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摘 要：小学数学需要关注学生的思维能力培养，思维能力的培养需要尊重学生的认知规律。“分数”作为小学数学的重要内容，具有基于认知规律研究学生思维能力培养的价值。在比较的过程中，在数学建模与数形的结合中，都可以找到思维能力培养的空间。
关键词：小学数学；思维能力；分数
六年级学生将要进入总复习阶段，苏教版小学数学教材在编排上根据各年龄段学生的心理特征和认知特征，在各个学年段分别对于数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用等方面进行了循序渐进的编排，但是学生感觉数学知识是零散的。如何让孩子有效掌握知识体系，把12本数学书读薄，形成自我的知识体系，達到知识的“内化”，是笔者与课题研究组的成员关注的重点。
《新课程标准》提出：数学课程要培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力。课程基本理念还强调：数学课堂教学活动应该激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，要注意培养学生的良好数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。此文仅以分数、百分数这一教学内容为例，谈谈笔者对知识的整理与重组的一些思索，以方便他们对知识记忆、提取及思考。
一、基于比较思维的能力培养
（1）分数概念的建立中的比较思维
分数一般分为两类，一类是表示具体数量的，如“1/3千克、2/5升”；还有一类是分率，表示两个数量之间的倍数关系，如男生人数是女生的3/4。刚开始接触时，学生很容易混淆，建议学生观察它们的特征。最明显的特征：表示数量的分数后面可以加上单位名称，而表示分率的分数后面不可以添加单位名称。
表示数量的分数，和以往所学习的整数、小数一样，可以表示事物的长度、面积、运行的速度等，而分数区别于小数和整数的是，它以分率的形式存在，可以表示两个数量之间的倍数关系。要让六年级的学生领悟到这跟低年级学习的“倍”有着类似的意义。
比较是一切理解和思维的基础，在与低年段“倍”的知识比较中，学生领悟到两个数量之间的关系可以分为差的关系和倍的关系。以一个数为参照，另一个数比这个数大，就是这个数的几倍，如果比这个数小，就是这个数的几分之几，而这个作为参照的数就是单位“1”的量，“几分之几”这个分数就表示了这两个数之间倍数关系的分率，另一个数就是比较量或分率的对应量。因为分数作为一个数量，在解决问题时与整数、小数类似，所以本文着重研究分数作为分率的问题。在比较中，学生了解了知识的形成过程，把握了知识的本质及内在规律。
（2）分数、除法和比的联系
分数、百分数、除法和比之间有着密切的联系，学生只有经过系统地整理复习，学会知识的系统化、条理化，使其成为一个有机的整体，才能在解题时融会贯通、运用自如。分数的分子就相当于除法的被除数、比的前项；分数的分数线相当于除法的除号、比的比号；分数的分母相当于除法的除数、比的后项。分数的基本性质、比的基本性质以及商不变的规律都有着内在的联系。通过横向比较，更能理解它们之间的联系和区别，形成自己的知识体系，在比较中尝试抽象概括，实现感知的升华，发展学生的思维能力。
（3）“倍”、按比例分配与分数、百分数应用题
对于毕业班的学生来说，“倍”与分数、百分数应用题以及按比例分配应用题等解决问题，不仅仅是求出问题的结果，最有价值的学习是找出各种解题方法之间的关系。
