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本文利用Abresch在[1]中的方法对Gromov在[5]中对非负截面曲率完备黎曼流形Betti 数和的估计常数C(n)作了进一步的改进．并给出了截面曲率有负的下界—k2，直径有上界D的完备黎曼流形Betti数和的估计常数C(n，kD)的更好的具体表达式．
[1]，[8]中对Betti数和的估计比[5]要好．
对流形M上的开球，其半径充分小，则它的拓扑也会变得简单．要估计整个流形的Betti数的和，一个自然的想法就是利用覆盖它的，拓扑尽可能简单小球来做，从小球的拓扑得到整个流形的拓扑．为此，Gromov在[5]中定义了所谓的容量(content)，并且利用谱序列建立了相应的拓扑引理，简单的讲就是让我们能够利用小球的拓扑来估计大球的拓扑．所以问题的关键就变成了：
(1)．什么样的小球，它的拓扑是平凡的?
(2)．有了对覆盖M的小球的拓扑的估计，要经过多少步递归，才能得到流形的Betti数和的估计?
Abresch推广了Gromov的容量的概念，并建立了相应的拓扑引理，推广了的拓扑引理比Gromov的拓扑引理要好，因为Abresch考虑到了覆盖球的复杂程度．因此，由小球的拓扑估计大球的拓扑，其前面的估计常数，Abresch的要比Gromov的小得多．这也是[1]中对Betti数和的估计比[5]要好的一个原因．
流形所包含的临界点的个数决定了流形拓扑的复杂程度．如果一个流形不包含任何临界点，那么它就是可缩的，这是最简单的情形．Gromov在[5]中利用距离函数的临界点理论对流形上的临界点作了一个估计，给出了具有一定性质的临界点的个数估计，表明了非负曲率完备黎曼流形和曲率有负的下界—k2，直径有上界D的完备黎曼流形，这两类流形的拓扑的复杂程度都有一个限制．[1]和[8]对临界点的估计比[5]的要小得多，这是[1]，[8]中对Betti数和的估计比[5]要好的又一个原因．
本文推广了[8]中corank这个量，这个量使得问题(1)和(2)变得好解决．这因为：
(a)．具有最大的corank的开球的是可缩的，这就回答了(1)；
(b)．corank可以把流形上的开球进行分类，使得corank较小的球的拓扑能被corank较大的球的拓扑所估计，并且corank是一个有界的数，这就回答了(2)．