流体力学中的奇异极限问题

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流体力学是研究流体运动的一门学科。其主要研究对象为流体力学方程组,其中包括Navier-Stokes方程组、Euler方程组、磁流体方程组、粘弹性流体方程组等重要的方程组。流体力学方程组有广泛的实际应用,包括气象、水利的研究,航天器与飞机的设计与测试,石油的开采和运输等等。然而,从理论上来研究流体力学方程组的解的存在性及其性质是非常困难的。这其中一类重要的问题就是流体力学中的(奇异)极限问题。流体力学的极限问题主要是研究在不同机制下,各种形式的方程组之间的关系。其中一类重要的问题就是,当流体状态接近于不可压缩时(马赫数<<1),可压缩流体方程组与不可压缩流体方程组之间的渐近关系,即不可压缩极限。而由于小马赫数的可压缩流体方程组中含有1/马赫数,从而先验估计中会出现某些趋于无穷的能量,所以方程组的解在马赫数趋于零的极限过程(即不可压缩极限)中会表现出奇异性质。  本文对三维有界区域中的完全的可压缩磁流体方程组的不可压缩极限问题进行深入研究。考虑的是三维有界区域中,描述具有磁扩散效应的粘性理想多方磁流体的非等熵的可压缩磁流体方程组,其初值满足“恰当”条件,且初始温度和密度均接近于常数。当马赫数趋于零时,此局部强解收敛到等熵的不可压缩磁流体方程组的局部解。主要方法是建立可压缩磁流体方程组的局部强解的一个指数型能量不等式,从而获得关于马赫数的一致先验估计,最后通过紧性方法得到该强解的收敛性。由于方程组中含有大参数(1/马赫数),故要建立关于马赫数的一致估计是具有很大难度的,特别是对于边界项以及关于涡度的估计。我们将通过建立等温坐标的方法,使边界局部化,以此解决这个困难。
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