这类应用题中都会有一个介绍两个数量之间倍数关系的句子，我们称之为关键句，每次解题之前都要求学生先通过分析关键句来了解数量之间的关系。首先要找到单位“1”的量，有的可以在关键句中直接找到单位“1”的量，如“女生占全班人数的5/9”，其中全班人数就是单位“1”的量。在教学中，笔者让学生在“全班人数”下面画两条横线，“女生”下面画三角形符号。分清数量关系后，依据单位“1”的量×分率=分率的对应量（单位“1”的量×倍数=比较量）来解决问题，问题即可迎刃而解。若单位“1”是已知的，我们可以直接用这个数量关系式求得对应量；若单位“1”是未知的，我们则可以用方程来解决，当然也可以用分率的对应量除以对应的分率，得到单位“1”的量。
如果关键句出现在问题中，即此题就是要求两个数量之间的倍数关系是什么，我们一般用“分率的对应量÷单位1的量=分率”。为了便于孩子记忆，上课时我们经常说成A占B的几分之几（或百分之几），用A除以B（如果分率的对应量与单位“1”是部分与整体的关系，我们就说A占B的几分之几，或者A是B的几分之几；如果A与B是两个数量，那么我们就说A相当于B的几分之几或百分之几，如男生相当于女生的五分之四，男生占全班的九分之四）。
我们还把重点放在关键句上，仍以“男生人数相当于女生的4/5”为例，依据上面所述的方法，我们可以找到其中女生人数为单位“1”的量，而男生人数就为分率4/5的对应量。4/5是指把单位“1”的量平均分成5份，表示这样的4份的量，我们来理解一下，这就相当于把单位“1”的量平均分成了5份，而对应量就有这样的4份，由此还能推出男生人数：女生人数=4∶5。有些学生慢慢发现，在一个分率中，分数线表示平均分，分率中的分母就表示单位“1”的量平均分的份数，而分子表示分率的对应量平均分的份数。知道了这点后，学生就可以从一个分率或百分率看出两个数量之间比的关系，从而转化成“倍”与按比例分配的问题来解决。课堂上，当笔者引导学生自己观察、发现、比较，进一步抽象、概括出分数、百分数应用题中数量之间的这层关系后，学生的眼睛都亮了，迫不及待想要获取新知，说出自己的解题思路。这种情感体验是孩子们爱上数学的原动力，能促使他们积极主动地选择自己喜欢的方法来解决问题。
爱因斯坦曾经说过：“教育应该使提供的东西，让学生作为一种宝贵的礼物来享受，而不是作为一种艰苦的任务要他负担。”对于高年级的学生来说，创设情境固然能激起他们的学习兴趣，但由自己的探索获得的发现更能激起他们对于学习的积极体验，这种体验更是学生知识“内化”的过程，能促进学生抽象思维的发展。很多现象显示，数学思想方法清晰度高的学生，解题思路清晰，并且准确率也高，反之则会大大降低学习效率。 二、基于数学建模的能力培养
正如上文提到的，在分数、百分数应用题中，我们在解决问题之前一定要理解数量之间的关系，根据单位“1”的量×分率=分率的对应量，能很快列出数量关系式，同时知道以此引申出的两个变式，这就是一种数学建模。我们在小学阶段还会遇到很多行程问题、工程问题，作为高年级的学生，我们在学习中逐渐形成了“单价×数量=总价”“工作效率×工作时间=工作总量”“速度和×时间=路程”这样的建模，并了解了它们在一定条件下有着正、反比例关系，这就是我们在小学数学学习中的重点之一。
苏教版数学教材在每学年教学内容的编排上都安排了《解決问题的策略》这一重要内容，其中转化是一个重要思想，也是解决问题的重要策略，可以沟通知识间的联系，使解法更加灵活多变。
例如：上面所提到的“男生相当于女生人数的4/5”这个关键句，当我们分析清楚其中单位“1”的量及对应量，把它转化成男生人数∶女生人数=4∶5后，下面的问题就变得简单许多。
（1）女生人数是男生人数的几分之几？
（2）女生人数是总人数的几分之几？
（3）男生人数是总人数的几分之几？
（4）女生比男生多几分之几？
（5）男生比女生少几分之几？
无论问题如何变化，都可以转化成“求一个数是另一个数的几分之几”，如果再加上一个已知条件，无论是知道男生人数、女生人数，还是知道男生、女生人数的和或者差，都可以很容易地求出其他的数量。
