色通道.
2.定理探究，渗透类比思想。
几何定理探究的一般规律是：“发现定理—证明定理—应用定理”.教学中，授课者通过类比等腰三角形、中垂线的探究思路，让学生动手操作发现“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一结论，然后以“问题驱动”，通过小组合作完成对性质的探索与证明，最后以“请大家思考，它的逆命题如何写？是真命题还是假命题？”引入学生对判定定理的自主探究与思考.因为学生已经有了对等腰三角形、线段中垂线的活动经验的积累，加之三角形全等判定的学习，所以课堂上，学生活动开展顺利，角平分线性质与判定的获得自然.而且，学生在知识迁移、类比思考中再次获得了研究几何性质与判定的一般经验，培养了学生的探究意识，分析问题、解决问题的能力，进而培养学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养. 3.定理应用，渗透美育教育。
应用定理是几何定理教学中必不可少的一个环节，课堂中，授课者通过对例题的变式，不但实现了巩固定理的目的，而且让学生在动手操作中感受数学之美，渗透美育教育.
例題教学时，授课者通过把“证明”变为三个问题串，使问题变得浅显易懂，增强了学生解答问题的自信心，拓宽了学生的数学思维.特别是在问题（2）的解答中，当学生发现发现：“点P到三边AB，BC，CA的距离相等”结论后，老师让学生“以P为圆心，P到边BC的距离为半径画圆，看看有什么发现？”学生通过画图，兴奋的叫了起来：“哇，整个圆都在三角形的内部，而且和各边只有一个公共点.”不仅为九年级学习三角形的内切圆作了充分而必要的准备，而且学生很容易与前面学过的三角形的三条中垂线交点作的三角形的外接圆做类比.正如法国著名雕塑家罗丹所说“世界上并不缺少美，只是缺少发现美的眼睛.”这句话同样适用于数学教学，特别是几何教学.此时不仅渗透了数学的美，而且激发了学生学习数学的兴趣.
总之，本课教学过程中，教师通过创设类比情境、适当提问，引领学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，教师给出研究思路，学生沿着教师预设的思路进行研究，让学生不知不觉中发现、提出、分析和解决的全过程，对问题解决活动经验的积累，几何图形研究经验的积累，发展能力，具有积极的意义.再加上与线段中垂线课时安排完全类似，一以贯之，所以从学生课堂上的反应看他们并不吃力.
三、教学建议
教学永远是一门遗憾的艺术.本节课授课者虽然做的非常完美，但仍存在值得商榷的问题.《义务教育数学课程标准》（2011年版）提出实现“人人学有价值的数学，人人都能获得有必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的目标.其实现的基本途径是从学生自己熟悉的生活背景中发现数学，掌握数学和运用数学，体验数学与周围世界的联系以及数学在社会生活中的作用及意义.因此教师要改变传统的教学方式，联系生活实际，让学生在数学活动中获得生活经验.寓数学知识于学生喜闻乐见的活动之中，使抽象的教学知识以直观形象，丰富多彩的客观事物为载体.这节课所选的不论是例题，还是练习，甚至于连作业都是纯粹的数学题，无疑是脱离了实际生活.如果在导入新课之前创设情境“如图6，为了促进我县经济发展，县政府决定要在三条公路围成的一块平地上修建一个魔幻城，要使这个魔幻城到三条公路的距离相等，应在何处修建？”或者在练习中设计一个思考题：“如图7，要在我校后面的S区建一个超市，使它到两条路的距离相等，且离两公路交叉处100米，应建在何处？（比例尺为1：10000）”
这样才能够让学生体会数学来源于生活，又服务于生活，体验数学的内在价值，感受到数学知识就在身边，生活中充满着丰富的数学问题.
另外，教师还应增加开放性的问题，给学生充分自主、自由、开放的探究空间.让学生享受自我探究，自我创造的快乐，发展学生研究数学问题的能力和自主创新能力.如在练习中可以设置这样的问题：“如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则（1）图中相等的线段有哪些？相等的角有哪些？（2）那条线段与DE相等？为什么？（3）若AB=10，BC=8，AC=6，求AE的长和△BED的周长.”
参考文献
[1]郑燕红.吴增生.且行切思，发展“四能”.中国数学教育.
