论文部分内容阅读
设G为有限群，M和N均为G的正规子群，本文用CAutG(G/M，N)表示G的既中心化G/M又中心化N的全部自同构所构成的群.在自同构群的研究中，一个基本而重要的问题是确定CAutG(G/M，N)的结构.2007年Attar证明了:如果G为有限非交换p-群，则CAutG(G/Z(G),Z(G))=Inn G当且仅当G的幂零类为2且Z(G)是循环群.2008年Yadav将其推广为: 如果G是有限非交换p-群且M是G的一个中心子群，则CAutG(G/M，Z(G))=Inn G当且仅当G的幂零类为2，G≤M且M是循环群. 注意到G的内自同构群InnG同构于商群G/Z(G)，故上述两个定理本质上给出了当M或N为特殊子群时CAutG(G/M，N)的结构描述.本文在更为一般的条件下确定了CAutG(G/M，N)的结构，所得结果推广了Attar和Yadav定理.本文中的主要结论如下: 定理1.设G为任意有限群，M和N均为G的正规子群且M≤Z(N)，则CAutG(G/M，N)(≌)Der(G/N，M).其中Der(G/N，M)表示从G/N到M的所有导子构成的交换群. 从定理1出发可推导出以下有用的结论. 推论1.设G为任意有限群，M，N均为G的正规子群且M≤N∩Z(G)，则CAutG(G/M，N)(≌)Hom(G/N，M). 应用推论1证明了本文的第二个主要结果. 定理2.设G为有限p-群，M，N均为G的正规子群且M≤N∩Z(G)，则CAutG(G/M，N)(≌)G/N的充要条件是G≤N，M为循环群，且exp(G/N)≤expM. 使用定理2即可推出Attar和Yadav定理. 推论2.如果G为有限非交换p-群，则CAutG(G/Z(G),Z(G))=InnG当且仅当G的幂零类为2且Z(G)是循环群. 推论3.如果G是有限非交换p-群且M是G的一个中心子群，则CAutG(G/M，Z(G))=InnG当且仅当G的幂零类为2，G≤M且M是循环群. 定理3.如果G是有限非交换p-群且G≤M≤Z(G)，则CAutG(G/M,Z(G))=Z(Inn G)当且仅当Hom(G/Z(G)，M)(≌)Z2(G)/Z1(G).