在解决较为复杂的分数、百分数应用题时，运用转化的思想更能把复杂的问题简单化。通过转化，沟通知识间的内在联系，得到更加灵活多变的解法。
例如，苏教版数学教材第11册上有这样一道思考题：
“某兴趣小组原来的女生人数是总人数的1/3，后又转来6名女生，现在女生人数是总人数的4/9，现在有女生多少人？”
出示题目后，有部分孩子举手了，列出了算式“6÷（4/9-1/3）”，这样的解法固然是错误的，但错在哪里呢？4/9和1/3这两个分率是不可以相加减的，在出现这个错误时，教师没有立刻指出，而是就错误引申了分率作为一类数的特性。首先，分率只可以跟分率相加减，如“一棵高80厘米的小树长高20%后，高多少厘米”中，我们不可以直接用“80 20%”，也就是说，分率只可以跟分率相加减。其次，分率之间如果要比较大小，得在单位“1”统一或相同的情况下比较。例如这样一道判断题：“小明完成了家庭作业的1/2，小亮完成了家庭作业的50%，他们完成的作业一样多。”题目设置了“陷阱”，没有说明小明和小亮是否是同一个班级的，即作业的总量是否相等，那就导致单位“1”不一定相等，也就无法通过两个分率来比较作业完成量的多少。再次，既然单位“1”统一的情况下才可以通过分率比较两个数量的大小，同理，单位“1”统一的情况下，两个分率才可以相加减。所以，这道题中的分率“1/3和4/9”的单位“1”虽然都是总人数，但两次的总人数是不相等的，也就是单位“1”不统一，所以我们不可以像这样列式。
既然如此，我们就不能把总人数看作“参照物”，也就是单位“1”，那么该把什么看成单位“1”呢？此时我们就可以运用转化的数学思想，抓住其中一个不变的量——男生人数，作为单位“1”，把所知道的两个条件转化成“女生人数相当于男生人数的1/2，又转来6个女生后，女生人数相当于男生人数的4/5”，这样就找到了所知数量“6个女生”相对于“男生人数”的分率是“4/5-1/3”的差，那么题目也就迎刃而解了。
同理，这道题还可以转化成“比”来解决问题。当然，还是要抓住这其中不变的量——男生人数，通过转化，我们不难发现，原先“男生人数∶女生人数=2∶1”，后又转来6个女生，这时“男生人数∶女生人数=5∶4”，根据比的基本性质，我们把不变的量，即男生人数这个数量在两个比中的数化成相同的数，则前一个比为“男生人数∶女生人数=10∶5”，女生增加后，“男生人数∶女生人数=10∶8”。很明显，女生人数增加了3份，这三份对应的数量就是6个女生，最后的问题还可以结合按比例分配一步求出。
在解决问题的过程中，学生是否能主动积极地运用转化的数学思想，不固守于题目的阐述，是解决类似问题的突破口。
三、基于数形结合的能力培养
苏教版小学数学在教材编排中揭示有关分数、百分数这种比较抽象的概念时，都联系了图形，对应的图形从一个整体图形到几个图形为一个整体，从具体的物体图到抽象的几何图，进而再抽象到线段图，这种数形结合的方法循序渐进地培养了孩子的思维能力，贴合孩子的认知发展。所以，对于简单的分数、百分数应用题，我们拼接数学建模，培养孩子快速解决问题的能力，而对于稍复杂的分数、百分数应用题，当孩子在思考中产生疑惑或者困难时，数形结合的方法让我们更直观地看出各个数量之间的关系。
例如：一本书，小军第一天看了1/5，第二天看了余下的1/4，哪一天看得多？
首先要比多少，我们只知道两天各自看的相对的分率，并不知道具体的数量，依据前面我们提到的，单位“1”不统一的分率是不能直接比较大小的，很多孩子都束手无策。如何解决问题呢？根据前面所提到的，我们应该运用转化的思想统一单位“1”，因为第一天看后余下了全书的4/5，所以余下的1/4，就是全书4/5的1/4，也就是全书的1/5，因此可以看出，这个量和第一天所看的量是相等的。但这样的方法并不适用于所有学生，有部分学生对于余下的1/4为什么就是全书的1/5，仍然疑惑不解，这时如果我们引导孩子自己用数形结合的方法，就能借助直观的图形，慢慢形成自己的抽象思维。