[2]张东.有理数减法法则教学探究性思考.中国数学教育.
【关键词】类比思想；教学实践；数学思考
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A
【文章编号】2095-3089（2018）34-0128-02
引言
在一次片区教研活动中，张老师为大家展示了一节沪科版数学八年级（上）“角平分线的性质与判定”的研讨课，课后的研讨交流中，既有共识的达成，也产生了认识上的分歧与争议.现撰写下来，与同行们分享交流。
一、课堂简录
1.类比思考，引入课题。
教师：本章的课题是什么？
学生：轴对称图形与等腰三角形.
教师：我们主要探究了哪些轴对称图形？
学生：线段、等腰三角形和角.
教师：在这三个几何图形中，我们已经研究了等腰三角形的性质与判定，线段中垂线的尺规作图、性质与判定，那么，对于“角”我们在上节课中已经学习了它的尺规作图，接下来该如何研究呢？（引出课题）
2.动手操作，发现性质。
教师出示问题：如图1，请同学们用尺规作图作出∠AOB的平分线OC，然后在OC上任意取一点P，分别过P点作PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，探索PD、PE有什么数量关系？（学生动手操作，探索发现PD与PE的数量关系）
生1：我通过测量，发现PD=PE.
生2：我通过折叠，也发现PD=PE.
教师：能把你们的发现用一句话总结一下吗？
生3：在角平分线上任意取一点，向这个角的两边作垂线，垂线段的长相等.
教师：“垂线段的长”也可以说成“点到角两边的距离”.哪位同学能把学生3的总结说的更简洁一些？
生4：角平分线上的点到角两边的距离相等.
教师：非常好！那么，我们发现的这个结论正确吗？（齐答：不一定）怎么办？（需要证明）
3.问题驱动，证明性质。
问题1：命题证明一般要经历怎样的过程？学生回顾命题证明的一般过程.之后，结合图形，师生共同写出已知、求证.
问题2：证明“PD=PE”，我们有什么办法？（学生：三角形全等）那么，你们开始证明吧！
教师指定一名学生板书证明过程，然后，师生互评，强调推理的严谨性、书写的规范性，最后归纳性质定理.
定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
如图1，若OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，且PD⊥OA，PE⊥OB，则PD=PE.
4.自主思考，探索判定。
教师：刚才我们一起研究了“角平分线上的点到角两边的距离相等.”这个性质定理，请大家思考，它的逆命题如何写？是真命题还是假命题？
生5：逆命题是“到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.”
生6（反驳）：不对，应该加上“在一个角的内部”这个条件.
教师：佩服，老师竟没有想到.
生5（接着讲）：此问和性质一样，用“HL”定理证明两个直角三角形全等即可.（学生以下讲解过程略）
教师：对于角平分线的判定定理，在使用时，要注意必须是在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，否则不成立.
归纳定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
如图2，若PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，且PD=PE，则点P在∠AOB的平分线OC上.
思考1：如图3，若PD=PE，但没有“PD⊥OA，PE⊥OB”这个条件，能不能判定OC是∠AOB的平分线呢？
思考2：如图4，若PD=PE，且OD=OE，能不能判定OC是∠AOB的平分线呢？
5.出示例题，应用定理。
已知：如圖5，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
解答：（1）点P在∠A的平分线上吗？
（2）点P到三边AB，BC，CA的距离有什么关系？
（3）若设点P到边BC的距离为r，∠A、∠ABC、∠ACB所对的边为a，b，c，你能用a，b，c，r表示△ABC的面积吗？
二、数学思考
1.课堂引入，渗透类比思想。
等腰三角形、线段中垂线的研究思路应该说是研究角平分线的最好方法，因此，上课伊始，授课者通过复习等腰三角形、中垂线的有关内容，提出“对于角，我们在上节课中已经学习了它的尺规作图，接下来该如何研究呢？”在类比中自然引入课题，使学生自然而然地明白这节课该干什么.这种“类比思考，引入课题”的方法符合学生的最近发展区和认知规律，找准了新知识的生长点和切入点，为新知识的学习铺设了绿色通道.
