在断裂理论中其中最早,发展最完善的一个分支是线弹性断裂力学.并且求解复杂裂纹尖端的应力强度因子和研究在受力情形下各种复杂缺陷的应力场是断裂力学研究的关键所在.本文主要是运用复变函数方法(Muskhelishvili方法)对其进行研究.它的主要思想是通过构造一个适当的保角映射,将物理平面上的复杂区域映射到相平面上单位圆的内部(或外部),这时复杂缺陷就转化为相对简单的圆了,再利用柯西积分公式来求解裂纹尖端应力强度因子的解析解.本文运用该思想对压电复合材料、准晶材料和准晶压电材料中复杂缺陷的反平面问题进行了研究,将一般的线性裂纹扩展到了由一些曲边多角形构成的裂纹,这类裂纹常常出现在工程应用中,如只有尖点的一类平面曲边多角形—唇形裂纹与翼形裂纹,具体工作和所得结论主要分为以下三部分:1.翼形裂纹在压电复合材料中的反平面问题可以用复变函数方法和保角映射技术研究,而且在电不可通和电可通两种边界条件下翼形裂纹尖端场强度因子和机械应变能释放率的解析表达式可以运用复变函数中的留数定理和Cauchy积分公式得到.2.通过引入适当的保角映射,运用复变方法,在裂纹面受剪切力作用下,研究了无限大点群6一维六方准晶中唇形裂纹的断裂问题,得到了在唇形裂纹尖端处的应力强度因子公式和其解析解.3.在准晶压电材料基本方程的基础上,根据点群的对称性和一维六方准晶的线性压电效应,一维六方准晶压电材料反平面问题的控制方程被导出了.利用复变函数的方法,通过引入适当的保角映射,准晶压电材料中唇形裂纹的反平面问题得到了研究,并利用Cauchy积分理论,得到在电不可通边界条件下的裂纹尖端场强度因子与机械应变能释放率的解析表达式.