通过循序渐进地学习以及各种形式的数学活动，学生将把小学阶段12本数学书上的知识通过各种数学方法建构起知识间的联系，发展数学思维，形成自己的知识体系，把12本数学书读厚。
关键词：小学数学；思维能力；分数
六年级学生将要进入总复习阶段，苏教版小学数学教材在编排上根据各年龄段学生的心理特征和认知特征，在各个学年段分别对于数与代数、空间与图形、统计与概率和实践与综合应用等方面进行了循序渐进的编排，但是学生感觉数学知识是零散的。如何让孩子有效掌握知识体系，把12本数学书读薄，形成自我的知识体系，達到知识的“内化”，是笔者与课题研究组的成员关注的重点。
《新课程标准》提出：数学课程要培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力。课程基本理念还强调：数学课堂教学活动应该激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，要注意培养学生的良好数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。此文仅以分数、百分数这一教学内容为例，谈谈笔者对知识的整理与重组的一些思索，以方便他们对知识记忆、提取及思考。
一、基于比较思维的能力培养
（1）分数概念的建立中的比较思维
分数一般分为两类，一类是表示具体数量的，如“1/3千克、2/5升”；还有一类是分率，表示两个数量之间的倍数关系，如男生人数是女生的3/4。刚开始接触时，学生很容易混淆，建议学生观察它们的特征。最明显的特征：表示数量的分数后面可以加上单位名称，而表示分率的分数后面不可以添加单位名称。
表示数量的分数，和以往所学习的整数、小数一样，可以表示事物的长度、面积、运行的速度等，而分数区别于小数和整数的是，它以分率的形式存在，可以表示两个数量之间的倍数关系。要让六年级的学生领悟到这跟低年级学习的“倍”有着类似的意义。
比较是一切理解和思维的基础，在与低年段“倍”的知识比较中，学生领悟到两个数量之间的关系可以分为差的关系和倍的关系。以一个数为参照，另一个数比这个数大，就是这个数的几倍，如果比这个数小，就是这个数的几分之几，而这个作为参照的数就是单位“1”的量，“几分之几”这个分数就表示了这两个数之间倍数关系的分率，另一个数就是比较量或分率的对应量。因为分数作为一个数量，在解决问题时与整数、小数类似，所以本文着重研究分数作为分率的问题。在比较中，学生了解了知识的形成过程，把握了知识的本质及内在规律。
（2）分数、除法和比的联系
分数、百分数、除法和比之间有着密切的联系，学生只有经过系统地整理复习，学会知识的系统化、条理化，使其成为一个有机的整体，才能在解题时融会贯通、运用自如。分数的分子就相当于除法的被除数、比的前项；分数的分数线相当于除法的除号、比的比号；分数的分母相当于除法的除数、比的后项。分数的基本性质、比的基本性质以及商不变的规律都有着内在的联系。通过横向比较，更能理解它们之间的联系和区别，形成自己的知识体系，在比较中尝试抽象概括，实现感知的升华，发展学生的思维能力。
（3）“倍”、按比例分配与分数、百分数应用题
对于毕业班的学生来说，“倍”与分数、百分数应用题以及按比例分配应用题等解决问题，不仅仅是求出问题的结果，最有价值的学习是找出各种解题方法之间的关系。
这类应用题中都会有一个介绍两个数量之间倍数关系的句子，我们称之为关键句，每次解题之前都要求学生先通过分析关键句来了解数量之间的关系。首先要找到单位“1”的量，有的可以在关键句中直接找到单位“1”的量，如“女生占全班人数的5/9”，其中全班人数就是单位“1”的量。在教学中，笔者让学生在“全班人数”下面画两条横线，“女生”下面画三角形符号。分清数量关系后，依据单位“1”的量×分率=分率的对应量（单位“1”的量×倍数=比较量）来解决问题，问题即可迎刃而解。若单位“1”是已知的，我们可以直接用这个数量关系式求得对应量；若单位“1”是未知的，我们则可以用方程来解决，当然也可以用分率的对应量除以对应的分率，得到单位“1”的量。