2.定理探究，渗透类比思想。
几何定理探究的一般规律是：“发现定理—证明定理—应用定理”.教学中，授课者通过类比等腰三角形、中垂线的探究思路，让学生动手操作发现“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一结论，然后以“问题驱动”，通过小组合作完成对性质的探索与证明，最后以“请大家思考，它的逆命题如何写？是真命题还是假命题？”引入学生对判定定理的自主探究与思考.因为学生已经有了对等腰三角形、线段中垂线的活动经验的积累，加之三角形全等判定的学习，所以课堂上，学生活动开展顺利，角平分线性质与判定的获得自然.而且，学生在知识迁移、类比思考中再次获得了研究几何性质与判定的一般经验，培养了学生的探究意识，分析问题、解决问题的能力，进而培养学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养. 3.定理应用，渗透美育教育。
应用定理是几何定理教学中必不可少的一个环节，课堂中，授课者通过对例题的变式，不但实现了巩固定理的目的，而且让学生在动手操作中感受数学之美，渗透美育教育.
例題教学时，授课者通过把“证明”变为三个问题串，使问题变得浅显易懂，增强了学生解答问题的自信心，拓宽了学生的数学思维.特别是在问题（2）的解答中，当学生发现发现：“点P到三边AB，BC，CA的距离相等”结论后，老师让学生“以P为圆心，P到边BC的距离为半径画圆，看看有什么发现？”学生通过画图，兴奋的叫了起来：“哇，整个圆都在三角形的内部，而且和各边只有一个公共点.”不仅为九年级学习三角形的内切圆作了充分而必要的准备，而且学生很容易与前面学过的三角形的三条中垂线交点作的三角形的外接圆做类比.正如法国著名雕塑家罗丹所说“世界上并不缺少美，只是缺少发现美的眼睛.”这句话同样适用于数学教学，特别是几何教学.此时不仅渗透了数学的美，而且激发了学生学习数学的兴趣.
总之，本课教学过程中，教师通过创设类比情境、适当提问，引领学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，教师给出研究思路，学生沿着教师预设的思路进行研究，让学生不知不觉中发现、提出、分析和解决的全过程，对问题解决活动经验的积累，几何图形研究经验的积累，发展能力，具有积极的意义.再加上与线段中垂线课时安排完全类似，一以贯之，所以从学生课堂上的反应看他们并不吃力.
三、教学建议
教学永远是一门遗憾的艺术.本节课授课者虽然做的非常完美，但仍存在值得商榷的问题.《义务教育数学课程标准》（2011年版）提出实现“人人学有价值的数学，人人都能获得有必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的目标.其实现的基本途径是从学生自己熟悉的生活背景中发现数学，掌握数学和运用数学，体验数学与周围世界的联系以及数学在社会生活中的作用及意义.因此教师要改变传统的教学方式，联系生活实际，让学生在数学活动中获得生活经验.寓数学知识于学生喜闻乐见的活动之中，使抽象的教学知识以直观形象，丰富多彩的客观事物为载体.这节课所选的不论是例题，还是练习，甚至于连作业都是纯粹的数学题，无疑是脱离了实际生活.如果在导入新课之前创设情境“如图6，为了促进我县经济发展，县政府决定要在三条公路围成的一块平地上修建一个魔幻城，要使这个魔幻城到三条公路的距离相等，应在何处修建？”或者在练习中设计一个思考题：“如图7，要在我校后面的S区建一个超市，使它到两条路的距离相等，且离两公路交叉处100米，应建在何处？（比例尺为1：10000）”
这样才能够让学生体会数学来源于生活，又服务于生活，体验数学的内在价值，感受到数学知识就在身边，生活中充满着丰富的数学问题.
另外，教师还应增加开放性的问题，给学生充分自主、自由、开放的探究空间.让学生享受自我探究，自我创造的快乐，发展学生研究数学问题的能力和自主创新能力.如在练习中可以设置这样的问题：“如图8，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则（1）图中相等的线段有哪些？相等的角有哪些？（2）那条线段与DE相等？为什么？（3）若AB=10，BC=8，AC=6，求AE的长和△BED的周长.”
参考文献
[1]郑燕红.吴增生.且行切思，发展“四能”.中国数学教育.
[2]张东.有理数减法法则教学探究性思考.中国数学教育.