如果关键句出现在问题中，即此题就是要求两个数量之间的倍数关系是什么，我们一般用“分率的对应量÷单位1的量=分率”。为了便于孩子记忆，上课时我们经常说成A占B的几分之几（或百分之几），用A除以B（如果分率的对应量与单位“1”是部分与整体的关系，我们就说A占B的几分之几，或者A是B的几分之几；如果A与B是两个数量，那么我们就说A相当于B的几分之几或百分之几，如男生相当于女生的五分之四，男生占全班的九分之四）。
我们还把重点放在关键句上，仍以“男生人数相当于女生的4/5”为例，依据上面所述的方法，我们可以找到其中女生人数为单位“1”的量，而男生人数就为分率4/5的对应量。4/5是指把单位“1”的量平均分成5份，表示这样的4份的量，我们来理解一下，这就相当于把单位“1”的量平均分成了5份，而对应量就有这样的4份，由此还能推出男生人数：女生人数=4∶5。有些学生慢慢发现，在一个分率中，分数线表示平均分，分率中的分母就表示单位“1”的量平均分的份数，而分子表示分率的对应量平均分的份数。知道了这点后，学生就可以从一个分率或百分率看出两个数量之间比的关系，从而转化成“倍”与按比例分配的问题来解决。课堂上，当笔者引导学生自己观察、发现、比较，进一步抽象、概括出分数、百分数应用题中数量之间的这层关系后，学生的眼睛都亮了，迫不及待想要获取新知，说出自己的解题思路。这种情感体验是孩子们爱上数学的原动力，能促使他们积极主动地选择自己喜欢的方法来解决问题。
爱因斯坦曾经说过：“教育应该使提供的东西，让学生作为一种宝贵的礼物来享受，而不是作为一种艰苦的任务要他负担。”对于高年级的学生来说，创设情境固然能激起他们的学习兴趣，但由自己的探索获得的发现更能激起他们对于学习的积极体验，这种体验更是学生知识“内化”的过程，能促进学生抽象思维的发展。很多现象显示，数学思想方法清晰度高的学生，解题思路清晰，并且准确率也高，反之则会大大降低学习效率。 二、基于数学建模的能力培养
正如上文提到的，在分数、百分数应用题中，我们在解决问题之前一定要理解数量之间的关系，根据单位“1”的量×分率=分率的对应量，能很快列出数量关系式，同时知道以此引申出的两个变式，这就是一种数学建模。我们在小学阶段还会遇到很多行程问题、工程问题，作为高年级的学生，我们在学习中逐渐形成了“单价×数量=总价”“工作效率×工作时间=工作总量”“速度和×时间=路程”这样的建模，并了解了它们在一定条件下有着正、反比例关系，这就是我们在小学数学学习中的重点之一。
苏教版数学教材在每学年教学内容的编排上都安排了《解決问题的策略》这一重要内容，其中转化是一个重要思想，也是解决问题的重要策略，可以沟通知识间的联系，使解法更加灵活多变。
例如：上面所提到的“男生相当于女生人数的4/5”这个关键句，当我们分析清楚其中单位“1”的量及对应量，把它转化成男生人数∶女生人数=4∶5后，下面的问题就变得简单许多。
（1）女生人数是男生人数的几分之几？
（2）女生人数是总人数的几分之几？
（3）男生人数是总人数的几分之几？
（4）女生比男生多几分之几？
（5）男生比女生少几分之几？
无论问题如何变化，都可以转化成“求一个数是另一个数的几分之几”，如果再加上一个已知条件，无论是知道男生人数、女生人数，还是知道男生、女生人数的和或者差，都可以很容易地求出其他的数量。
在解决较为复杂的分数、百分数应用题时，运用转化的思想更能把复杂的问题简单化。通过转化，沟通知识间的内在联系，得到更加灵活多变的解法。
例如，苏教版数学教材第11册上有这样一道思考题：
“某兴趣小组原来的女生人数是总人数的1/3，后又转来6名女生，现在女生人数是总人数的4/9，现在有女生多少人？”
出示题目后，有部分孩子举手了，列出了算式“6÷（4/9-1/3）”，这样的解法固然是错误的，但错在哪里呢？4/9和1/3这两个分率是不可以相加减的，在出现这个错误时，教师没有立刻指出，而是就错误引申了分率作为一类数的特性。首先，分率只可以跟分率相加减，如“一棵高80厘米的小树长高20%后，高多少厘米”中，我们不可以直接用“80 20%”，也就是说，分率只可以跟分率相加减。其次，分率之间如果要比较大小，得在单位“1”统一或相同的情况下比较。例如这样一道判断题：“小明完成了家庭作业的1/2，小亮完成了家庭作业的50%，他们完成的作业一样多。”题目设置了“陷阱”，没有说明小明和小亮是否是同一个班级的，即作业的总量是否相等，那就导致单位“1”不一定相等，也就无法通过两个分率来比较作业完成量的多少。再次，既然单位“1”统一的情况下才可以通过分率比较两个数量的大小，同理，单位“1”统一的情况下，两个分率才可以相加减。所以，这道题中的分率“1/3和4/9”的单位“1”虽然都是总人数，但两次的总人数是不相等的，也就是单位“1”不统一，所以我们不可以像这样列式。
既然如此，我们就不能把总人数看作“参照物”，也就是单位“1”，那么该把什么看成单位“1”呢？此时我们就可以运用转化的数学思想，抓住其中一个不变的量——男生人数，作为单位“1”，把所知道的两个条件转化成“女生人数相当于男生人数的1/2，又转来6个女生后，女生人数相当于男生人数的4/5”，这样就找到了所知数量“6个女生”相对于“男生人数”的分率是“4/5-1/3”的差，那么题目也就迎刃而解了。
同理，这道题还可以转化成“比”来解决问题。当然，还是要抓住这其中不变的量——男生人数，通过转化，我们不难发现，原先“男生人数∶女生人数=2∶1”，后又转来6个女生，这时“男生人数∶女生人数=5∶4”，根据比的基本性质，我们把不变的量，即男生人数这个数量在两个比中的数化成相同的数，则前一个比为“男生人数∶女生人数=10∶5”，女生增加后，“男生人数∶女生人数=10∶8”。很明显，女生人数增加了3份，这三份对应的数量就是6个女生，最后的问题还可以结合按比例分配一步求出。
在解决问题的过程中，学生是否能主动积极地运用转化的数学思想，不固守于题目的阐述，是解决类似问题的突破口。
三、基于数形结合的能力培养
苏教版小学数学在教材编排中揭示有关分数、百分数这种比较抽象的概念时，都联系了图形，对应的图形从一个整体图形到几个图形为一个整体，从具体的物体图到抽象的几何图，进而再抽象到线段图，这种数形结合的方法循序渐进地培养了孩子的思维能力，贴合孩子的认知发展。所以，对于简单的分数、百分数应用题，我们拼接数学建模，培养孩子快速解决问题的能力，而对于稍复杂的分数、百分数应用题，当孩子在思考中产生疑惑或者困难时，数形结合的方法让我们更直观地看出各个数量之间的关系。
例如：一本书，小军第一天看了1/5，第二天看了余下的1/4，哪一天看得多？
首先要比多少，我们只知道两天各自看的相对的分率，并不知道具体的数量，依据前面我们提到的，单位“1”不统一的分率是不能直接比较大小的，很多孩子都束手无策。如何解决问题呢？根据前面所提到的，我们应该运用转化的思想统一单位“1”，因为第一天看后余下了全书的4/5，所以余下的1/4，就是全书4/5的1/4，也就是全书的1/5，因此可以看出，这个量和第一天所看的量是相等的。但这样的方法并不适用于所有学生，有部分学生对于余下的1/4为什么就是全书的1/5，仍然疑惑不解，这时如果我们引导孩子自己用数形结合的方法，就能借助直观的图形，慢慢形成自己的抽象思维。
通过循序渐进地学习以及各种形式的数学活动，学生将把小学阶段12本数学书上的知识通过各种数学方法建构起知识间的联系，发展数学思维，形成自己的知识体系，把12本数学书读厚。